練習：克拉瑪公式

這一頁有 18 題，先做這 18 題即可。每題都要寫出 D、Dx、Dy、解向量 (x, y)，以及兩式左右差。

提示從第 3 階起不算獨立完成。合上提示後，回到原來那一題重做。

診斷

診斷題 1

用 2×2 克拉瑪公式求這個二元一次方程組的唯一解。
這一題要一次交出 D、Dx、Dy、解向量和兩式左右差。
第一式：2x + y = 5
第二式：x + 3y = 7
未知數順序固定為 x、y。D = a1·b2 − a2·b1。
Dx 用常數直行替換 x 的係數直行。Dy 用常數直行替換 y 的係數直行。符號和位置都不能交換。
請寫出 D、Dx、Dy、直式解向量 (x, y)，並寫出兩式代回後的左右差，每一式都要是 0。
係數可以是 0，但 0 不能當除數。D = 0 時不要相除。不要改成三個未知數，也不要改用反矩陣。
這組係數是為了這一題設計的練習數字，不是真實調查的結果。
五階提示
  1. 第 1 階：診斷題 1。第一式依序抄下 x 係數 2、y 係數 1、常數 5；第二式依序是 1、3、7。這一階不要相除。
  2. 第 2 階：診斷題 1。D 用 x 直行與 y 直行，算法是 a1·b2 − a2·b1。Dx 只把 x 直行換成常數直行。Dy 只把 y 直行換成常數直行。不要交換這兩個分子。
  3. 第 3 階起不算獨立完成。D = 2·3 − 1·1；Dx = 5·3 − 7·1；Dy = 2·7 − 1·5。先不要把這三式的結果寫成最後答案。
  4. 第 4 階仍不算獨立完成。D = 5，Dx = 8，Dy = 9。這三個數都保持原來的正負號。
  5. 第 5 階是完整解答，不算獨立完成。D = 5；Dx = 8；Dy = 9；(x, y) = (8/5, 9/5)；第一式左右差 = 0；第二式左右差 = 0
做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：把 D 寫成 2·1 − 1·3 = -1，分子仍用正確的 Dx、Dy，得到 (x, y) = (-8, -9)。

這是用來對照公式的假設，不是從學生作業統計來的。

回到診斷題 1。不要沿用這個錯法。請重新交出 D、Dx、Dy 和 (x, y)，並讓兩式左右差都是 0。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。合上提示後再做同一題。

回到教學　回到這一題

診斷題 2

用 2×2 克拉瑪公式求這個二元一次方程組的唯一解。
這一題要一次交出 D、Dx、Dy、解向量和兩式左右差。
第一式：4x - y = 5
第二式：x + y = 5
未知數順序固定為 x、y。D = a1·b2 − a2·b1。
Dx 用常數直行替換 x 的係數直行。Dy 用常數直行替換 y 的係數直行。符號和位置都不能交換。
請寫出 D、Dx、Dy、直式解向量 (x, y)，並寫出兩式代回後的左右差，每一式都要是 0。
係數可以是 0，但 0 不能當除數。D = 0 時不要相除。不要改成三個未知數，也不要改用反矩陣。
這組係數是為了這一題設計的練習數字，不是真實調查的結果。
五階提示
  1. 第 1 階：診斷題 2。第一式依序抄下 x 係數 4、y 係數 -1、常數 5；第二式依序是 1、1、5。這一階不要相除。
  2. 第 2 階：診斷題 2。D 用 x 直行與 y 直行，算法是 a1·b2 − a2·b1。Dx 只把 x 直行換成常數直行。Dy 只把 y 直行換成常數直行。不要交換這兩個分子。
  3. 第 3 階起不算獨立完成。D = 4·1 − 1·(-1)；Dx = 5·1 − 5·(-1)；Dy = 4·5 − 1·5。先不要把這三式的結果寫成最後答案。
  4. 第 4 階仍不算獨立完成。D = 5，Dx = 10，Dy = 15。這三個數都保持原來的正負號。
  5. 第 5 階是完整解答，不算獨立完成。D = 5；Dx = 10；Dy = 15；(x, y) = (2, 3)；第一式左右差 = 0；第二式左右差 = 0
做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：把 Dy / D 寫在 x 的位置、Dx / D 寫在 y 的位置，x、y 的位置對調，得到 (x, y) = (3, 2)。

