回課文。每題先自己做，需要時再依序展開提示。看過第 3 層以上提示才做出來的題目，算是練習，還不算獨立完成，之後要隔一段時間，不看提示，用原題重做一次。L5 會揭示完整答案。
記號：在重複的數字上方加橫線，例如 0.3、0.41 表示循環；每題另寫出「…」的展開以免誤讀。分數請約成最簡分數，不用近似小數，也不需要計算機。題目中的數字是為了練習設計的，不是真實資料。
下面四個等式，哪些是正確的？請對每一個說明理由（寫出該小數的化法，或指出錯在哪）。
（甲）0.8 = 8/9 （乙）0.47 = 47/100 （丙）0.20 = 2/9 （丁）0.32 = 29/90
其中 0.8 表示 0.888…，0.47 表示 0.474747…，0.20 表示 0.202020…，0.32 表示 0.3222…。
分別把四個小數化成分數，再和題目給的比較。〔回課文：一般的證明〕
甲、丙是純循環，乙也是純循環；丁有 1 位不循環的 3。先判斷每一個的 p 與 m，再決定分母。
公式：純循環是「循環節當整數 ÷ m 個 9」；混循環是 (AB − A) ÷ （m 個 9 後接 p 個 0）。
甲：m = 1，N = 8。乙：m = 2，N = 47。丙：m = 2，N = 20（0 也要算進位數，N = 20）。丁：p = 1，A = 3，m = 1，AB = 32。把每一個分母和分子寫出來，再約分。
甲：8/9，與題目相同，正確。乙：47/99，題目寫 47/100，分母錯（100 是有限小數 0.47 的分母）。丙：20/99，題目寫 2/9 = 22/99，不相等。丁：(32 − 3)/90 = 29/90，正確。結論：甲、丁正確；乙、丙錯。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：把乙寫成 47/100，是把 0.474747… 當成有限小數 0.47，得到 47/100 = 0.47，但 0.474747… 大於 0.47；把丙約成 2/9，是把 20/99 當成可以「約掉 0」，2/9 = 0.2222… 與 0.2020… 不同。
補救：重新用 100x − x 的步驟算乙、丙，注意循環節 47、20 都是兩位，分母是 99。〔回課文：對應段落〕
回到原題時，請把整個作答（設 x、兩個式子、相減、解出 x、約分、回展開）完整重寫一次，不可只改最後一個數。
小芳要把 x = 0.17（0.171717…）化成分數，她寫：
「設 x = 0.171717…，則 10x = 1.717171…，相減：10x − x = 1.717171… − 0.171717… = 1.545454…，所以 9x = 1.545454…。」
（1）她的做法哪裡出了問題？（2）請改正，求出 x 的最簡分數。
相減之後，右邊有沒有變成整數？回想「尾巴要一樣」的條件。〔回課文：方法一〕
比較 x 與 10x 小數點右邊的數字：兩串是否逐位相同？
循環節是 17，長度 2，要乘 10 的幾次方，小數點右邊才又是同一串 1717…？
改乘 100：100x = 17.171717…，x = 0.171717…，兩式小數點右邊都是 171717…。相減之後左邊是 (100 − 1)x，右邊是一個整數。
問題：乘 10 只右移 1 位，10x 小數點右邊是 7171…，x 的是 1717…，尾巴不同，減不掉，右邊仍是無窮小數。改正：100x − x = 17，99x = 17，x = 17/99（17 與 99 沒有公因數，已是最簡）。回展開：17 ÷ 99，170 = 1×99 + 71，商 1 餘 71；710 = 7×99 + 17，商 7 餘 17；170 又出現，所以 0.171717…，正確。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：改乘 10m 時，把 m 抄成循環節的數字而不是位數，例如乘 17；或乘 100 後相減，卻把右邊寫成 17.17，得 99x = 17.17。
補救：重做時先寫「循環節長度 m = ?」，再決定乘 10 的幾次方。〔回課文：對應段落〕
回到原題時，請把整個作答（設 x、兩個式子、相減、解出 x、約分、回展開）完整重寫一次，不可只改最後一個數。
不必解出分數。對下面每個循環小數，寫出移位相減的兩個倍數，以及相減後得到的式子 k·x = n（k、n 都是整數）。
（a）0.4（0.444…） （b）0.31（0.313131…） （c）0.47（0.4777…） （d）0.1256（0.12565656…）
每題先判斷：不循環的位 p 是幾位？循環節長度 m 是幾位？〔回課文：方法一〕
兩個倍數是 10p 與 10p+m（p = 0 時，較小的倍數就是 1，即 x 本身）。
