回課文。每題先自己做,需要時再依序展開提示。看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,之後要隔一段時間,不看提示,用原題重做一次。L5 會揭示完整答案。
記號:f 為多項式函數,在區間上連續;平均值 = 帶號積分 ÷ 區間長。答案請用整數、分數或根式表示,不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
求 f(x)=2x+1 在區間 [0,4] 的平均值,並用「區間長 × 平均值」核對。
平均值和「總量」是不同的量。想想:題目要的是哪一個?它和積分、區間長有什麼關係?〔回課文:公式與每個量〕
先決定要算哪些量:反導函數、帶號積分、區間長,最後才是平均值。把這幾步的形狀寫出來,先不要代數字。
平均值 = 帶號積分 ÷ 區間長。先求 f 的反導函數 F,再算 F(4)−F(0)。
F(x)=x²+x;F(4)−F(0)=20;區間長 4。最後一步請自己完成,並用「區間長 × 平均值」核對。
F(x)=x²+x,帶號積分 = F(4)−F(0)=20−0=20;區間長 4;平均值 = 20/4=5。核對:4×5=20,吻合;f 是一次函數,中點 x=2 的函數值 f(2)=5,也吻合。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):只算到積分就停,寫出總量(得 20,正確為 5)、只取右端點函數值 f(4) 當平均(得 9,正確為 5)、把 f(0)+f(4) 相加但沒有除以 2(得 10,正確為 5)。
補救:先寫出「平均值 = 帶號積分 ÷ 區間長」這一行,再依序填入數字;最後一定做「區間長 × 平均值」的核對。 先看〔回課文:公式與每個量〕。重做時須完整重寫計算,不可只改最後一個數。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:f 為多項式函數,在區間上連續;平均值 = 帶號積分 ÷ 區間長。答案請用整數、分數或根式表示,不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
求 f(x)=x² 在區間 [1,4] 的平均值,並用「區間長 × 平均值」核對。
這是二次函數。課文裡的兩個「捷徑」(端點平均、中點函數值)對它成立嗎?哪一個方法一定成立?〔回課文:示範〕
一定成立的做法是回到積分:反導函數、上限減下限、除以區間長。
反導函數 F(x)=x³/3。注意區間是 [1,4],下限不是 0。
F(4)=64/3,F(1)=1/3;帶號積分是兩者之差;區間長是 4−1。最後一步請自己完成。
F(x)=x³/3;帶號積分 = 64/3−1/3=21;區間長 4−1=3;平均值 = 21/3=7。核對:3×7=21,吻合。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):把積分 21 直接當平均值(得 21,正確為 7)、用端點平均 (f(1)+f(4))/2(得 17/2,正確為 7)、用中點函數值 f(5/2)(得 25/4,正確為 7)。
補救:二次函數不能用端點平均或中點函數值,只有積分算出的平均值才正確。先寫出 F,再算上限減下限。 先看〔回課文:示範〕。重做時須完整重寫計算,不可只改最後一個數。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:f 為多項式函數,在區間上連續;平均值 = 帶號積分 ÷ 區間長。答案請用整數、分數或根式表示,不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
求 f(x)=x−5 在區間 [1,3] 的平均值。答案的正負號請特別留意。
先看這個區間上的函數值是正還是負?那麼平均值應該落在哪一側?〔回課文:帶號積分與面積〕
平均值必須介於區間上函數的最小值與最大值之間,先用它估計答案的範圍,最後拿來檢查。
反導函數 F(x)=x²/2−5x;計算 F(3)−F(1) 時留意負號。
F(3)=−21/2,F(1)=−9/2,積分是兩者之差;區間長 2。最後一步請自己完成。
F(x)=x²/2−5x;F(3)=9/2−15=−21/2;F(1)=1/2−5=−9/2;帶號積分 = −21/2−(−9/2)=−6;區間長 2;平均值 = −6/2=−3。範圍檢查:f 在 [1,3] 上由 −4 增到 −2,−3 介於其間;核對:2×(−3)=−6,吻合。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):把積分 −6 當平均值(得 −6,正確為 −3)、取絕對值當面積 6,再除以區間長(得 3,正確為 −3)、F(1)−F(3) 顛倒,算出 6/2(得 3,正確為 −3)。