這是用來對照公式的假設，不是從學生作業統計來的。

回到診斷題 2。不要沿用這個錯法。先在兩個分子上各標 x、y，把 Dx/D 放在第一個位置、Dy/D 放在第二個位置。請重新交出 D、Dx、Dy 和 (x, y)，並讓兩式左右差都是 0。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。合上提示後再做同一題。

回到教學　回到這一題

診斷題 3

用 2×2 克拉瑪公式求這個二元一次方程組的唯一解。
第一式的 x 係數是 0。這個 0 可以留在算式裡，但不能當除數。先算出 D，確認 D 不是 0，再相除。
第一式：0x + 2y = 6
第二式：3x + y = 7
未知數順序固定為 x、y。D = a1·b2 − a2·b1。
Dx 用常數直行替換 x 的係數直行。Dy 用常數直行替換 y 的係數直行。符號和位置都不能交換。
請寫出 D、Dx、Dy、直式解向量 (x, y)，並寫出兩式代回後的左右差，每一式都要是 0。
係數可以是 0，但 0 不能當除數。D = 0 時不要相除。不要改成三個未知數，也不要改用反矩陣。
這組係數是為了這一題設計的練習數字，不是真實調查的結果。
五階提示
  1. 第 1 階：診斷題 3。第一式 x 的係數是 0，y 的係數是 2，常數是 6。第二式依序是 3、1、7。這一階不要相除，也不要因為看到 0 就停止。
  2. 第 2 階：診斷題 3。D 用 x 直行與 y 直行，算法是 a1·b2 − a2·b1。Dx 只把 x 直行換成常數直行。Dy 只把 y 直行換成常數直行。不要交換這兩個分子。
  3. 第 3 階起不算獨立完成。D = 0·1 − 3·2；Dx = 6·1 − 7·2；Dy = 0·7 − 3·6。先不要把這三式的結果寫成最後答案。
  4. 第 4 階仍不算獨立完成。D = -6，Dx = -8，Dy = -18。這三個數都保持原來的正負號。
  5. 第 5 階是完整解答，不算獨立完成。D = -6；Dx = -8；Dy = -18；(x, y) = (4/3, 3)；第一式左右差 = 0；第二式左右差 = 0
做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：看到第一式的 x 係數是 0，就寫「有 0，所以不能解」，沒有計算 D。

這是用來對照公式的假設，不是從學生作業統計來的。

回到診斷題 3。不要沿用這個錯法。請重新交出 D、Dx、Dy 和 (x, y)，並讓兩式左右差都是 0。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。合上提示後再做同一題。