相減後左邊是 (10p+m − 10p)x，右邊是 AB − A（A 是不循環的位當整數，AB 是不循環的位接上一輪循環節當整數）。
（a）p = 0，m = 1。（b）p = 0，m = 2。（c）p = 1，A = 4，AB = 47。（d）p = 2，A = 12，m = 2，AB = 1256。請先把各題的 10p、10p+m 寫出來。
（a）10x − x：9x = 4。（b）100x − x：99x = 31。（c）100x − 10x：90x = 47 − 4 = 43。（d）10000x − 100x：9900x = 1256 − 12 = 1244。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：（c）寫成 90x = 47（忘了減 A = 4）；（d）寫成 9900x = 1256，或誤把倍數寫成 1000x − 100x（尾巴沒對齊，因為 m = 2，應該多乘 100）。（a）有人寫 10x − x = 4，漏了左邊的 9x。
補救：重做時把 p、m、A、AB 先列一張小表，再套公式。〔回課文：對應段落〕
回到原題時，請把整個作答（設 x、兩個式子、相減、解出 x、約分、回展開）完整重寫一次，不可只改最後一個數。
把 0.35（0.353535…）化成最簡分數，並用長除法回展開確認。
設 x，找循環節的長度。〔回課文：方法一〕
循環節 35 有幾位？要把小數點右移幾位，小數點右邊才又是 3535…？
做 100x − x，右邊是一個整數，左邊是幾倍的 x？
100x = 35.353535…，x = 0.353535…，相減得 □x = □。最後檢查分子分母有沒有公因數。
99x = 35，x = 35/99。35 = 5×7，99 = 9×11，沒有公因數，已是最簡。回展開：350 = 3×99 + 53，商 3 餘 53；530 = 5×99 + 35，商 5 餘 35；350 又出現，所以重複 35，得 0.353535…，正確。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：寫成 35/100（把循環當有限）或 35/9（只放一個 9）。35/100 = 0.35，35/9 = 3.888…，都不是 0.3535…。
補救：回到課文把 m 與 9 的個數對應起來：m 位循環節，分母是 m 個 9。〔回課文：對應段落〕
回到原題時，請把整個作答（設 x、兩個式子、相減、解出 x、約分、回展開）完整重寫一次，不可只改最後一個數。
把 0.48（0.484848…）化成最簡分數。
循環節長度是多少？〔回課文：方法一〕
乘多少倍可以讓小數點右邊又是 484848…？
相減之後得 99x = 一個整數，再約分。
99x = 48。48 與 99 有沒有公因數？先找 3 的倍數。
100x = 48.4848…，x = 0.4848…，相減：99x = 48，x = 48/99 = 16/33（同除以 3）。回展開：16 ÷ 33，160 = 4×33 + 28，商 4 餘 28；280 = 8×33 + 16，商 8 餘 16；160 又出現，所以 0.484848…，正確。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：約分時只除分子（寫成 16/99，其值 0.1616…）或只除分母（寫成 48/33，其值大於 1），都不是 0.4848…。
補救：重做時，把約分前後的分數都用長除法算前 4 位核對。〔回課文：對應段落〕
回到原題時，請把整個作答（設 x、兩個式子、相減、解出 x、約分、回展開）完整重寫一次，不可只改最後一個數。
x = 2.07（2.070707…）。
（1）把 0.070707… 寫成無窮等比級數 0.07 + 0.0007 + 0.000007 + …，說出首項、公比，並求和。（2）用（1）的結果求 x 的最簡分數（含整數部分）。
無窮等比級數的和需要首項 a 與公比 r，並要 |r| < 1。〔回課文：方法二〕
首項是第一個 0.07；後一項與前一項的比值是多少？
和 = a/(1 − r)。再加上整數部分 2。
a = 7/100，r = 1/100。a/(1 − r) 的分母是 1 − 1/100 = 99/100。
