回課文。每題先自己做,需要時再依序展開提示。看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,之後要隔一段時間,不看提示,用原題重做一次。L5 會揭示完整答案。
記號:所有結果請用精確值(整數或分數)表示,不用小數。題目中的反導函數 F 都已經給好,不必自己求。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。本頁不需要計算機或查表。
先不看提示試試看,看自己卡在哪一步。
已知 f(x)=2x + 5,且 F(x)=x2 + 5x 是 f 的一個反導函數(已給,不必自己求)。請依序寫出:(1)完整的定積分記號;(2)F(上限) 與 F(下限) 的代入;(3)相減後的結果。
要算的是 ∫24 (2x + 5) dx。
這題已經給了 F,不必自己找。先分辨:被積函數是哪一個式子?積分變數是什麼?下限、上限各是多少?定積分的值要用到 F 的哪兩個值?〔回課文:記號與各部分的意思〕
定積分的值只由 F 在兩個端點的值決定。先把形狀寫下來:F( )−F( ),括號裡該放哪個數、誰減誰?先不要代數字。〔回課文:怎麼用 F(b)−F(a) 算〕
用「F(上限)−F(下限)」。F(上限) 與 F(下限) 各算一行。每個代入的數要照 F 的每一項分別算。〔回課文〕
F(4)=42 + 5×4=36。F(2)=22 + 5×2,請自己算出它的值,再用 F(4)−F(2) 相減。
∫24 (2x + 5) dx=[x2 + 5x]24=F(4)−F(2)=36−14=22。結果:22。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):只代入上限、忘了減去下限的值,得到 F(4)=36,結果 36(正確為 22);相減次序顛倒,算成 F(2)−F(4)=14−36=−22,結果 −22(正確為 22);把兩個端點的值相加,算成 F(4)+F(2)=36+14=50,結果 50(正確為 22)。
補救:每次先分兩行寫出 F(上限) 與 F(下限) 的值,再寫 F(上限)−F(下限) 並填入兩個數;算完用「上限的值比下限的值大還是小」粗略檢查符號是否合理。
回到課文:〔怎麼用 F(b)−F(a) 算〕
函數 f(x)=3x2 − 4x 有一個反導函數 F(x)=x3 − 2x2。請用 F 求出 ∫35 (3x2 − 4x) dx 的值,並寫出 F(上限)、F(下限) 與相減的過程。
這題已經給了 F,不必自己找。先分辨:被積函數是哪一個式子?積分變數是什麼?下限、上限各是多少?定積分的值要用到 F 的哪兩個值?〔回課文:記號與各部分的意思〕
定積分的值只由 F 在兩個端點的值決定。先把形狀寫下來:F( )−F( ),括號裡該放哪個數、誰減誰?先不要代數字。〔回課文:怎麼用 F(b)−F(a) 算〕
用「F(上限)−F(下限)」。F(上限) 與 F(下限) 各算一行。每個代入的數要照 F 的每一項分別算。〔回課文〕
F(5)=53 − 2×52=75。F(3)=33 − 2×32,請自己算出它的值,再用 F(5)−F(3) 相減。
∫35 (3x2 − 4x) dx=[x3 − 2x2]35=F(5)−F(3)=75−9=66。結果:66。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):只代入上限、忘了減去下限的值,得到 F(5)=75,結果 75(正確為 66);相減次序顛倒,算成 F(3)−F(5)=9−75=−66,結果 −66(正確為 66);把兩個端點的值相加,算成 F(5)+F(3)=75+9=84,結果 84(正確為 66)。
補救:每次先分兩行寫出 F(上限) 與 F(下限) 的值,再寫 F(上限)−F(下限) 並填入兩個數;算完用「上限的值比下限的值大還是小」粗略檢查符號是否合理。
回到課文:〔怎麼用 F(b)−F(a) 算〕