回到教學　回到這一題

初練：整數係數

初練甲 1

用 2×2 克拉瑪公式求這個二元一次方程組的唯一解。
這一題的解裡有負數。不要先把行列式取絕對值。
第一式：x + y = 1
第二式：2x - y = 8
未知數順序固定為 x、y。D = a1·b2 − a2·b1。
Dx 用常數直行替換 x 的係數直行。Dy 用常數直行替換 y 的係數直行。符號和位置都不能交換。
請寫出 D、Dx、Dy、直式解向量 (x, y)，並寫出兩式代回後的左右差，每一式都要是 0。
係數可以是 0，但 0 不能當除數。D = 0 時不要相除。不要改成三個未知數，也不要改用反矩陣。
這組係數是為了這一題設計的練習數字，不是真實調查的結果。
五階提示
  1. 第 1 階：初練甲 1。第一式依序抄下 x 係數 1、y 係數 1、常數 1；第二式依序是 2、-1、8。這一階不要相除。
  2. 第 2 階：初練甲 1。D 用 x 直行與 y 直行，算法是 a1·b2 − a2·b1。Dx 只把 x 直行換成常數直行。Dy 只把 y 直行換成常數直行。不要交換這兩個分子。
  3. 第 3 階起不算獨立完成。D = 1·(-1) − 2·1；Dx = 1·(-1) − 8·1；Dy = 1·8 − 2·1。先不要把這三式的結果寫成最後答案。
  4. 第 4 階仍不算獨立完成。D = -3，Dx = -9，Dy = 6。這三個數都保持原來的正負號。
  5. 第 5 階是完整解答，不算獨立完成。D = -3；Dx = -9；Dy = 6；(x, y) = (3, -2)；第一式左右差 = 0；第二式左右差 = 0
做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：把y的負號拿掉，寫成 (x, y) = (3, 2)。

這是用來對照公式的假設，不是從學生作業統計來的。

回到初練甲 1。不要沿用這個錯法。請重新交出 D、Dx、Dy 和 (x, y)，並讓兩式左右差都是 0。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。合上提示後再做同一題。

回到教學　回到這一題

初練甲 2

用 2×2 克拉瑪公式求這個二元一次方程組的唯一解。
這一題的解裡有負數。不要先把行列式取絕對值。
第一式：3x + 2y = 1
第二式：x - 2y = 7
未知數順序固定為 x、y。D = a1·b2 − a2·b1。
Dx 用常數直行替換 x 的係數直行。Dy 用常數直行替換 y 的係數直行。符號和位置都不能交換。
請寫出 D、Dx、Dy、直式解向量 (x, y)，並寫出兩式代回後的左右差，每一式都要是 0。
係數可以是 0，但 0 不能當除數。D = 0 時不要相除。不要改成三個未知數，也不要改用反矩陣。
這組係數是為了這一題設計的練習數字，不是真實調查的結果。
五階提示
  1. 第 1 階：初練甲 2。第一式依序抄下 x 係數 3、y 係數 2、常數 1；第二式依序是 1、-2、7。這一階不要相除。
  2. 第 2 階：初練甲 2。D 用 x 直行與 y 直行，算法是 a1·b2 − a2·b1。Dx 只把 x 直行換成常數直行。Dy 只把 y 直行換成常數直行。不要交換這兩個分子。
  3. 第 3 階起不算獨立完成。D = 3·(-2) − 1·2；Dx = 1·(-2) − 7·2；Dy = 3·7 − 1·1。先不要把這三式的結果寫成最後答案。
  4. 第 4 階仍不算獨立完成。D = -8，Dx = -16，Dy = 20。這三個數都保持原來的正負號。
  5. 第 5 階是完整解答，不算獨立完成。D = -8；Dx = -16；Dy = 20；(x, y) = (2, -5/2)；第一式左右差 = 0；第二式左右差 = 0
做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：把y的負號拿掉，寫成 (x, y) = (2, 5/2)。

這是用來對照公式的假設，不是從學生作業統計來的。

回到初練甲 2。不要沿用這個錯法。請重新交出 D、Dx、Dy 和 (x, y)，並讓兩式左右差都是 0。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。合上提示後再做同一題。

