練習

先不要急著算。逐一讀題：題目說哪些線是「切線」？哪些線沒有這樣說？

切線與圓只碰到一個點。看看直線 PBC 和圓碰到幾個點，再回課文的「三步檢查」。

切線段等長要先確認「兩條線都是從同一個外點出發的切線」。請用這一句分別檢查 PA 所在的線與 PB 所在的線。

直線 PBC 與圓交於 B、C 兩個點。請接著回答：它是切線嗎？題目還有沒有給 PB 的其他條件？再寫出你對小明說法的判定。

判定：不能。理由：PA 是切線段沒錯，但 PB 在直線 PBC 上，這條直線和圓交於 B、C 兩個點，不是切線，所以「PA、PB 都是切線」這個條件不成立；題目也沒有給 PB 的其他條件，因此 PB 的長度不能由 PA = 15 cm 得到，小明的「PB = 15」沒有根據。（PB 是割線段，它的長度關係不在這一課。）

• 可能的錯法：寫「對，PB = 15 cm」。
  為什麼不對：看到 P、A、B 和 PA 的長度，就直接寫 PA = PB，沒有檢查 PB 所在的直線是不是切線。這個值沒有依據。
  補救：回課文「三步檢查」，先把「兩條線都是切線」寫成一句話：PB 所在的直線與圓有幾個交點？
• 可能的錯法：用尺量圖，看 PB 和 PA 差不多長就說「相等」。
  為什麼不對：圖不依比例，量出來的長度不能當作答案；判斷要靠題目給的條件。
  補救：把題目文字裡「切」「相切」的位置圈出來，沒有圈到的線不能當切線用。

題目裡有幾個外點？它們是同一個點嗎？

「切線段等長」說的是從「同一個外點」畫出的兩條切線。請把 PA 與 QB 各自的外點寫出來。

對照課文：條件之一是「兩條切線來自同一個外點」。先檢查這個條件，再看題目有沒有給 QB 的其他資訊。

PA 的外點是 P，QB 的外點是 Q，P、Q 是兩個不同的點。請想一想：只憑「PA = 9」與「QB 是切線段」，能不能確定 QB 的長？再寫出判定。

判定：不一定，不能由題目得到 QB = 9 cm。理由：切線段等長只在「同一個外點」的兩條切線之間成立。PA 從 P 出發、QB 從 Q 出發，外點不同；題目又沒有給 QB 的其他條件，所以 QB 的長度沒有被決定。（外點不同時，兩段切線段可能一樣長，也可能不一樣長；題目沒有給條件，就不能斷定。）

• 可能的錯法：寫「QB = 9 cm，因為 PA、QB 都是切線段」。
  為什麼不對：只檢查了「都是切線」，沒有檢查「同一個外點」。兩段切線段來自不同的點，沒有理由相等。
  補救：回課文「三步檢查」第一步：把 PA、QB 各自的外點標出來，不同就不能用。

先看圖上的直角記號告訴你什麼，再想 PA、PB 之間的關係。

OA、OB 是半徑，A、B 在圓上，而且半徑與 PA、PB 垂直。課文的「三步檢查」第二步怎麼確認切線？確認之後，PA 與 PB 有什麼關係？

先寫出「為什麼 PA、PB 是切線」與「為什麼是同一個外點 P」，再用切線段等長列出一個含 x 的等式，解 x，最後代回求長度。

等式是 x+9 = 2x−4。把含 x 的項放一邊、常數放另一邊解出 x。題目問的是 x 與 PB，不要只停在 x；把 x 代回去，PA 與 PB 要算出同一個數。

確認：A、B 在圓上，OA ⊥ PA、OB ⊥ PB，過半徑在圓上的那一端、又和半徑垂直的直線是切線，所以 PA、PB 是從同一個外點 P 出發的兩條切線；PA = PB。列式 x+9 = 2x−4，得 x−2x = −4−9，−x = −13，x = 13。PB = 2×13−4 = 22 (cm)，回查 PA = 13+9 = 22 (cm)，兩段相等，長度為正。答：x = 13，PB = 22 cm。