題目給的反導函數為 F(x)=x4 − 3x2,對應的被積函數是 f(x)=4x3 − 6x。計算 ∫13 (4x3 − 6x) dx,請把代入的兩個值分行寫出,最後再相減。
這題已經給了 F,不必自己找。先分辨:被積函數是哪一個式子?積分變數是什麼?下限、上限各是多少?定積分的值要用到 F 的哪兩個值?〔回課文:記號與各部分的意思〕
定積分的值只由 F 在兩個端點的值決定。先把形狀寫下來:F( )−F( ),括號裡該放哪個數、誰減誰?先不要代數字。〔回課文:怎麼用 F(b)−F(a) 算〕
用「F(上限)−F(下限)」。F(上限) 與 F(下限) 各算一行。每個代入的數要照 F 的每一項分別算。〔回課文〕
F(3)=34 − 3×32=54。F(1)=14 − 3×12,請自己算出它的值,再用 F(3)−F(1) 相減。
∫13 (4x3 − 6x) dx=[x4 − 3x2]13=F(3)−F(1)=54−(−2)=56。結果:56。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):只代入上限、忘了減去下限的值,得到 F(3)=54,結果 54(正確為 56);相減次序顛倒,算成 F(1)−F(3)=(−2)−54=−56,結果 −56(正確為 56);把兩個端點的值相加,算成 F(3)+F(1)=54+(−2)=52,結果 52(正確為 56)。
補救:每次先分兩行寫出 F(上限) 與 F(下限) 的值,再寫 F(上限)−F(下限) 並填入兩個數;算完用「上限的值比下限的值大還是小」粗略檢查符號是否合理。
回到課文:〔怎麼用 F(b)−F(a) 算〕
函數 f(x)=x2 + 2x 有一個反導函數 F(x)=x3/3 + x2。請用 F 求出 ∫14 (x2 + 2x) dx 的值,並寫出 F(上限)、F(下限) 與相減的過程。
這題已經給了 F,不必自己找。先分辨:被積函數是哪一個式子?積分變數是什麼?下限、上限各是多少?定積分的值要用到 F 的哪兩個值?〔回課文:記號與各部分的意思〕
定積分的值只由 F 在兩個端點的值決定。先把形狀寫下來:F( )−F( ),括號裡該放哪個數、誰減誰?先不要代數字。〔回課文:怎麼用 F(b)−F(a) 算〕
用「F(上限)−F(下限)」。F(上限) 與 F(下限) 各算一行。每個代入的數要照 F 的每一項分別算。〔回課文〕
F(4)=(1/3)×43 + 42=112/3。F(1)=(1/3)×13 + 12,請自己算出它的值,再用 F(4)−F(1) 相減。
∫14 (x2 + 2x) dx=[x3/3 + x2]14=F(4)−F(1)=112/3−4/3=36。結果:36。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):只代入上限、忘了減去下限的值,得到 F(4)=112/3,結果 112/3(正確為 36);相減次序顛倒,算成 F(1)−F(4)=4/3−112/3=−36,結果 −36(正確為 36);把兩個端點的值相加,算成 F(4)+F(1)=112/3+4/3=116/3,結果 116/3(正確為 36)。
補救:每次先分兩行寫出 F(上限) 與 F(下限) 的值,再寫 F(上限)−F(下限) 並填入兩個數;算完用「上限的值比下限的值大還是小」粗略檢查符號是否合理。
回到課文:〔怎麼用 F(b)−F(a) 算〕
已知 f(x)=6x2 − 2x + 1,且 F(x)=2x3 − x2 + x 是 f 的一個反導函數(已給,不必自己求)。請依序寫出:(1)完整的定積分記號;(2)F(上限) 與 F(下限) 的代入;(3)相減後的結果。
要算的是 ∫−13 (6x2 − 2x + 1) dx。
這題已經給了 F,不必自己找。先分辨:被積函數是哪一個式子?積分變數是什麼?下限、上限各是多少?定積分的值要用到 F 的哪兩個值?〔回課文:記號與各部分的意思〕