回到教學　回到這一題

初練甲 3

用 2×2 克拉瑪公式求這個二元一次方程組的唯一解。
這一題的解裡有負數。不要先把行列式取絕對值。
第一式：-2x + y = 4
第二式：x + y = 1
未知數順序固定為 x、y。D = a1·b2 − a2·b1。
Dx 用常數直行替換 x 的係數直行。Dy 用常數直行替換 y 的係數直行。符號和位置都不能交換。
請寫出 D、Dx、Dy、直式解向量 (x, y)，並寫出兩式代回後的左右差，每一式都要是 0。
係數可以是 0，但 0 不能當除數。D = 0 時不要相除。不要改成三個未知數，也不要改用反矩陣。
這組係數是為了這一題設計的練習數字，不是真實調查的結果。
五階提示
  1. 第 1 階：初練甲 3。第一式依序抄下 x 係數 -2、y 係數 1、常數 4；第二式依序是 1、1、1。這一階不要相除。
  2. 第 2 階：初練甲 3。D 用 x 直行與 y 直行，算法是 a1·b2 − a2·b1。Dx 只把 x 直行換成常數直行。Dy 只把 y 直行換成常數直行。不要交換這兩個分子。
  3. 第 3 階起不算獨立完成。D = (-2)·1 − 1·1；Dx = 4·1 − 1·1；Dy = (-2)·1 − 1·4。先不要把這三式的結果寫成最後答案。
  4. 第 4 階仍不算獨立完成。D = -3，Dx = 3，Dy = -6。這三個數都保持原來的正負號。
  5. 第 5 階是完整解答，不算獨立完成。D = -3；Dx = 3；Dy = -6；(x, y) = (-1, 2)；第一式左右差 = 0；第二式左右差 = 0
做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：把x的負號拿掉，寫成 (x, y) = (1, 2)。

這是用來對照公式的假設，不是從學生作業統計來的。

回到初練甲 3。不要沿用這個錯法。請重新交出 D、Dx、Dy 和 (x, y)，並讓兩式左右差都是 0。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。合上提示後再做同一題。

回到教學　回到這一題

初練：有理數係數

初練乙 1

用 2×2 克拉瑪公式求這個二元一次方程組的唯一解。
係數是有理數。過程保持分數，不要改成近似小數。
第一式：1/2x + y = 3
第二式：x + 1/2y = 3
未知數順序固定為 x、y。D = a1·b2 − a2·b1。
Dx 用常數直行替換 x 的係數直行。Dy 用常數直行替換 y 的係數直行。符號和位置都不能交換。
請寫出 D、Dx、Dy、直式解向量 (x, y)，並寫出兩式代回後的左右差，每一式都要是 0。
係數可以是 0，但 0 不能當除數。D = 0 時不要相除。不要改成三個未知數，也不要改用反矩陣。
這組係數是為了這一題設計的練習數字，不是真實調查的結果。
五階提示
  1. 第 1 階：初練乙 1。第一式依序抄下 x 係數 1/2、y 係數 1、常數 3；第二式依序是 1、1/2、3。這一階不要相除。
  2. 第 2 階：初練乙 1。D 用 x 直行與 y 直行，算法是 a1·b2 − a2·b1。Dx 只把 x 直行換成常數直行。Dy 只把 y 直行換成常數直行。不要交換這兩個分子。
  3. 第 3 階起不算獨立完成。D = 1/2·1/2 − 1·1；Dx = 3·1/2 − 3·1；Dy = 1/2·3 − 1·3。先不要把這三式的結果寫成最後答案。
  4. 第 4 階仍不算獨立完成。D = -3/4，Dx = -3/2，Dy = -3/2。這三個數都保持原來的正負號。
  5. 第 5 階是完整解答，不算獨立完成。D = -3/4；Dx = -3/2；Dy = -3/2；(x, y) = (2, 2)；第一式左右差 = 0；第二式左右差 = 0
做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：把 D 的第一項 1/2·1/2 改成加法 1/2+1/2，得到 D = 0。接著因為自認 D 是 0 就停止，沒有寫解向量。

這是用來對照公式的假設，不是從學生作業統計來的。

回到初練乙 1。不要沿用這個錯法。請重新交出 D、Dx、Dy 和 (x, y)，並讓兩式左右差都是 0。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。合上提示後再做同一題。