• 可能的錯法：解到 x = 13 就答「PB = 13 cm」。
  為什麼不對：把 x 當成長度。PB = 2x−4，不是 x；x = 13 時 PB = 22，不等於 13。
  補救：解出未知數後，一定要回到題目問的量：把 x 代回 PB 的式子。
• 可能的錯法：移項寫成 x−2x = 9−4，得 −x = 5、x = −5。
  為什麼不對：常數項移到右邊要變號：x+9 = 2x−4 移項是 x−2x = −4−9。照錯的寫法，x = −5 時 PA = 4、PB = −14，兩段不相等，而且長度出現負數。
  補救：代回檢查：兩段不相等或出現負數，就是解錯了，回頭檢查移項的正負號。

題目說 PA、PB 是什麼線？它們從哪個點出發？

同一個外點、兩條切線，PA 與 PB 的長度有什麼關係？

依「切線段等長」寫出 PB 與 PA 的關係式，再代入 PA 已知的長度。題目還要 PA+PB，最後再相加。

PB 與 PA 相等，所以 PB 的值由 PA 已知的長度決定；PA+PB 就是這兩段已知長度的和，請自己算出最後的數。

確認：PA、PB 是從同一個外點 P 出發的兩條切線（切於 A、B），所以 PB = PA = 18 cm。PA+PB = 18+18 = 36 (cm)。答：PB = 18 cm，PA+PB = 36 cm。

• 可能的錯法：寫「PA+PB = 18 cm」。
  為什麼不對：只加了一段：PB 也有 18 cm，兩段相加是 36 cm。
  補救：先寫出 PB 的值，再把「兩段」都放進加法。
• 可能的錯法：寫「PB = 18 cm，PA+PB = 324」（把兩段乘起來）。
  為什麼不對：PA+PB 是相加，不是相乘；乘出來的 324 不是長度。
  補救：題目寫「+」，就用加法；單位也要是 cm，不是平方公分。

先確認 PA、PB 的關係，再看題目給的是哪一種資訊（單一段的長，還是兩段的和）。

兩條切線段等長。如果 PA 的長度設成 y，PB 的長度怎麼用 y 表示？

設 PA = y，由切線段等長，PB 也是 y；再用 PA+PB = 50 列出一個關於 y 的方程式。

方程式是 y+y = 50，也就是 2y = 50。請自己解出 y，並寫成「PA = ？cm」。

確認：PA、PB 是從同一個外點 P 出發的兩條切線，所以 PA = PB。設 PA = y，則 PB = y，y+y = 50，2y = 50，y = 25。答：PA = 25 cm（回查：PB 也是 25，合計 50）。

• 可能的錯法：寫「PA = 50 cm」。
  為什麼不對：50 是 PA 與 PB 兩段合計的長，不是 PA 一段。若 PA 是 50，PB 也是 50，合計會變成 100。
  補救：把「合計」寫成算式 PA+PB = 50，再用 PA = PB 代換。
• 可能的錯法：寫「PA = 100 cm」（把合計乘以 2）。
  為什麼不對：兩段相等時，一段是合計的一半，不是兩倍；算出 100 時兩段合計會是 200，不是 50。
  補救：回查：把 PA、PB 兩段相加，要等於題目給的合計。

先把情境翻成幾何語言：哪個點是外點？哪兩段是切線段？

同一個外點 Q 的兩條切線段，長度有什麼關係？單位要不要先處理？

先用切線段等長得到 QN 的長度（單位是公尺），再把公尺換成題目要的公分。

1 公尺 = 100 公分。QN 與 QM 等長，所以 QN 的公尺數與 QM 相同；換算時小數點要往哪個方向移？請自己算出最後的數。

確認：QM、QN 是從同一個外點 Q 出發的兩條切線段，所以 QN = QM = 0.64 公尺。0.64 × 100 = 64，所以 QN = 64 公分。

• 可能的錯法：答「0.64 公分」。
  為什麼不對：沒有換算單位。0.64 是公尺數；換成公分是 64，差了 100 倍。
  補救：題目問公分，算出結果後先看單位：公尺乘 100 才是公分。
• 可能的錯法：答「6.4 公分」。
  為什麼不對：小數點只移了一位。1 公尺是 100 公分，要乘 100，不是乘 10。
  補救：用 1 m = 100 cm 逐位檢查：0.64 m 是 64 cm。