定積分的值只由 F 在兩個端點的值決定。先把形狀寫下來:F( )−F( ),括號裡該放哪個數、誰減誰?先不要代數字。〔回課文:怎麼用 F(b)−F(a) 算〕
用「F(上限)−F(下限)」。F(上限) 與 F(下限) 各算一行。代入負數時一定加括號,例如 (−2)3。〔回課文〕
F(3)=2×33 − 32 + 3=48。F(−1)=2×(−1)3 − (−1)2 + (−1),請自己算出它的值,再用 F(3)−F(−1) 相減。
∫−13 (6x2 − 2x + 1) dx=[2x3 − x2 + x]−13=F(3)−F(−1)=48−(−4)=52。結果:52。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):只代入上限、忘了減去下限的值,得到 F(3)=48,結果 48(正確為 52);相減次序顛倒,算成 F(−1)−F(3)=(−4)−48=−52,結果 −52(正確為 52);把兩個端點的值相加,算成 F(3)+F(−1)=48+(−4)=44,結果 44(正確為 52)。
補救:每次先分兩行寫出 F(上限) 與 F(下限) 的值,再寫 F(上限)−F(下限) 並填入兩個數;算完用「上限的值比下限的值大還是小」粗略檢查符號是否合理。
回到課文:〔怎麼用 F(b)−F(a) 算〕
題目給的反導函數為 F(x)=x3/3 − x2 − 3x,對應的被積函數是 f(x)=x2 − 2x − 3。計算 ∫−13 (x2 − 2x − 3) dx,請把代入的兩個值分行寫出,最後再相減。
這題已經給了 F,不必自己找。先分辨:被積函數是哪一個式子?積分變數是什麼?下限、上限各是多少?定積分的值要用到 F 的哪兩個值?〔回課文:記號與各部分的意思〕
定積分的值只由 F 在兩個端點的值決定。先把形狀寫下來:F( )−F( ),括號裡該放哪個數、誰減誰?先不要代數字。〔回課文:怎麼用 F(b)−F(a) 算〕
用「F(上限)−F(下限)」。F(上限) 與 F(下限) 各算一行。代入負數時一定加括號,例如 (−2)3。〔回課文〕
F(3)=(1/3)×33 − 32 − 3×3=−9。F(−1)=(1/3)×(−1)3 − (−1)2 − 3×(−1),請自己算出它的值,再用 F(3)−F(−1) 相減。
∫−13 (x2 − 2x − 3) dx=[x3/3 − x2 − 3x]−13=F(3)−F(−1)=(−9)−5/3=−32/3。結果:−32/3。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):只代入上限、忘了減去下限的值,得到 F(3)=−9,結果 −9(正確為 −32/3);相減次序顛倒,算成 F(−1)−F(3)=5/3−(−9)=32/3,結果 32/3(正確為 −32/3);把兩個端點的值相加,算成 F(3)+F(−1)=(−9)+5/3=−22/3,結果 −22/3(正確為 −32/3)。
補救:每次先分兩行寫出 F(上限) 與 F(下限) 的值,再寫 F(上限)−F(下限) 並填入兩個數;算完用「上限的值比下限的值大還是小」粗略檢查符號是否合理。
回到課文:〔怎麼用 F(b)−F(a) 算〕
被積函數可以是更高次的多項式,做法不變。
函數 f(x)=x3 − 2x 有一個反導函數 F(x)=x4/4 − x2。請用 F 求出 ∫13 (x3 − 2x) dx 的值,並寫出 F(上限)、F(下限) 與相減的過程。
這題已經給了 F,不必自己找。先分辨:被積函數是哪一個式子?積分變數是什麼?下限、上限各是多少?定積分的值要用到 F 的哪兩個值?〔回課文:記號與各部分的意思〕
定積分的值只由 F 在兩個端點的值決定。先把形狀寫下來:F( )−F( ),括號裡該放哪個數、誰減誰?先不要代數字。〔回課文:怎麼用 F(b)−F(a) 算〕
用「F(上限)−F(下限)」。F(上限) 與 F(下限) 各算一行。每個代入的數要照 F 的每一項分別算。〔回課文〕