補救:先判斷函數值全為負,所以平均值一定為負;算完看正負號是否合理。 先看〔回課文:帶號積分與面積〕。重做時須完整重寫計算,不可只改最後一個數。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:f 為多項式函數,在區間上連續;平均值 = 帶號積分 ÷ 區間長。答案請用整數、分數或根式表示,不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
求 f(x)=−2x+7 在區間 [2,6] 的平均值,並用中點函數值再核對一次(提示:f 是一次函數)。
這是一次函數,有一個捷徑可核對;但主要答案仍由積分算出。先決定計算順序。〔回課文:計算步驟〕
反導函數、上限減下限、除以區間長;捷徑只用來核對。
F(x)=−x²+7x。計算 F(6) 與 F(2)。
F(6)=6,F(2)=10,帶號積分是兩者之差,區間長 4。請自己完成最後一步,再算中點 x=4 的函數值核對。
F(x)=−x²+7x;F(6)=−36+42=6;F(2)=−4+14=10;帶號積分 = 6−10=−4;區間長 4;平均值 = −4/4=−1。核對:4×(−1)=−4;中點 x=4 的函數值 f(4)=−8+7=−1,吻合。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):把積分 −4 當平均值(得 −4,正確為 −1)、f(2)+f(6)=3+(−5) 相加沒除以 2(得 −2,正確為 −1)、除以上限 6 而非區間長(得 −2/3,正確為 −1)。
補救:區間長是 6−2=4,不是 6。把「b−a」先單獨算出來寫在旁邊。 先看〔回課文:計算步驟〕。重做時須完整重寫計算,不可只改最後一個數。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:f 為多項式函數,在區間上連續;平均值 = 帶號積分 ÷ 區間長。答案請用整數、分數或根式表示,不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
求 f(x)=(1/2)x+3 在區間 [−2,4] 的平均值。(注意下限是負數。)
區間長怎麼算?下限是負數時,「上限減下限」要特別小心。〔回課文:計算步驟〕
先把 b−a 算出來,再求積分。F(−2) 代入時,負號別漏。
F(x)=x²/4+3x。
F(4)=16,F(−2)=−5;積分是兩者之差;區間長是 4−(−2)。請自己完成最後一步。
F(x)=x²/4+3x;F(4)=4+12=16;F(−2)=1−6=−5;帶號積分 = 16−(−5)=21;區間長 4−(−2)=6;平均值 = 21/6=7/2。核對:6×(7/2)=21;中點 x=1 的函數值 f(1)=1/2+3=7/2,吻合。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):把區間長誤算成 4−2=2,算出 21/2(得 21/2,正確為 7/2)、除以上限 4,得 21/4(得 21/4,正確為 7/2)、把積分 21 當平均值(得 21,正確為 7/2)。
補救:下限是 −2,所以區間長是 4−(−2)=6,不是 2。把括號寫出來再算。 先看〔回課文:計算步驟〕。重做時須完整重寫計算,不可只改最後一個數。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:f 為多項式函數,在區間上連續;平均值 = 帶號積分 ÷ 區間長。答案請用整數、分數或根式表示,不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
求 f(x)=4x−3 在區間 [−1,3] 的平均值,並寫出你的核對方式。
區間跨過 x=0。這對反導函數的計算有影響嗎?〔回課文:計算步驟〕
照常:F(3)−F(−1),再除以區間長。
F(x)=2x²−3x。
F(3)=9,F(−1)=5;積分是兩者之差;區間長 4。請自己完成最後一步。
F(x)=2x²−3x;F(3)=18−9=9;F(−1)=2+3=5;帶號積分 = 9−5=4;區間長 3−(−1)=4;平均值 = 4/4=1。核對:4×1=4;中點 x=1 的函數值 f(1)=4−3=1,吻合。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):區間長誤算成 3−1=2,算出 4/2(得 2,正確為 1)、F(3)+F(−1) 相加再除以 4(得 7/2,正確為 1)、把積分 4 當平均值(得 4,正確為 1)。
補救:算區間長與 F(−1) 時把括號寫出來;算完用中點函數值核對。 先看〔回課文:計算步驟〕。重做時須完整重寫計算,不可只改最後一個數。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:f 為多項式函數,在區間上連續;平均值 = 帶號積分 ÷ 區間長。答案請用整數、分數或根式表示,不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