回到教學　回到這一題

初練乙 2

用 2×2 克拉瑪公式求這個二元一次方程組的唯一解。
係數是有理數。過程保持分數，不要改成近似小數。
第一式：3/2x + 1/2y = 2
第二式：1/2x + 1/2y = 1
未知數順序固定為 x、y。D = a1·b2 − a2·b1。
Dx 用常數直行替換 x 的係數直行。Dy 用常數直行替換 y 的係數直行。符號和位置都不能交換。
請寫出 D、Dx、Dy、直式解向量 (x, y)，並寫出兩式代回後的左右差，每一式都要是 0。
係數可以是 0，但 0 不能當除數。D = 0 時不要相除。不要改成三個未知數，也不要改用反矩陣。
這組係數是為了這一題設計的練習數字，不是真實調查的結果。
五階提示
  1. 第 1 階：初練乙 2。第一式依序抄下 x 係數 3/2、y 係數 1/2、常數 2；第二式依序是 1/2、1/2、1。這一階不要相除。
  2. 第 2 階：初練乙 2。D 用 x 直行與 y 直行，算法是 a1·b2 − a2·b1。Dx 只把 x 直行換成常數直行。Dy 只把 y 直行換成常數直行。不要交換這兩個分子。
  3. 第 3 階起不算獨立完成。D = 3/2·1/2 − 1/2·1/2；Dx = 2·1/2 − 1·1/2；Dy = 3/2·1 − 1/2·2。先不要把這三式的結果寫成最後答案。
  4. 第 4 階仍不算獨立完成。D = 1/2，Dx = 1/2，Dy = 1/2。這三個數都保持原來的正負號。
  5. 第 5 階是完整解答，不算獨立完成。D = 1/2；Dx = 1/2；Dy = 1/2；(x, y) = (1, 1)；第一式左右差 = 0；第二式左右差 = 0
做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：只把 D 改成 1/2·1/2 − 3/2·1/2 = -1/2，Dx 和 Dy 沒有一起改號，得到 (x, y) = (-1, -1)。

這是用來對照公式的假設，不是從學生作業統計來的。

回到初練乙 2。不要沿用這個錯法。請重新交出 D、Dx、Dy 和 (x, y)，並讓兩式左右差都是 0。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。合上提示後再做同一題。

回到教學　回到這一題

初練乙 3

用 2×2 克拉瑪公式求這個二元一次方程組的唯一解。
係數是有理數。過程保持分數，不要改成近似小數。
第一式：1/3x + y = 1
第二式：x - 1/3y = 1
未知數順序固定為 x、y。D = a1·b2 − a2·b1。
Dx 用常數直行替換 x 的係數直行。Dy 用常數直行替換 y 的係數直行。符號和位置都不能交換。
請寫出 D、Dx、Dy、直式解向量 (x, y)，並寫出兩式代回後的左右差，每一式都要是 0。
係數可以是 0，但 0 不能當除數。D = 0 時不要相除。不要改成三個未知數，也不要改用反矩陣。
這組係數是為了這一題設計的練習數字，不是真實調查的結果。
五階提示
  1. 第 1 階：初練乙 3。第一式依序抄下 x 係數 1/3、y 係數 1、常數 1；第二式依序是 1、-1/3、1。這一階不要相除。
  2. 第 2 階：初練乙 3。D 用 x 直行與 y 直行，算法是 a1·b2 − a2·b1。Dx 只把 x 直行換成常數直行。Dy 只把 y 直行換成常數直行。不要交換這兩個分子。
  3. 第 3 階起不算獨立完成。D = 1/3·(-1/3) − 1·1；Dx = 1·(-1/3) − 1·1；Dy = 1/3·1 − 1·1。先不要把這三式的結果寫成最後答案。
  4. 第 4 階仍不算獨立完成。D = -10/9，Dx = -4/3，Dy = -2/3。這三個數都保持原來的正負號。
  5. 第 5 階是完整解答，不算獨立完成。D = -10/9；Dx = -4/3；Dy = -2/3；(x, y) = (6/5, 3/5)；第一式左右差 = 0；第二式左右差 = 0
做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：把第一式的 y 係數 1 誤讀成 1/3，算出 (x, y) = (3/2, 3/2)。