先確認 PA、PB 是什麼線、從哪裡出發，再想它們的長度關係。

兩段長度都含 x，而且它們有一個等量關係。這個關係可以寫成方程式。

用切線段等長寫出 3x+5 = 5x−9，解 x；最後把 x 代回求 PA，並回查 PB。

3x+5 = 5x−9 移項：3x−5x = −9−5，即 −2x = −14。請自己解出 x，代入 3x+5，再用 PB 的式子回查兩段是否相等。

確認：PA、PB 是從同一個外點 P 出發的兩條切線，PA = PB。3x+5 = 5x−9，3x−5x = −9−5，−2x = −14，x = 7。PA = 3×7+5 = 26 (cm)，回查 PB = 5×7−9 = 26 (cm)，兩段相等且為正。答：x = 7，PA = 26 cm。

• 可能的錯法：寫 3x−5x = 9−5，得 −2x = 4、x = −2。
  為什麼不對：移項時，只有被移過等號的項才要變號：5 從左邊移到右邊變成 −5，5x 從右邊移到左邊變成 −5x；右邊原本的 −9 沒有移動，仍然是 −9。所以 3x+5 = 5x−9 應得 3x−5x = −9−5。錯的寫法把 −9 寫成了 +9，得到 x = −2，PA = 3×(−2)+5 = −1 是負的，不可能是長度。
  補救：解完先看長度是否為正，再代入兩邊檢查是否相等。
• 可能的錯法：只算 x 就答「x = 7」。
  為什麼不對：題目要的是 x 與 PA 兩個量；只答 x 少了 PA。
  補救：寫答案前再讀一次題目最後一句。

先確認 RS、RU 是從哪個外點出發的什麼線。

兩段長度之間有等量關係。其中一段含括號，先想清楚括號怎麼處理。

用切線段等長列出 3(x−2) = x+12。先把括號乘開，再解 x，最後代回求 RS 並回查 RU。

3(x−2) 乘開是 3x−6（兩項都要乘 3）。方程式 3x−6 = x+12 移項得 2x = 18。請自己解出 x，再代回求 RS 與 RU。

確認：RS、RU 是從同一個外點 R 出發的兩條切線，RS = RU。3(x−2) = x+12，3x−6 = x+12，2x = 18，x = 9。RS = 3×(9−2) = 21 (cm)，回查 RU = 9+12 = 21 (cm)，相等且為正。答：x = 9，RS = 21 cm。

• 可能的錯法：括號只乘第一項：3(x−2) = 3x−2，解得 x = 7。
  為什麼不對：括號裡每一項都要乘 3，3(x−2) = 3x−6。照錯的寫法 x = 7，RS = 3×(7−2) = 15，RU = 7+12 = 19，兩段不相等，所以 x = 7 不對。
  補救：代回原式（連括號一起算）檢查兩段是否相等。

先確認 PA、PB 是什麼線、從哪個點出發，再列出它們的關係。這次 PA 的式子裡，x 的前面是減號。

兩段長度都含 x，而且有一個等量關係，可以列成方程式。移項時，含 x 的項要集中到同一邊，每一項移過等號都要改變正負號。

用切線段等長列出 62−4x = x+2，把含 x 的項移到一邊、常數移到另一邊，解 x；再把 x 代回 PA，並用 PB 回查兩段是否相等、是否為正數。

62−4x = x+2：把 −4x 移到右邊變成 +4x，把 2 移到左邊變成 −2，得 62−2 = x+4x，也就是 60 = 5x。請自己解出 x，代入 62−4x 求 PA，再用 x+2 回查兩段是否相等。