首項 a = 7/100，公比 r = 1/100，|r| < 1，收斂，和 = (7/100) ÷ (99/100) = 7/99。所以 x = 2 + 7/99 = 205/99。回展開：205 ÷ 99 = 2 餘 7；70 ÷ 99 = 0 餘 70；700 ÷ 99 = 7 餘 7；餘數 7 回到起點，所以重複 07，得 2.070707…，正確。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：首項寫成 0.7（而不是 0.07，把循環節 07 的 0 丟了）。這樣得 (7/10)/(1 − 1/100) = 70/99，和 7/99 差 10 倍。另一個錯：算完 7/99 就停，忘了加整數部分 2。
補救：重做時先寫「第一項是循環節 07 除以 10 的幾次方」。〔回課文：對應段落〕
回到原題時，請把整個作答（設 x、兩個式子、相減、解出 x、約分、回展開）完整重寫一次，不可只改最後一個數。
把 0.56（0.5666…）化成最簡分數，並回展開確認。
有幾位不循環？循環節是什麼？〔回課文：方法一〕
先乘 10 把不循環的 5 移到小數點左邊，再多乘 10m，兩個式子的尾巴就一樣。
甲：100x；乙：10x。相減之後，右邊是 56 − 5。
100x = 56.666…，10x = 5.666…，相減得 □x = □，再約分。
90x = 56 − 5 = 51，x = 51/90 = 17/30。回展開：17 ÷ 30，170 = 5×30 + 20，商 5 餘 20；200 = 6×30 + 20，商 6 餘 20；餘數 20 重複，所以 0.5666…，正確。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：算成 56/90 = 28/45（忘了減不循環的 5）：28/45 = 0.6222…，不是 0.5666…；或把分母寫成 99（以為有兩個 9 就好，56/99 = 0.5656…）。
補救：重做時，把右邊寫成「AB − A」再算。〔回課文：對應段落〕
回到原題時，請把整個作答（設 x、兩個式子、相減、解出 x、約分、回展開）完整重寫一次，不可只改最後一個數。
把 0.0318（0.0318181818…）化成最簡分數。
小數點後前兩位是 0、3（不循環），之後 18 重複。p、m 各是多少？〔回課文：公式二〕
不循環的位當整數是 03，也就是 3；AB 是 0318（不循環的兩位接上一輪循環節）。
倍數是 10p 與 10p+m。右邊是 AB − A。
p = 2，m = 2。10000x − 100x = 9900x = 318 − 3。再約分，分母可能含 2²×5×11。
9900x = 318 − 3 = 315，x = 315/9900。315 = 3²×5×7，9900 = 2²×3²×5²×11，同除以 45 得 x = 7/220。回展開：7 ÷ 220，70 < 220 商 0；700 = 3×220 + 40，商 3 餘 40；400 = 1×220 + 180，商 1 餘 180；1800 = 8×220 + 40，商 8 餘 40；餘數 40 重複（循環 18），所以 0.03181818…，正確。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：把不循環的位數 p 數成 1（以為 0 不算位），分母變 990，得 315/990 = 7/22 = 0.318181…，與 0.031818… 差 10 倍；或右邊寫 318 不減 3，得 318/9900 = 53/1650。
補救：重做時數清楚小數點後有幾位不循環（0 也算）。〔回課文：對應段落〕
回到原題時，請把整個作答（設 x、兩個式子、相減、解出 x、約分、回展開）完整重寫一次，不可只改最後一個數。
把 x = 1.436（1.4363636…）化成最簡分數。
整數部分 1 另外放，小數部分是混循環。〔回課文：公式二〕
小數部分 0.4363636…，p = 1，m = 2，A = 4，AB = 436。
先求 0.436，再加 1。
990y = 436 − 4，y = 432/990，再約分，最後加 1。
設 y = 0.436：1000y − 10y = 436 − 4 = 432，990y = 432，y = 432/990 = 24/55（同除以 18）。x = 1 + 24/55 = 79/55。回展開：79 ÷ 55 = 1 餘 24；240 = 4×55 + 20，商 4 餘 20；200 = 3×55 + 35，商 3 餘 35；350 = 6×55 + 20，商 6 餘 20；餘數 20 重複，所以 1.4363636…，正確。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：忘了加整數部分 1，答 24/55；或右邊寫 436 不減 4，得 y = 436/990 = 218/495，再加 1 得 713/495，都不等於 79/55。