這是用來對照公式的假設，不是從學生作業統計來的。

回到初練乙 3。不要沿用這個錯法。請重新交出 D、Dx、Dy 和 (x, y)，並讓兩式左右差都是 0。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。合上提示後再做同一題。

回到教學　回到這一題

補救：替換直行

補救直行 1

用 2×2 克拉瑪公式求這個二元一次方程組的唯一解。
題目裡附了一種已經寫錯的替換。整題重算，不要沿用那個結果。
第一式：5x + y = 9
第二式：2x + y = 4
未知數順序固定為 x、y。D = a1·b2 − a2·b1。
Dx 用常數直行替換 x 的係數直行。Dy 用常數直行替換 y 的係數直行。符號和位置都不能交換。
請寫出 D、Dx、Dy、直式解向量 (x, y)，並寫出兩式代回後的左右差，每一式都要是 0。
係數可以是 0，但 0 不能當除數。D = 0 時不要相除。不要改成三個未知數，也不要改用反矩陣。
不要沿用下面這個寫法：Dx 改去替換 y 的直行、Dy 改去替換 x 的直行，寫成 (x, y) = (2/3, 5/3)。
這組係數是為了這一題設計的練習數字，不是真實調查的結果。
五階提示
  1. 第 1 階：補救直行 1。第一式依序抄下 x 係數 5、y 係數 1、常數 9；第二式依序是 2、1、4。這一階不要相除。
  2. 第 2 階：補救直行 1。D 用 x 直行與 y 直行，算法是 a1·b2 − a2·b1。Dx 只把 x 直行換成常數直行。Dy 只把 y 直行換成常數直行。不要交換這兩個分子。
  3. 第 3 階起不算獨立完成。D = 5·1 − 2·1；Dx = 9·1 − 4·1；Dy = 5·4 − 2·9。先不要把這三式的結果寫成最後答案。
  4. 第 4 階仍不算獨立完成。D = 3，Dx = 5，Dy = 2。這三個數都保持原來的正負號。
  5. 第 5 階是完整解答，不算獨立完成。D = 3；Dx = 5；Dy = 2；(x, y) = (5/3, 2/3)；第一式左右差 = 0；第二式左右差 = 0
做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：Dx 改去替換 y 的直行、Dy 改去替換 x 的直行，寫成 (x, y) = (2/3, 5/3)。

這是用來對照公式的假設，不是從學生作業統計來的。

回到補救直行 1。不要沿用這個錯法。請重新交出 D、Dx、Dy 和 (x, y)，並讓兩式左右差都是 0。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。合上提示後再做同一題。

回到教學　回到這一題

補救直行 2

用 2×2 克拉瑪公式求這個二元一次方程組的唯一解。
題目裡附了一種已經寫錯的替換。整題重算，不要沿用那個結果。
第一式：2x + 3y = 7
第二式：x + 4y = 6
未知數順序固定為 x、y。D = a1·b2 − a2·b1。
Dx 用常數直行替換 x 的係數直行。Dy 用常數直行替換 y 的係數直行。符號和位置都不能交換。
請寫出 D、Dx、Dy、直式解向量 (x, y)，並寫出兩式代回後的左右差，每一式都要是 0。
係數可以是 0，但 0 不能當除數。D = 0 時不要相除。不要改成三個未知數，也不要改用反矩陣。
不要沿用下面這個寫法：Dx 改去替換 y 的直行、Dy 改去替換 x 的直行，寫成 (x, y) = (1, 2)。
這組係數是為了這一題設計的練習數字，不是真實調查的結果。
五階提示
  1. 第 1 階：補救直行 2。第一式依序抄下 x 係數 2、y 係數 3、常數 7；第二式依序是 1、4、6。這一階不要相除。
  2. 第 2 階：補救直行 2。D 用 x 直行與 y 直行，算法是 a1·b2 − a2·b1。Dx 只把 x 直行換成常數直行。Dy 只把 y 直行換成常數直行。不要交換這兩個分子。
  3. 第 3 階起不算獨立完成。D = 2·4 − 1·3；Dx = 7·4 − 6·3；Dy = 2·6 − 1·7。先不要把這三式的結果寫成最後答案。
  4. 第 4 階仍不算獨立完成。D = 5，Dx = 10，Dy = 5。這三個數都保持原來的正負號。
  5. 第 5 階是完整解答，不算獨立完成。D = 5；Dx = 10；Dy = 5；(x, y) = (2, 1)；第一式左右差 = 0；第二式左右差 = 0
做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：Dx 改去替換 y 的直行、Dy 改去替換 x 的直行，寫成 (x, y) = (1, 2)。