求 f(x)=x²+2x 在區間 [0,3] 的平均值,並說明為什麼不能只用兩端點的函數值。
二次函數的圖形是彎的。兩個端點能代表整段嗎?那應該怎麼處理?〔回課文:示範〕
回到定義:帶號積分 ÷ 區間長。
F(x)=x³/3+x²。
F(3)=18,F(0)=0;區間長 3。請自己完成最後一步,並算 (f(0)+f(3))/2 與你的答案比較。
F(x)=x³/3+x²;F(3)=9+9=18;F(0)=0;帶號積分 18;區間長 3;平均值 = 18/3=6。核對:3×6=18。對照:(f(0)+f(3))/2=(0+15)/2=15/2,不等於 6;f(3/2)=9/4+3=21/4,也不等於 6。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):把積分 18 當平均值(得 18,正確為 6)、用端點平均 (0+15)/2(得 15/2,正確為 6)、用中點函數值 f(3/2)(得 21/4,正確為 6)。
補救:二次函數只能用積分。把「端點平均」只留在一次函數使用。 先看〔回課文:示範〕。重做時須完整重寫計算,不可只改最後一個數。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:f 為多項式函數,在區間上連續;平均值 = 帶號積分 ÷ 區間長。答案請用整數、分數或根式表示,不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
求 f(x)=3x²−6x+4 在區間 [0,2] 的平均值,並用「區間長 × 平均值」核對。
先觀察兩個端點的函數值。如果端點平均剛好很好算,它一定正確嗎?〔回課文:示範〕
不管端點平均是多少,仍要用積分算出答案後比對。
F(x)=x³−3x²+4x。
F(2)=4,F(0)=0;區間長 2。請自己完成最後一步。
F(x)=x³−3x²+4x;F(2)=8−12+8=4;F(0)=0;帶號積分 4;區間長 2;平均值 = 4/2=2。核對:2×2=4。對照:f(0)=4,f(2)=4,端點平均是 4;中點函數值 f(1)=1;兩者都不等於 2。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):端點平均 (f(0)+f(2))/2(得 4,正確為 2)、中點函數值 f(1)(得 1,正確為 2)、把積分 4 當平均值(得 4,正確為 2)。
補救:端點平均剛好好算也不代表正確;一定要用積分算,再做核對。 先看〔回課文:示範〕。重做時須完整重寫計算,不可只改最後一個數。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:f 為多項式函數,在區間上連續;平均值 = 帶號積分 ÷ 區間長。答案請用整數、分數或根式表示,不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
求 f(x)=x²−2x+1 在區間 [1,4] 的平均值。
這是二次函數,不能用端點平均。先決定用什麼方法。〔回課文:計算步驟〕
逐項求反導函數;注意下限是 1,不是 0。
F(x)=x³/3−x²+x。
F(4)=28/3,F(1)=1/3;積分是兩者之差;區間長 3。請自己完成最後一步。
F(x)=x³/3−x²+x;F(4)=64/3−16+4=28/3;F(1)=1/3−1+1=1/3;帶號積分 = 28/3−1/3=9;區間長 3;平均值 = 9/3=3。核對:3×3=9。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):把積分 9 當平均值(得 9,正確為 3)、用中點函數值 f(5/2)(得 9/4,正確為 3)、用端點平均 (f(1)+f(4))/2(得 9/2,正確為 3)。
補救:逐項取反導函數,代入 F(1) 時三項都要代,別只代 x³/3 一項。 先看〔回課文:計算步驟〕。重做時須完整重寫計算,不可只改最後一個數。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:f 為多項式函數,在區間上連續;平均值 = 帶號積分 ÷ 區間長。答案請用整數、分數或根式表示,不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
一位同學求 f(x)=x² 在 [0,4] 的平均值,寫:「F(x)=x³/3,F(4)−F(0)=64/3,所以平均值是 64/3。」請指出錯在哪裡,並寫出正確的平均值。
同學算出的 64/3 是平均值,還是別的量?〔回課文:公式與每個量〕
題目問的是「平均」。平均需要把總量分攤到哪個長度上?
64/3 是帶號積分(總量)。平均值還要再做哪一步?