補救：重做時：先把整數部分與小數部分分開，小數部分用 AB − A，最後再加整數。〔回課文：對應段落〕
回到原題時，請把整個作答（設 x、兩個式子、相減、解出 x、約分、回展開）完整重寫一次，不可只改最後一個數。
小威要把 x = 0.27（0.2777…）化成分數，他寫：
「100x = 27.777…，10x = 2.777…，相減：90x = 27，x = 27/90 = 3/10。」
（1）哪一步錯了？（2）請寫出正確的最簡分數，並說明如何發現 3/10 不對。
檢查相減的右邊：27.777… − 2.777… 是多少？〔回課文：常見的錯（d）〕
3/10 是 0.3，和 0.2777… 比一比，誰比較大？
右邊不是 27，而是 AB − A。
27.777… − 2.777… = 25。再解 90x = 25。
27.777… − 2.777… = 25，不是 27，錯在右邊把不循環的 2 忘了減。90x = 25，x = 25/90 = 5/18。發現 3/10 不對：3/10 = 0.3，比 0.2777… 大。回展開：5 ÷ 18，50 = 2×18 + 14，商 2 餘 14；140 = 7×18 + 14，商 7 餘 14；餘數 14 重複，所以 0.2777…，正確。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：改成 27 − 2 = 25 後，又約錯成 5/9（25/90 約成 5/9，其實 25/90 = 5/18）；5/9 = 0.555…。
補救：重做時，約分之後用長除法核對前三位。〔回課文：對應段落〕
回到原題時，請把整個作答（設 x、兩個式子、相減、解出 x、約分、回展開）完整重寫一次，不可只改最後一個數。
小晴要把 0.06（0.060606…）化成分數，她說：「循環節是 6，所以 x = 6/9 = 2/3。」
（1）她的結果為什麼不合理？（2）求正確的最簡分數。
循環節是 6 還是 06？循環節要包含開頭的 0。〔回課文：常見的錯（c）〕
估一估：0.0606… 和 2/3 = 0.666… 差多少？
循環節 06 有 m = 2 位，乘 100。
100x − x = 6（循環節 06 當整數就是 6）。再約分。
(1) 0.0606… 小於 0.07，而 2/3 約 0.667，大小差約 11 倍，不合理；錯在把循環節當 6，位數 m 取 1，分母只放 1 個 9，丟了開頭的 0。(2) 100x = 6.0606…，相減：99x = 6，x = 6/99 = 2/33。回展開：2 ÷ 33，20 < 33 商 0；200 = 6×33 + 2，商 6 餘 2；餘數 2 回到起點，重複 06，所以 0.060606…，正確。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：改成 6/99 後忘了約分，只寫 6/99（正確但不是最簡）；或只把分子除以 2，寫成 3/99（其值 1/33），與 2/33 不同。
補救：重做時，最後檢查分子分母是否還有公因數。〔回課文：對應段落〕
回到原題時，請把整個作答（設 x、兩個式子、相減、解出 x、約分、回展開）完整重寫一次，不可只改最後一個數。
小豪求 x = 4.63（4.636363…）的最簡分數，他寫：「設 y = 0.636363…，100y − y = 63，y = 63/99 = 7/11，所以 x = 7/11。」
（1）他的答案為什麼不對？（2）寫出正確答案。
小豪算的是哪一個數？〔回課文：常見的錯（e）〕
題目要求的 x 和他設的 y 差了什麼？
x = 4 + y。
y = 7/11 沒錯，把 4 加回去。
小豪算出的是 y = 0.636363… = 7/11，這部分正確，但題目的 x = 4 + y，他漏了整數部分 4。x = 4 + 7/11 = 51/11。回展開：51 ÷ 11 = 4 餘 7；70 = 6×11 + 4，商 6 餘 4；40 = 3×11 + 7，商 3 餘 7；餘數 7 重複，所以 4.636363…，正確。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：加整數部分時寫成 4 × 7/11 = 28/11，或把 4 和 7 並排寫成 47/11，都不等於 51/11。
補救：重做時，先用估計：4.6 左右，51/11 約 4.64，28/11 約 2.5。〔回課文：對應段落〕
回到原題時，請把整個作答（設 x、兩個式子、相減、解出 x、約分、回展開）完整重寫一次，不可只改最後一個數。
小琪把 0.84（0.848484…）化成 84/99 後，約分寫成「84/99 = 4/9（把 8 和 9 約掉）」。