確認：PA、PB 是從同一個外點 P 出發的兩條切線，PA = PB。62−4x = x+2，62−2 = x+4x，60 = 5x，x = 12。PA = 62−4×12 = 62−48 = 14 (cm)，回查 PB = 12+2 = 14 (cm)，兩段相等且為正。答：x = 12，PA = 14 cm。

• 可能的錯法：把 −4x 移到右邊時沒有變號，寫成 62−2 = x−4x，得 60 = −3x、x = −20。
  為什麼不對：−4x 從左邊移到右邊要變成 +4x：62−4x = x+2 應得 62−2 = x+4x。照錯的寫法 x = −20，PA = 62−4×(−20) = 142，PB = −20+2 = −18，兩段不相等，而且 PB 是負的，不可能是長度。
  補救：解完先把 x 代回兩段檢查：兩段不相等或出現負數，就回頭檢查移項的正負號。
• 可能的錯法：x = 12 代回時寫成 PA = 62−4×12 = 58×12 = 696。
  為什麼不對：乘法要先算：4×12 = 48，再算 62−48 = 14；58×12 是把減法先算，運算順序錯了。照錯的算法 PA = 696，而 PB = 12+2 = 14，兩段不相等，就知道代錯了。
  補救：代數字時先寫出算式，先乘除、後加減；代回後兩段必須相等。

先不要看小華的第 (3)、(4) 行。你自己用 PA = PB 列方程式、解出 x，再回頭比對。

逐行比對：(1)、(2) 的理由和式子對嗎？從哪一行開始，小華和你的結果不同？另外，小華最後算出的長度合理嗎？

這題的方法是：列 PA = PB 的等式、解一元一次方程式、代回求 PA。請特別檢查移項時，每一項的正負號有沒有跟著改變。

正確的移項是 5x−7x = −13−3，也就是 −2x = −16。請你從這裡接著解 x、代回求 PA，並拿它和小華的 (3) 比較，說明差在哪裡。

錯處：從 (3) 開始。(1)、(2) 正確。(3) 移項時 7x 從右邊移到左邊要變成 −7x，3 從左邊移到右邊要變成 −3，小華卻都沒有變號。另外 (4) 得到負的長度，應該立刻回頭檢查，因為長度不可能是負的。正確解法：5x+3 = 7x−13，5x−7x = −13−3，−2x = −16，x = 8；PA = 5×8+3 = 43 (cm)，回查 PB = 7×8−13 = 43 (cm)，相等。答：PA = 43 cm。

• 可能的錯法：只說「答案是負的，所以不對」，沒有指出哪一行錯。
  為什麼不對：負的長度只告訴你「有錯」，沒告訴你錯在哪。要找出是移項的符號錯，才能改對。
  補救：從得到負值的那一行往回逐行檢查，找出第一個與正確結果不同的步驟。
• 可能的錯法：改成 5x−7x = −13+3，得 −2x = −10，x = 5，PA = 28。
  為什麼不對：3 移到右邊要變成 −3，所以是 −13−3，不是 −13+3。照這個錯法 x = 5，PA = 28，但 PB = 7×5−13 = 22，兩段不相等。
  補救：改完以後一定要代回兩邊檢查是否相等。

先自己做一次這一題，再和小安比對。別忘了題目最後問的是什麼。

逐行比對小安的 (1)～(4)。式子與運算都檢查一遍，並且讀一次題目最後一句。

這題的方法是：列等式、解 x、代回求「題目問的那一段」。請檢查小安最後一行寫的量，是不是題目要的量。

請把小安得到的 x 代回 PA 的式子 7x−5，也代回 PB 的式子 3x+11，看看兩段各是多少；再拿這個結果和小安最後一行寫的 PA 比較。

錯處：(4)。(1)～(3) 都正確，x = 4。但題目問的是 PA 的長度，不是 x。PA = 7x−5 = 7×4−5 = 23 (cm)，回查 PB = 3×4+11 = 23 (cm)，相等。小安把 x 的值當成 PA，漏了代回。答：PA = 23 cm。