F(3)=(1/4)×34 − 32=45/4。F(1)=(1/4)×14 − 12,請自己算出它的值,再用 F(3)−F(1) 相減。
∫13 (x3 − 2x) dx=[x4/4 − x2]13=F(3)−F(1)=45/4−(−3/4)=12。結果:12。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):只代入上限、忘了減去下限的值,得到 F(3)=45/4,結果 45/4(正確為 12);相減次序顛倒,算成 F(1)−F(3)=(−3/4)−45/4=−12,結果 −12(正確為 12);把兩個端點的值相加,算成 F(3)+F(1)=45/4+(−3/4)=21/2,結果 21/2(正確為 12)。
補救:每次先分兩行寫出 F(上限) 與 F(下限) 的值,再寫 F(上限)−F(下限) 並填入兩個數;算完用「上限的值比下限的值大還是小」粗略檢查符號是否合理。
回到課文:〔怎麼用 F(b)−F(a) 算〕
已知 f(x)=4x3 + 3x2 − 1,且 F(x)=x4 + x3 − x 是 f 的一個反導函數(已給,不必自己求)。請依序寫出:(1)完整的定積分記號;(2)F(上限) 與 F(下限) 的代入;(3)相減後的結果。
要算的是 ∫−21 (4x3 + 3x2 − 1) dx。
這題已經給了 F,不必自己找。先分辨:被積函數是哪一個式子?積分變數是什麼?下限、上限各是多少?定積分的值要用到 F 的哪兩個值?〔回課文:記號與各部分的意思〕
定積分的值只由 F 在兩個端點的值決定。先把形狀寫下來:F( )−F( ),括號裡該放哪個數、誰減誰?先不要代數字。〔回課文:怎麼用 F(b)−F(a) 算〕
用「F(上限)−F(下限)」。F(上限) 與 F(下限) 各算一行。代入負數時一定加括號,例如 (−2)3。〔回課文〕
F(1)=14 + 13 − 1=1。F(−2)=(−2)4 + (−2)3 − (−2),請自己算出它的值,再用 F(1)−F(−2) 相減。
∫−21 (4x3 + 3x2 − 1) dx=[x4 + x3 − x]−21=F(1)−F(−2)=1−10=−9。結果:−9。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):只代入上限、忘了減去下限的值,得到 F(1)=1,結果 1(正確為 −9);相減次序顛倒,算成 F(−2)−F(1)=10−1=9,結果 9(正確為 −9);把兩個端點的值相加,算成 F(1)+F(−2)=1+10=11,結果 11(正確為 −9)。
補救:每次先分兩行寫出 F(上限) 與 F(下限) 的值,再寫 F(上限)−F(下限) 並填入兩個數;算完用「上限的值比下限的值大還是小」粗略檢查符號是否合理。
回到課文:〔怎麼用 F(b)−F(a) 算〕
題目給的反導函數為 F(x)=x4/4 + x3,對應的被積函數是 f(x)=x3 + 3x2。計算 ∫−13 (x3 + 3x2) dx,請把代入的兩個值分行寫出,最後再相減。
這題已經給了 F,不必自己找。先分辨:被積函數是哪一個式子?積分變數是什麼?下限、上限各是多少?定積分的值要用到 F 的哪兩個值?〔回課文:記號與各部分的意思〕
定積分的值只由 F 在兩個端點的值決定。先把形狀寫下來:F( )−F( ),括號裡該放哪個數、誰減誰?先不要代數字。〔回課文:怎麼用 F(b)−F(a) 算〕
用「F(上限)−F(下限)」。F(上限) 與 F(下限) 各算一行。代入負數時一定加括號,例如 (−2)3。〔回課文〕
F(3)=(1/4)×34 + 33=189/4。F(−1)=(1/4)×(−1)4 + (−1)3,請自己算出它的值,再用 F(3)−F(−1) 相減。