（1）4/9 是不是 0.848484…？用長除法回展開檢查。（2）寫出正確的最簡分數，並指出約分錯在哪裡。
分數約分的規則是什麼？〔回課文：常見的錯（f）〕
4/9 的小數展開是什麼？先用長除法算前三位。
約分要找分子分母的公因數，同除以它。
84 = 2²×3×7，99 = 3²×11，公因數是 3。
(1) 4/9：40 = 4×9 + 4，商 4 餘 4，餘數重複，所以 0.444…，不是 0.848484…。(2) 約分是分子分母同除以公因數，不是數字的某一位互約；84 與 99 的最大公因數是 3，84/99 = 28/33。回展開：280 = 8×33 + 16，商 8 餘 16；160 = 4×33 + 28，商 4 餘 28；餘數 28 回到起點，所以 0.848484…，正確。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：只除分子，寫成 28/99（其值 0.2828…）；或只除分母，寫成 84/33（大於 1），都不是 0.8484…。
補救：重做時，列出 84 與 99 的質因數再約分。〔回課文：對應段落〕
回到原題時，請把整個作答（設 x、兩個式子、相減、解出 x、約分、回展開）完整重寫一次，不可只改最後一個數。
三位同學把 0.42（0.4222…）化成分數，答案分別是：甲 14/33，乙 19/45，丙 38/99。不要先解題，直接用長除法算每個分數的前 4 位小數，決定哪一個是對的。
每個分數除出來，要和 0.4222… 逐位比較。〔回課文：自我檢查〕
先算 14/33：140 除以 33 的商與餘數是什麼？
長除法每步：餘數乘 10，除以分母。若前 3 位就和 0.422 不同，就可以淘汰。
三個分數都算到小數第 4 位。每一步：餘數乘 10，除以分母，商是下一位，餘數留到下一步。
14/33：140 = 4×33 + 8，商 4 餘 8；80 = 2×33 + 14，商 2 餘 14；140 又出現，所以 0.424242…，第 3 位是 4，不同於 2，淘汰。38/99：380 = 3×99 + 83，商 3；0.3838…，第 1 位是 3，淘汰。19/45：190 = 4×45 + 10，商 4 餘 10；100 = 2×45 + 10，商 2 餘 10；餘數 10 重複，所以 0.4222…，吻合。答案：乙。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：只比較前兩位就下結論（甲 0.42… 與目標 0.42… 前兩位相同，但第 3 位不同）。
補救：重做時，至少比較三位，並看餘數是否出現重複。〔回課文：對應段落〕
回到原題時，請把整個作答（設 x、兩個式子、相減、解出 x、約分、回展開）完整重寫一次，不可只改最後一個數。
x = 0.145（0.1454545…）。兩位同學算出：小安說 x = 8/55，小林說 x = 29/198。
（1）分別用長除法算 8/55 與 29/198 的前 5 位小數。（2）哪一位對？錯的那位，右邊的整數應該是多少、哪裡弄錯了？
長除法：餘數乘 10，除以分母，商就是下一位。〔回課文：自我檢查〕
8/55：80 除以 55 是多少？
對照 0.1454545… 的每一位。第一個不同的位在哪裡？
兩個分數各算到小數第 5 位，與 0.14545… 比較。再回想：x 的右邊整數是 AB − A，這裡 A = 1，AB = 145。
8/55：80 = 1×55 + 25，商 1 餘 25；250 = 4×55 + 30，商 4 餘 30；300 = 5×55 + 25，商 5 餘 25；餘數 25 重複，所以 0.14545…，與 x 吻合。29/198：290 = 1×198 + 92，商 1；920 = 4×198 + 128，商 4；1280 = 6×198 + 92，商 6，所以 0.14646…，第 3 位 6 ≠ 5，不吻合。小林是對 145/990 約分得 29/198，右邊應是 145 − 1 = 144，990x = 144，x = 144/990 = 8/55，他忘了減 1。答案：小安對。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：只比較前兩位 0.14 就認為兩個都對；或認為「分數不同但小數前兩位相同，所以都對」。
補救：重做時，比較到小數第 3、4 位。〔回課文：對應段落〕
回到原題時，請把整個作答（設 x、兩個式子、相減、解出 x、約分、回展開）完整重寫一次，不可只改最後一個數。
x = 3.19（3.19999…）。