• 可能的錯法：以為 (3) 也有錯，把 7x−3x = 11+5 改成 7x−3x = 11−5。
  為什麼不對：(3) 是對的：−5 從左邊移到右邊要變成 +5，所以是 11+5。改成 11−5 會得到 4x = 6，x = 3/2，PA 與 PB 代回後不相等。
  補救：覺得有錯時先代回檢查：把 x = 4 代進 PA、PB，兩段都是 23，就表示 x 沒有算錯。

先看每個頂點（A、B、C）各自畫出幾條切線段，再看小美把哪些線段當成相等。

「切線段等長」要求「同一個外點」。小美的第 (2) 行說六段全部一樣長，請檢查這六段各屬於哪一個外點（頂點）。

正確的做法是：每個頂點各自成對相等（頂點 A 的兩段、頂點 B 的兩段、頂點 C 的兩段）。設 AD = t，用 t 表示其他線段，再用三邊的長列方程式。

設 AD = t：AF = t；BD = BE = 7−t；CF = CE = 8−t。三條邊分別是 AD+DB、BE+EC、CF+FA，任選一條邊（例如 BC）列出 (7−t)+(8−t) = 9，並解 t。

錯處：(2)。切線段等長只在「同一個外點」的兩段之間成立：AD = AF（外點 A）、BD = BE（外點 B）、CE = CF（外點 C）。小美把外點不同的線段也算成相等。若六段全是 4，AB 會是 4+4 = 8，但題目的 AB = 7，矛盾。正確解法：設 AD = AF = t，BD = BE = 7−t，CE = CF = 8−t。BC = BE+CE，(7−t)+(8−t) = 9，15−2t = 9，t = 3。答：AD = 3 cm（另 BD = 4、CE = 5，回查 AB = 3+4 = 7，CA = 3+5 = 8，BC = 4+5 = 9）。

• 可能的錯法：寫「AD = (7+9+8)÷2 = 12 cm」。
  為什麼不對：12 是 AD+BD+CE 三段的和（半周長），不是 AD 一段；AD 只佔其中一部分。
  補救：先分成三個頂點各自成對，再設 AD = t 列方程式。
• 可能的錯法：把 AD 與 BD 當成相等，設 AD = BD = 7÷2 = 3.5。
  為什麼不對：D 在 AB 上，但 AD 屬於外點 A，BD 屬於外點 B，兩段不同外點，不能寫成相等。照這個算法 AD = 3.5，而正確的 AD = 3、BD = 4，兩段並不相等。
  補救：用 AB = AD+BD 時，AD 與 BD 是兩個未知數，要靠另外的邊來解。

三角形的每個頂點，各自向圓畫出幾條切線段？

頂點 A 有 AD、AF 兩段；頂點 B、頂點 C 也各有兩段。每個頂點的兩段有什麼關係？

設 AD = t，用「同一個頂點的兩段相等」把 AF、BD、BE、CF、CE 都用 t 表示，再選一條邊列方程式。

AF = t；BD = BE = 19−t；CF = CE = 18−t。BC = BE+CE，所以 (19−t)+(18−t) = 15。請自己解 t，並用另外一條邊回查。

確認：每個頂點的兩條切線段等長：AD = AF、BD = BE、CE = CF。設 AD = t，則 BD = BE = 19−t，CF = CE = 18−t。BC = BE+CE：(19−t)+(18−t) = 15，37−2t = 15，t = 11。答：AD = 11 cm。回查：BD = 8，CE = 7，BC = 8+7 = 15，與題目相符。