∫−13 (x3 + 3x2) dx=[x4/4 + x3]−13=F(3)−F(−1)=189/4−(−3/4)=48。結果:48。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):只代入上限、忘了減去下限的值,得到 F(3)=189/4,結果 189/4(正確為 48);相減次序顛倒,算成 F(−1)−F(3)=(−3/4)−189/4=−48,結果 −48(正確為 48);把兩個端點的值相加,算成 F(3)+F(−1)=189/4+(−3/4)=93/2,結果 93/2(正確為 48)。
補救:每次先分兩行寫出 F(上限) 與 F(下限) 的值,再寫 F(上限)−F(下限) 並填入兩個數;算完用「上限的值比下限的值大還是小」粗略檢查符號是否合理。
回到課文:〔怎麼用 F(b)−F(a) 算〕
這一組的題目把別人的作答放在題幹裡,請你找出問題。
小易要算 ∫23 (4x + 3) dx,已知 F(x)=2x2 + 3x 是被積函數的一個反導函數。他的作答如下:
∫23 (4x + 3) dx = [2x2 + 3x]23 = F(3) = 2×32 + 3×3 = 27,所以答案是 27。
請(1)指出他的作答哪裡出了問題;(2)寫出正確的完整算式與結果。
不要急著看他的答案。先對照課文「怎麼用 F(b)−F(a) 算」的步驟,逐行檢查他寫了哪幾行、少了哪一行或哪個動作。〔回課文〕
想一想:定積分的值要用到 F 在哪幾個點的值?他的算式裡用到了幾個?各自是哪一個端點?〔回課文〕
自己從頭正確算一次:分行算出 F(上限)、F(下限),再以「上限的值減下限的值」組合,最後和他的答案比對,差在哪裡就是問題所在。
設定:F(3)=2×32 + 3×3;F(2)=2×22 + 3×2。這兩個值你自己算出來(F(3)=27),再依「上限減下限」相減。
問題:他只算了 F(3)=27,就把它當成答案,漏掉減去下限的值 F(2)=14。正確:∫23 (4x + 3) dx=[2x2 + 3x]23=F(3)−F(2)=27−14=13。
可能的錯法:除了漏減之外,也可能「減了卻把兩個代入值寫反」:F(2)−F(3)=14−27=−13(正確為 13);或「把兩值相加」:27+14=41。
補救:寫完 F(上限) 之後,立刻在旁邊空一行寫「F(下限)=」再算,養成成對出現的習慣;最後的算式一定是「F(上限)−F(下限)」,兩項缺一不可。
回到課文:〔怎麼用 F(b)−F(a) 算〕
小易要算 ∫24 (3x2 + 1) dx,已知 F(x)=x3 + x 是被積函數的一個反導函數。他的作答如下:
∫24 (3x2 + 1) dx = [x3 + x]24 = F(2) − F(4) = 10 − 68 = −58。
請(1)指出他的作答哪裡出了問題;(2)寫出正確的完整算式與結果。
不要急著看他的答案。先對照課文「怎麼用 F(b)−F(a) 算」的步驟,逐行檢查他寫了哪幾行,每一行的內容與課文步驟有什麼不同。〔回課文〕
想一想:定積分的值要用到 F 在哪幾個點的值?他的算式裡用到了幾個?各自是哪一個端點?〔回課文〕
自己從頭正確算一次:分行算出 F(上限)、F(下限),再以「上限的值減下限的值」組合,最後和他的答案比對,差在哪裡就是問題所在。
設定:F(4)=43 + 4;F(2)=23 + 2。這兩個值你自己算出來(F(4)=68),再依「上限減下限」相減。
問題:他寫成 F(2)−F(4),把「下限的值減上限的值」,次序顛倒,得到的是正確結果的相反數。正確:∫24 (3x2 + 1) dx=[x3 + x]24=F(4)−F(2)=68−10=58。
可能的錯法:除了次序顛倒(−58),也可能只代入上限(68),或把兩個值相加(78)。三者都不等於正確答案 58。
補救:先寫「F(上限)−F(下限)」這個文字形狀,再往裡面填數;填完用「函數值為正時,上限的 F 應該比較大」來粗略確認符號。
回到課文:〔端點、負值與不能這樣用的情況〕
兩位同學計算 ∫14 (3x2 − 6x + 4) dx,題目已給反導函數 F(x)=x3 − 3x2 + 4x。
甲同學:F(4)=32,F(1)=2,所以答案是 F(4) = 32。