區間 [0,4] 的長度是 4。把 64/3 如何處理才是平均?請自己完成。
錯在:64/3 是 [0,4] 上的帶號積分(總量),不是平均值,漏了除以區間長。正確:平均值 = (64/3)/4=16/3。核對:4×(16/3)=64/3,吻合。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):把積分 64/3 當平均值(得 64/3,正確為 16/3)、端點平均 (0+16)/2(得 8,正確為 16/3)、中點函數值 f(2)(得 4,正確為 16/3)。
補救:寫完先做核對:區間長 × 答案 是否等於積分。若答案是積分本身,乘上區間長會變成 256/3,對不上。 先看〔回課文:公式與每個量〕。重做時須完整重寫計算,不可只改最後一個數。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:f 為多項式函數,在區間上連續;平均值 = 帶號積分 ÷ 區間長。答案請用整數、分數或根式表示,不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
一位同學求 f(x)=x² 在 [1,3] 的平均值,寫:「平均值 = (f(1)+f(3))/2 = (1+9)/2 = 5。」請指出錯在哪裡,並寫出正確的平均值。
這個方法是對哪一類函數才成立?x² 是那一類嗎?〔回課文:示範〕
課文示範 2 已經看過類似的對照。只用兩個端點能反映整段累積嗎?
正確方法:帶號積分 ÷ 區間長。先求 F(x)=x³/3。
F(3)=9,F(1)=1/3;積分是兩者之差;區間長 2。請自己完成。
錯在:端點平均只對一次函數成立,x² 是二次函數。正確:積分 = 9−1/3=26/3;區間長 2;平均值 = (26/3)/2=13/3。核對:2×(13/3)=26/3。同學的 5 與 13/3 不同。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):端點平均 (1+9)/2(得 5,正確為 13/3)、把積分 26/3 當平均值(得 26/3,正確為 13/3)、中點函數值 f(2)(得 4,正確為 13/3)。
補救:先判斷函數是一次還是二次:二次函數一律回到積分。 先看〔回課文:示範〕。重做時須完整重寫計算,不可只改最後一個數。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:f 為多項式函數,在區間上連續;平均值 = 帶號積分 ÷ 區間長。答案請用整數、分數或根式表示,不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
一位同學求 f(x)=6x 在 [1,3] 的平均值,寫:「F(x)=3x²,F(3)−F(1)=27−3=24,平均值 = 24/3 = 8。」請指出錯在哪裡,並寫出正確的平均值。
同學的積分 24 對嗎?除數 3 又是從哪裡來的?〔回課文:計算步驟〕
除數應該是區間的什麼?
區間 [1,3] 的長度怎麼算?
把 24 除以區間長 3−1,再用 f 是一次函數的捷徑核對。請自己完成。
錯在:除數用了上限 3,應該用區間長 3−1=2。正確:平均值 = 24/2=12。核對:2×12=24;中點 x=2 的函數值 f(2)=12,吻合。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):除以上限 3(得 8,正確為 12)、把積分 24 當平均值(得 24,正確為 12)、除以 3+1=4(得 6,正確為 12)。
補救:先單獨寫一行「區間長 = b−a = ?」,再除。 先看〔回課文:計算步驟〕。重做時須完整重寫計算,不可只改最後一個數。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:f 為多項式函數,在區間上連續;平均值 = 帶號積分 ÷ 區間長。答案請用整數、分數或根式表示,不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
一位同學求 f(x)=x−4 在 [2,6] 的平均值,他說:「圖形在 x 軸下方和上方各有一個三角形,面積都是 2,所以總面積 4,平均值 = 4/4 = 1。」請指出錯在哪裡,並寫出正確的平均值。
平均值對應的是「面積總和」還是「帶號積分」?〔回課文:帶號積分與面積〕
x 軸下方的部分,在積分中是正的還是負的?