• 可能的錯法：寫「AD = (19+15+18)÷6」。
  為什麼不對：這是把六段都當成相等。(19+15+18)÷6 = 26/3，但這不是正確的 AD。切線段只在同一個頂點的兩段之間相等。
  補救：回課文「完整示範三」：先分成三個頂點，各自成對。
• 可能的錯法：設 AD = t 後，把 BD 寫成 19+t。
  為什麼不對：AB = AD+BD，所以 BD = AB−AD = 19−t，不是 19+t。
  補救：畫出 AB 上的 A、D、B 三點，確認 AD 與 BD 是 AB 被切成的兩段，相加等於 AB。

BC 被切點 E 分成哪兩段？

BC 被分成 BE 與 EC 兩段。BE 題目給了；EC 屬於哪個頂點？和題目給的哪一段同屬一個頂點？

EC 與 CF 都是從頂點 C 出發的切線段，所以等長。BC = BE+EC。

EC = CF，已知 CF 的長度。所以 BC = BE+EC 就是兩個已知長度相加。請自己算出最後的數，再用 AD 的條件檢查三邊是否都合理。

確認：EC 與 CF 都是從外點 C 出發的切線段，EC = CF = 9 cm。BC = BE+EC = 7+9 = 16 (cm)。答：BC = 16 cm。（回查：AD = AF = 3，BD = BE = 7，所以 AB = 3+7 = 10，CA = 3+9 = 12，三邊都為正。）

• 可能的錯法：寫「BC = AD+BE = 10」。
  為什麼不對：AD 是頂點 A 的切線段，不在 BC 上；BC 上的兩段是 BE 與 EC。10 其實是 AB，不是 BC。
  補救：先指出 BC 上的兩段是哪兩段，再找它們各屬於哪個頂點。
• 可能的錯法：寫「BC = AD+BE+CF = 19」。
  為什麼不對：19 是三角形周長的一半（半周長），不是 BC。BC 只包含 BE 與 EC 兩段。
  補救：用 BC = BE+EC，兩段一定要在 BC 上。

周長是三邊的和。先看三邊各被切點分成哪兩段。

每個頂點的兩段切線段相等。已知的 AD、BE 各屬於哪個頂點？由它們可以直接推出哪些線段的長？

先由 AD、BE 求出 AB；再用 AC 與 AF 的關係求出 CF；CE 與 CF 同頂點，由此得到 BC。最後把三邊相加。

AF = AD，BD = BE，所以 AB = AD+BD。CF = AC−AF，CE = CF，所以 BC = BE+CE。接著把 AB、BC、AC 相加。請自己算出最後的數。

確認：AF = AD = 4，BD = BE = 6，所以 AB = AD+BD = 4+6 = 10 (cm)。CF = AC−AF = 13−4 = 9 (cm)，CE = CF = 9 (cm)，BC = BE+CE = 6+9 = 15 (cm)。周長 = AB+BC+AC = 10+15+13 = 38 (cm)。答：周長 38 cm。

• 可能的錯法：寫「周長 = 4+6+13 = 23」。
  為什麼不對：把題目給的三個長度直接相加。但 AD、BE 只是邊的一部分，不是整條邊；周長要加的是 AB、BC、AC 三條完整的邊。
  補救：先寫出 AB、BC、CA 各是哪兩段相加，再算出每條邊。
• 可能的錯法：寫「AB = 10，BC = 6+13 = 19，周長 = 42」。
  為什麼不對：把 BC 算成 BE+AC，但 AC 不在 BC 上；BC 上的兩段是 BE 與 EC，EC = CF = 13−4 = 9。照錯的算法 BC = 19、周長 = 42，都比正確的大。
  補救：每算一條邊，都指出它由哪兩段組成，兩段都要在這條邊上。

三角形 PCD 的周長是哪三段的和？其中哪一段穿過切點 T？

CD 被切點 T 分成 CT 與 TD 兩段。C 是圓外一點，D 也是；它們各自畫了哪兩條切線？

先用 C 的兩條切線（CT 與 CA）和 D 的兩條切線（DT 與 DB）把 CT、TD 換掉，再用 PA = PB。

周長 = PC+CT+TD+DP。換成 CT = CA、TD = DB 之後，PC+CA 是哪一段？DB+DP 又是哪一段？請接著用 PA = PB 把它們變成已知的數，並自己算出最後的數。