乙同學:F(4)=32,F(1)=2,所以答案是 F(1) − F(4) = 2 − 32 = −30。
請(1)分別說明兩人各錯在哪裡;(2)寫出正確結果。
兩人算出來的 F(4) 與 F(1) 兩個值,先自己驗算一遍:它們對不對?再看他們之後拿這兩個值做了什麼。〔回課文〕
定積分要用的是「兩個端點的值」。想想:甲最後的式子用了幾個端點?乙兩個都用了,那他的問題會出在哪個環節?〔回課文〕
正確的組合是「上限的值減下限的值」。把甲、乙的最後一行各自對照這個形狀,看哪個部分不同。
設定:F(4)=32,F(1)=2。正確的式子是 F(上限) − F(下限),請填入兩個值算出結果,再和甲、乙的答案比對。
甲:只用了上限的值,漏減 F(1)。乙:兩個值都用了但次序顛倒,算成 F(1)−F(4)=−30,是正確答案的相反數。正確:F(4)−F(1)=32−2=30。結果:30。
可能的錯法:把兩個值相加 32+2=34(正確為 30);或把 F(4) 代錯,例如把 43 算成 12,使 F(4)=12−48+16=−20,再減 2 得 −22。
補救:算出兩個端點的值之後,先停一下:想「我要的是增加了多少」,增加量 = 後來的值 − 原來的值。
回到課文:〔端點、負值與不能這樣用的情況〕
小勻計算 ∫−23 (3x2 + 2x) dx,已知反導函數 F(x)=x3 + x2。她的作答:
F(3)=33 + 32 = 36;
F(−2)=−23 − 22 = −8 − 4 = −12;
答案:F(3) − F(−2) = 36 − (−12) = 48。
請(1)找出她哪一步出了問題;(2)寫出正確的 F(−2) 與結果。
不要先相信她的任何一行。把她寫的每一個代入與計算都自己重算一遍,看哪一行和你算的不一樣。〔回課文:端點、負值與不能這樣用的情況〕
這題的下限是負數。回想課文裡下限是負數的示範,看看那裡的代入步驟是怎麼寫的,再和她的 F(−2) 那一行比一比。〔回課文〕
自己把 F(−2) 的每一項分別代入、一項一行寫出來再算,不要一次心算。把你的每一行和她的每一行比較,找出第一個不一樣的地方。
設定:F(−2)=(−2)3 + (−2)2,請自己算出值;F(3)=36。最後用 F(3) − F(−2) 相減,注意減去的值是正數還是負數。
問題:她把 (−2)2 當成 −22(漏了括號,偶數次方的結果應為正)。正確:F(−2)=(−2)3 + (−2)2 = −8 + 4 = −4。∫ = F(3) − F(−2) = 36 − (−4) = 40。結果:40。
可能的錯法:算出正確的 F(−2)=−4 之後,減負數時漏了括號,算成 36 − 4 = 32(正確為 40);或次序顛倒,F(−2) − F(3) = −4 − 36 = −40;或只代上限,得 36。
補救:代入負數的那一行,先把括號寫出來再算次方;相減的那一行,把「減去的值」也用括號包起來。
回到課文:〔端點、負值與不能這樣用的情況〕
已知 f(x)=4x − 1,且 F(x)=2x2 − x 是 f 的一個反導函數(已給,不必自己求)。請依序寫出:(1)完整的定積分記號;(2)F(上限) 與 F(下限) 的代入;(3)相減後的結果。
要算的是 ∫−3−1 (4x − 1) dx。
這題已經給了 F,不必自己找。先分辨:被積函數是哪一個式子?積分變數是什麼?下限、上限各是多少?定積分的值要用到 F 的哪兩個值?〔回課文:記號與各部分的意思〕
定積分的值只由 F 在兩個端點的值決定。先把形狀寫下來:F( )−F( ),括號裡該放哪個數、誰減誰?先不要代數字。〔回課文:怎麼用 F(b)−F(a) 算〕
用「F(上限)−F(下限)」。F(上限) 與 F(下限) 各算一行。代入負數時一定加括號,例如 (−2)3。〔回課文〕
F(−1)=2×(−1)2 − (−1)=3。F(−3)=2×(−3)2 − (−3),請自己算出它的值,再用 F(−1)−F(−3) 相減。