用 F(x)=x²/2−4x 算帶號積分。
F(6)=−6,F(2)=−6;積分是兩者之差。請自己完成,再除以區間長 4。
錯在:同學把下方的三角形也當成正的(面積取正)。平均值要用帶號積分:F(6)−F(2)=(−6)−(−6)=0,所以平均值 = 0/4=0。下方的 −2 與上方的 +2 抵消。核對:4×0=0。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):總面積 4 除以 4(得 1,正確為 0)、把總面積 4 當平均值(得 4,正確為 0)、取右端點函數值 f(6)=2 當平均(得 2,正確為 0)。
補救:先看函數值在區間內有沒有變號;有的話一定用帶號積分,不能取面積。 先看〔回課文:帶號積分與面積〕。重做時須完整重寫計算,不可只改最後一個數。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:f 為多項式函數,在區間上連續;平均值 = 帶號積分 ÷ 區間長。答案請用整數、分數或根式表示,不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
一位同學求 f(x)=−3x² 在 [0,2] 的平均值,他說:「F(x)=−x³,F(2)−F(0)=−8,但面積不會是負的,所以改成 8,平均值 = 8/2 = 4。」請指出錯在哪裡,並寫出正確的平均值。
這個函數在 [0,2] 上的函數值是正還是負?平均值可能是正的嗎?〔回課文:帶號積分與面積〕
平均值必須介於最小值與最大值之間。算算 f(0) 與 f(2)。
帶號積分 −8 本身沒有算錯,問題出在後面哪一步?
不要把 −8 改成 8;直接除以區間長 2。請自己完成。
錯在:平均值對應帶號積分,函數值全是負(或 0)的(f(0)=0,f(2)=−12),平均值就應該是負的。不能把 −8 改成 8。正確:平均值 = −8/2=−4。範圍檢查:−4 介於 −12 與 0 之間;核對:2×(−4)=−8。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):改成面積 8 再除以 2(得 4,正確為 −4)、把積分 −8 當平均值(得 −8,正確為 −4)、端點平均 (f(0)+f(2))/2(得 −6,正確為 −4)。
補救:函數值全為負時,平均值一定為負;答案的正負要先看函數值的正負。 先看〔回課文:帶號積分與面積〕。重做時須完整重寫計算,不可只改最後一個數。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:f 為多項式函數,在區間上連續;平均值 = 帶號積分 ÷ 區間長。答案請用整數、分數或根式表示,不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
一位同學求 f(x)=x+5 在 [1,5] 的平均值,寫:「F(x)=x²/2+5x,F(1)=11/2,F(5)=75/2,F(1)−F(5)=−32,區間長 4,平均值 = −32/4 = −8。」請指出錯在哪裡,並寫出正確的平均值。
這個函數在 [1,5] 上的函數值是正還是負?那麼平均值的正負號應該是什麼?〔回課文:帶號積分與面積〕
定積分是「上限」減「下限」,還是下限減上限?
同學把兩個 F 值的順序顛倒了。
改成 F(5)−F(1) 後再除以區間長 4。請自己完成,並用中點 x=3 的函數值核對。
錯在:F(1)−F(4) 順序顛倒,積分變號。正確:積分 = F(5)−F(1)=75/2−11/2=32;平均值 = 32/4=8。核對:4×8=32;中點 x=3 的函數值 f(3)=3+5=8,吻合。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):順序顛倒算出 −32/4(得 −8,正確為 8)、把 F(1)+F(5)=43 當積分,除以 4(得 43/4,正確為 8)、把積分 32 當平均值(得 32,正確為 8)。
補救:算完先問:函數值全為正,平均值怎麼可能是負的? 先看〔回課文:帶號積分與面積〕。重做時須完整重寫計算,不可只改最後一個數。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:f 為多項式函數,在區間上連續;平均值 = 帶號積分 ÷ 區間長。答案請用整數、分數或根式表示,不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
情境(數字為練習設計):一個水槽在 0≤t≤6(單位:分)注水,注水速率 r(t)=2t+4(單位:公升/分)。(1)求這 6 分鐘內的平均注水速率;(2)用「區間長 × 平均值」說明這 6 分鐘共注入多少公升,並解釋單位。
平均速率乘以時間,應該回到哪個量?單位是什麼?〔回課文:公式與每個量〕
平均速率 = 帶號積分 ÷ 區間長,這裡的積分是整段時間注入的總量。
反導函數 F(t)=t²+4t。
先代入 F(6) 與 F(0),兩者之差就是這段時間的總量;時間長 6 分。請自己完成平均速率,再乘回 6 分核對單位。