確認：從 P 出發的 PA、PB 是切線，PA = PB = 15 cm。從 C 出發的 CT、CA 是切線，CT = CA；從 D 出發的 DT、DB 是切線，DT = DB。周長 = PC+CD+DP = PC+(CT+TD)+DP = PC+CA+DB+DP = (PC+CA)+(DB+DP) = PA+PB = 15+15 = 30 (cm)。答：周長 30 cm。

• 可能的錯法：寫「周長 = 15 cm」。
  為什麼不對：只看到 PA 就當成周長。周長有 PC、CD、DP 三段，換算後等於 PA+PB 兩段，共 30 cm。
  補救：把周長寫成 PC+CD+DP，再把 CD 拆成 CT+TD，看清楚換掉之後有幾段。
• 可能的錯法：寫「周長 = PA+PB+CD = 15+15+15 = 45」。
  為什麼不對：三角形 PCD 的邊是 PC、CD、DP，不是 PA、PB。CD 的長度也沒有給，不能當成 15。
  補救：三角形的三邊是哪三條線段，先指出來再加。

這題是上一題反過來問：已知周長，求 PA。先想上一題周長和 PA 之間是怎麼連起來的。

周長 PC+CD+DP 可以用切線段等長改寫。改寫之後，周長和哪些切線段的和一樣？

把 CD 拆成 CT+TD，再用 CT = CA、TD = DB，把周長改寫成 PA 與 PB 的和；PA = PB 再把它變成 PA 的兩倍。

周長 = PA+PB = 2PA。題目給周長 34，所以 2PA = 34。請自己解出 PA，並寫成「PA = ？cm」。

確認：周長 = PC+CD+DP = PC+CT+TD+DP = PC+CA+DB+DP（因為 CT = CA、TD = DB）= PA+PB。又 PA = PB（同一外點 P 的兩條切線），所以周長 = 2PA。2PA = 34，PA = 17。答：PA = 17 cm。

• 可能的錯法：寫「PA = 34 cm」。
  為什麼不對：34 是三角形 PCD 的周長，換算後等於 PA+PB 兩段的和（PA 的兩倍），不是 PA 一段。
  補救：先寫出周長 = 2PA，再解 PA。
• 可能的錯法：寫「PA = 34÷3 cm」。
  為什麼不對：把周長平均分成三邊，但三角形 PCD 的三邊 PC、CD、DP 並不相等，這樣算沒有依據。
  補救：周長與 PA 的關係來自切線段等長，不是平均分。

四個頂點 A、B、C、D，各自向圓畫出幾條切線段？

每個頂點各有兩段切線段，而且這兩段相等。四條邊，每條邊都由兩段切線段相加而成。

設 AE = AH = a，BE = BF = b，CF = CG = c，DG = DH = d，把四條邊都用 a、b、c、d 表示，再觀察哪些邊相加後會得到同一個和。

AB = a+b，BC = b+c，CD = c+d，DA = d+a。AB+CD 與 BC+DA 各等於什麼？它們之間有什麼關係？再用題目已知的三邊求 DA。

確認：每個頂點的兩段切線段相等。AB+CD = (a+b)+(c+d) = a+b+c+d，BC+DA = (b+c)+(d+a) = a+b+c+d，所以 AB+CD = BC+DA。代入：14+12 = 11+DA，26 = 11+DA，DA = 15 (cm)。答：DA = 15 cm。

• 可能的錯法：寫「AB+BC = CD+DA，所以 DA = 14+11−12 = 13」。
  為什麼不對：配對配錯了。相加得到同一個和的是「相對的兩邊」：AB+CD 與 BC+DA；相鄰的 AB+BC 與 CD+DA 並不相等。照錯的配對 DA = 13，但正確答案不是 13。
  補救：把四邊都拆成 a、b、c、d，看哪兩組相加後恰好是 a+b+c+d。