∫−3−1 (4x − 1) dx=[2x2 − x]−3−1=F(−1)−F(−3)=3−21=−18。結果:−18。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):只代入上限、忘了減去下限的值,得到 F(−1)=3,結果 3(正確為 −18);相減次序顛倒,算成 F(−3)−F(−1)=21−3=18,結果 18(正確為 −18);把兩個端點的值相加,算成 F(−1)+F(−3)=3+21=24,結果 24(正確為 −18)。
補救:代入負數時,先把括號寫出來再算次方與乘法;被減的值是負數時,相減那一行也為它加括號。
回到課文:〔端點、負值與不能這樣用的情況〕
函數 f(x)=x2 + 2x + 3 有一個反導函數 F(x)=x3/3 + x2 + 3x。請用 F 求出 ∫−32 (x2 + 2x + 3) dx 的值,並寫出 F(上限)、F(下限) 與相減的過程。
這題已經給了 F,不必自己找。先分辨:被積函數是哪一個式子?積分變數是什麼?下限、上限各是多少?定積分的值要用到 F 的哪兩個值?〔回課文:記號與各部分的意思〕
定積分的值只由 F 在兩個端點的值決定。先把形狀寫下來:F( )−F( ),括號裡該放哪個數、誰減誰?先不要代數字。〔回課文:怎麼用 F(b)−F(a) 算〕
用「F(上限)−F(下限)」。F(上限) 與 F(下限) 各算一行。代入負數時一定加括號,例如 (−2)3。〔回課文〕
F(2)=(1/3)×23 + 22 + 3×2=38/3。F(−3)=(1/3)×(−3)3 + (−3)2 + 3×(−3),請自己算出它的值,再用 F(2)−F(−3) 相減。
∫−32 (x2 + 2x + 3) dx=[x3/3 + x2 + 3x]−32=F(2)−F(−3)=38/3−(−9)=65/3。結果:65/3。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):只代入上限、忘了減去下限的值,得到 F(2)=38/3,結果 38/3(正確為 65/3);相減次序顛倒,算成 F(−3)−F(2)=(−9)−38/3=−65/3,結果 −65/3(正確為 65/3);把兩個端點的值相加,算成 F(2)+F(−3)=38/3+(−9)=11/3,結果 11/3(正確為 65/3)。
補救:代入負數時,先把括號寫出來再算次方與乘法;被減的值是負數時,相減那一行也為它加括號。
回到課文:〔端點、負值與不能這樣用的情況〕
情境是為了練習而設計的假想例子,不是真實資料。
(假想情境)一個水槽在第 t 分鐘時槽內的水量為 V(t)=2t3 + 4t + 50(單位:公升),水流入的速率是 r(t)=6t2 + 4(公升/分),也就是 V 是 r 的一個反導函數(V 已給,可當作這裡的 F)。請用 V 算出 ∫13 (6t2 + 4) dt,說明它代表第 1 分鐘到第 3 分鐘之間流入多少公升,並說明為什麼式子裡的 50 不影響這個結果。
這題的 F 就是 V。先分辨:積分變數是 t;被積函數是 r(t);下限、上限各是多少?「流入多少」對應的是 V 的什麼量?〔回課文:為什麼端點的值就夠了〕
定積分的值只由 F 在兩個端點的值決定。先把形狀寫下來:F( )−F( ),括號裡該放哪個數、誰減誰?先不要代數字。〔回課文:怎麼用 F(b)−F(a) 算〕
用「F(上限)−F(下限)」。F(上限) 與 F(下限) 各算一行。每個代入的數要照 F 的每一項分別算。〔回課文〕
F(3)=2×33 + 4×3 + 50=116。F(1)=2×13 + 4×1 + 50,請自己算出它的值,再用 F(3)−F(1) 相減。
∫13 (6t2 + 4) dt=[2t3 + 4t + 50]13=F(3)−F(1)=116−56=60。它代表第 1 分鐘到第 3 分鐘之間流入 60 公升。式子裡的 50 在 V(3) 與 V(1) 都出現,相減時抵消,所以不影響結果。結果:60。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):只代入上限、忘了減去下限的值,得到 F(3)=116,結果 116(正確為 60);相減次序顛倒,算成 F(1)−F(3)=56−116=−60,結果 −60(正確為 60);把兩個端點的值相加,算成 F(3)+F(1)=116+56=172,結果 172(正確為 60)。