（1）用移位相減化成最簡分數。（2）x 與 3.2 相比，是小於、等於還是大於？理由是什麼？
循環節 9，混循環。〔回課文：邊界：0.9 等於 1〕
整數部分 3 另外放，小數部分 y = 0.19 是混循環：p = 1，m = 1，A = 1，AB = 19。
用公式二的步驟：乙式 10y，甲式 100y，尾巴都是 0.999…。
100y − 10y = 19.999… − 1.999…，先算右邊是多少，再解 y，最後加整數 3。
小數部分 y = 0.19：100y − 10y = 19 − 1 = 18，90y = 18，y = 1/5。x = 3 + 1/5 = 16/5 = 3.2。(2) x 等於 3.2。理由：x 的小數部分用移位相減算出就是 1/5 = 0.2，不需要額外規定；也可以把 0.09 看成首項 9/100、公比 1/10 的級數，和 = (9/100)/(9/10) = 1/10，所以 0.1 + 0.1 = 0.2。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：認為 3.1999… 比 3.2 小「一點點」，因為「9 永遠寫不完」。若真有差 d，則 d 要小於 1/10n 對每個 n，只能是 0。
補救：重做時，用任一方法算 0.19 是 1/5，看是否等於 0.2。〔回課文：對應段落〕
回到原題時，請把整個作答（設 x、兩個式子、相減、解出 x、約分、回展開）完整重寫一次，不可只改最後一個數。
一個循環小數 0.ab（循環節是兩個數字 a、b，a、b 是 0 到 9 的數字）等於 8/33。求 a 與 b，寫出循環節，並用長除法驗證。
由分數往回走：循環節兩位的純循環小數，分母是 99 的因數。〔回課文：公式一〕
8/33 的分母 33 與 99 有什麼關係？
把 8/33 擴成分母 99 的分數，分子就是循環節當整數。
99 = 3×33，分子分母同乘 3 之後，分子是多少？這個分子就是 10a + b。
8/33 = 24/99，所以 0.ab = (10a + b)/99 = 24/99，10a + b = 24，a = 2，b = 4。循環節 24，小數是 0.242424…。驗證：8 ÷ 33，80 = 2×33 + 14，商 2 餘 14；140 = 4×33 + 8，商 4 餘 8；餘數 8 回到起點，所以 0.242424…，正確。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：誤以為 8/33 = 0.08 或 0.0808…，把 8 直接放進循環節；0.08 = 8/99，不是 8/33。
補救：重做時，先把分母統一成 99。〔回課文：對應段落〕
回到原題時，請把整個作答（設 x、兩個式子、相減、解出 x、約分、回展開）完整重寫一次，不可只改最後一個數。
a、b 是 0 到 9 的數字。0.ab 表示循環節是兩位數 ab 的循環小數。
（1）證明 0.ab = (10a + b)/99。（2）證明 0.ab + 0.ba = (a + b)/9。（3）取 a = 2，b = 6，計算 0.26 + 0.62，寫成最簡分數。
(1) 設 x = 0.ab，循環節 m = 2。〔回課文：公式一〕
(1) 100x 小數點右移 2 位，整數部分是兩位數 ab，也就是 10a + b。
(2) 把 (1) 套用兩次：ab 與 ba 的位置對調，兩個分子相加。
(1) 100x = (10a + b) + x。(2) (10a + b) + (10b + a) = 11(a + b)。
(1) 設 x = 0.ab。100x = (10a + b) + 0.ab = (10a + b) + x（右移 2 位，整數部分是 10a + b，小數點右邊又是循環節 ab）。移項：99x = 10a + b，x = (10a + b)/99。(2) 同理 0.ba = (10b + a)/99。相加：(10a + b + 10b + a)/99 = 11(a + b)/99 = (a + b)/9。(3) 0.26 + 0.62 = (2 + 6)/9 = 8/9。直接驗證：26/99 + 62/99 = 88/99 = 8/9，一致。
可能的錯法（這些是為練習設計的例子，不是真實同學的作答）：(1) 寫成 x = 10a + b / 99 時漏括號，或把循環節當成 a×b。(3) 直接把 0.2626… 與 0.6262… 相加，得 0.8888… 後只寫「約 0.89」，這不是分數。
補救：重做時，每一步都寫出左右兩邊的意義，不能只代數字。〔回課文：對應段落〕
回到原題時，請把整個作答（設 x、兩個式子、相減、解出 x、約分、回展開）完整重寫一次，不可只改最後一個數。