F(t)=t²+4t;F(6)=36+24=60;F(0)=0;總量 = 60 公升;平均速率 = 60/6=10 公升/分。核對:6 分 × 10 公升/分 = 60 公升,吻合。因為 r 是一次函數,中點 t=3 的速率 r(3)=10 公升/分,也吻合。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):把總量 60 當平均速率(得 60,正確為 10)、取最後時刻速率 r(6)(得 16,正確為 10)、r(0)+r(6)=20 相加沒除以 2(得 20,正確為 10)。
補救:寫出單位:積分的單位是公升,平均速率的單位是公升/分,兩者不能混。 先看〔回課文:公式與每個量〕。重做時須完整重寫計算,不可只改最後一個數。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:f 為多項式函數,在區間上連續;平均值 = 帶號積分 ÷ 區間長。答案請用整數、分數或根式表示,不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
設一次函數 f(x)=kx+1(k 為常數)在區間 [0,4] 的平均值是 −9。(1)求 k;(2)用中點函數值核對。
平均值可以用 k 表示出來嗎?先算 [0,4] 上的積分(含 k)。〔回課文:計算步驟〕
用 F(x)=kx²/2+x 求帶號積分,再除以區間長 4,結果是 k 的式子。
令這個式子等於 −9,解出 k。
積分 = 8k+4;平均值 = (8k+4)/4,令它等於 −9,請自己解 k,再驗算。
積分 = F(4)−F(0)=8k+4;平均值 = (8k+4)/4=2k+1;令 2k+1=−9,得 k=−5。核對:f(x)=−5x+1,中點 x=2 的函數值 f(2)=−9,吻合;積分 = F(4)−F(0)=−40+4=−36,4×(−9)=−36,吻合。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):把 −9 當成積分,解 8k+4=−9,算出 k=−13/8(得 −13/8,正確為 −5)、忽略負號,解 2k+1=9,算出 k=4(得 4,正確為 −5)、除以 4+1=5:(8k+4)/5=−9,算出 k=−49/8(得 −49/8,正確為 −5)。
補救:設好 k 之後,先把平均值寫成 k 的式子,再令它等於已知值。 先看〔回課文:計算步驟〕。重做時須完整重寫計算,不可只改最後一個數。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。
記號:f 為多項式函數,在區間上連續;平均值 = 帶號積分 ÷ 區間長。答案請用整數、分數或根式表示,不需要計算機。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。
設 f(x)=x²+1。(1)分別求 f 在 [0,2] 與 [2,6] 的平均值;(2)用「區間長 × 平均值」求出兩段各自的總量,相加後除以整段區間長 6,得到 f 在 [0,6] 的平均值,並直接用 [0,6] 的積分核對;(3)(1) 的兩個平均值,直接取算術平均,會等於 (2) 的結果嗎?為什麼?
兩段的區間長不一樣。每一段都各自套用「平均值 = 帶號積分 ÷ 區間長」。〔回課文:公式與每個量〕
每一段的「區間長 × 平均值」就是那一段的帶號積分;兩段的積分相加,就是整段的積分。(3) 想想:兩段一樣重要嗎?
反導函數 F(x)=x³/3+x。兩段的積分分別是 F(2)−F(0) 與 F(6)−F(2)。
F(0)=0,F(2)=14/3,F(6) 請自己代入;兩段區間長分別是 2 與 4。請自己算出兩個平均值,再把兩段的總量相加、除以 6。
F(x)=x³/3+x;F(0)=0,F(2)=8/3+2=14/3,F(6)=72+6=78。(1) [0,2]:積分 14/3,區間長 2,平均值 7/3;[2,6]:積分 78−14/3=220/3,區間長 4,平均值 55/3。(2) 兩段總量:2×(7/3)=14/3,4×(55/3)=220/3,相加得 234/3=78,除以 6 得 13。直接用 [0,6]:(78−0)/6=13,吻合;核對:6×13=78。(3) 兩個平均值直接取算術平均是 (7/3+55/3)/2=31/3,不等於 13。原因:兩段的區間長不同(2 與 4),較長的一段占的份量較大;正確做法是先把總量(區間長 × 平均值)相加,再除以整段區間長。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):把兩個平均值直接取平均 (7/3+55/3)/2(得 31/3,正確為 13)、把整段積分 78 當平均值(得 78,正確為 13)、算 [2,6] 的平均值時把區間長誤用上限 6:(220/3)/6(得 110/9,[2,6] 的正確平均值為 55/3)。
補救:每一段都先單獨寫出「區間長 = b−a」;合併時相加的是「總量」(區間長 × 平均值),不是平均值本身。 先看〔回課文:示範〕。重做時須完整重寫計算,不可只改最後一個數。
回到本題題面:看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示以原題重做。