補救:「流入的量」是 V 的變化量,不是 V 本身;初始水量 50 在 V(3) 與 V(1) 都出現,相減後消掉。
回到課文:〔為什麼端點的值就夠了〕
(假想情境)一個點沿著數線移動,時間 t 秒時的位置為 s(t)=t3 − 5t2 + 3t(單位:公尺),速度 v(t)=3t2 − 10t + 3(公尺/秒),s 是 v 的一個反導函數(已給)。請算 ∫14 (3t2 − 10t + 3) dt,並說明結果的正負號在這個情境中代表什麼。
先確認:s 是這題的 F。積分變數是 t,下限是 1,上限是 4。結果代表的是「位置的變化」。〔回課文:為什麼端點的值就夠了〕
定積分的值只由 F 在兩個端點的值決定。先把形狀寫下來:F( )−F( ),括號裡該放哪個數、誰減誰?先不要代數字。〔回課文:怎麼用 F(b)−F(a) 算〕
用「F(上限)−F(下限)」。F(上限) 與 F(下限) 各算一行。每個代入的數要照 F 的每一項分別算。〔回課文〕
F(4)=43 − 5×42 + 3×4=−4。F(1)=13 − 5×12 + 3×1,請自己算出它的值,再用 F(4)−F(1) 相減。
∫14 (3t2 − 10t + 3) dt=[t3 − 5t2 + 3t]14=F(4)−F(1)=(−4)−(−1)=−3。結果為負,表示從第 1 秒到第 4 秒,位置往負方向移動了 3 公尺(位移為 −3 公尺)。結果:−3。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):只代入上限、忘了減去下限的值,得到 F(4)=−4,結果 −4(正確為 −3);相減次序顛倒,算成 F(1)−F(4)=(−1)−(−4)=3,結果 3(正確為 −3);把兩個端點的值相加,算成 F(4)+F(1)=(−4)+(−1)=−5,結果 −5(正確為 −3)。
補救:位移 = 後來的位置 − 原來的位置。算出負數表示最後位置在原來位置的負方向一側。
回到課文:〔為什麼端點的值就夠了〕
已知 F 是函數 f 的一個反導函數,且 F(−1)=5,F(4)=−9。(1)求 ∫−14 f(x) dx;(2)另一位同學選了反導函數 G(x)=F(x)+100,他算出的 ∫−14 f(x) dx 會是多少?為什麼?(只要回答(1)與(2)的值,並簡單說明理由。)
這題沒有給 f 的式子。想想:定積分的值需要的是 F 的哪些資訊?題目已經給了哪幾個?〔回課文〕
積分的上下限是 −1 與 4。形狀:F( ) − F( )。對 G 也一樣:G( ) − G( )。
用 F(上限) − F(下限)。G 的兩個端點值是 F 的值各加上多少?相減時會發生什麼事?〔回課文〕
(1)的算式是 F(4) − F(−1) = ( ) − ( ),括號裡分別填題目給的值再算。(2)G(4)=F(4)+100,G(−1)=F(−1)+100,代入相減,看 100 的去向。
(1)∫−14 f(x) dx = F(4) − F(−1) = (−9) − 5 = −14。(2)G(4) − G(−1) = (F(4)+100) − (F(−1)+100) = F(4) − F(−1) = −14,100 在相減時消掉了。結果:(1) −14;(2) −14。
可能的錯法:次序顛倒,算成 F(−1) − F(4) = 5 − (−9) = 14(正確為 −14);只用上限的值,答成 −9;兩值相加 5 + (−9) = −4;(2)以為 G 會多出 100,答成 86。
補救:任何兩個反導函數只差一個常數,相減時這個常數抵消;所以挑哪一個 F 都行。
回到課文:〔端點、負值與不能這樣用的情況〕