這是用來對照公式的假設，不是從學生作業統計來的。

回到補救直行 2。不要沿用這個錯法。請重新交出 D、Dx、Dy 和 (x, y)，並讓兩式左右差都是 0。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。合上提示後再做同一題。

回到教學　回到這一題

補救直行 3

用 2×2 克拉瑪公式求這個二元一次方程組的唯一解。
題目裡附了一種已經寫錯的替換。整題重算，不要沿用那個結果。
第一式：x - 3y = 5
第二式：2x + y = 4
未知數順序固定為 x、y。D = a1·b2 − a2·b1。
Dx 用常數直行替換 x 的係數直行。Dy 用常數直行替換 y 的係數直行。符號和位置都不能交換。
請寫出 D、Dx、Dy、直式解向量 (x, y)，並寫出兩式代回後的左右差，每一式都要是 0。
係數可以是 0，但 0 不能當除數。D = 0 時不要相除。不要改成三個未知數，也不要改用反矩陣。
不要沿用下面這個寫法：Dx 改去替換 y 的直行、Dy 改去替換 x 的直行，寫成 (x, y) = (-6/7, 17/7)。
這組係數是為了這一題設計的練習數字，不是真實調查的結果。
五階提示
  1. 第 1 階：補救直行 3。第一式依序抄下 x 係數 1、y 係數 -3、常數 5；第二式依序是 2、1、4。這一階不要相除。
  2. 第 2 階：補救直行 3。D 用 x 直行與 y 直行，算法是 a1·b2 − a2·b1。Dx 只把 x 直行換成常數直行。Dy 只把 y 直行換成常數直行。不要交換這兩個分子。
  3. 第 3 階起不算獨立完成。D = 1·1 − 2·(-3)；Dx = 5·1 − 4·(-3)；Dy = 1·4 − 2·5。先不要把這三式的結果寫成最後答案。
  4. 第 4 階仍不算獨立完成。D = 7，Dx = 17，Dy = -6。這三個數都保持原來的正負號。
  5. 第 5 階是完整解答，不算獨立完成。D = 7；Dx = 17；Dy = -6；(x, y) = (17/7, -6/7)；第一式左右差 = 0；第二式左右差 = 0
做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：Dx 改去替換 y 的直行、Dy 改去替換 x 的直行，寫成 (x, y) = (-6/7, 17/7)。

這是用來對照公式的假設，不是從學生作業統計來的。

回到補救直行 3。不要沿用這個錯法。請重新交出 D、Dx、Dy 和 (x, y)，並讓兩式左右差都是 0。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。合上提示後再做同一題。

回到教學　回到這一題

補救：有向面積的正負號

補救正負 1

用 2×2 克拉瑪公式求這個二元一次方程組的唯一解。
題目裡附了一種取絕對值的寫法。有向行列式的負號要保留。
第一式：x + y = 0
第二式：x + 2y = 1
未知數順序固定為 x、y。D = a1·b2 − a2·b1。
Dx 用常數直行替換 x 的係數直行。Dy 用常數直行替換 y 的係數直行。符號和位置都不能交換。
請寫出 D、Dx、Dy、直式解向量 (x, y)，並寫出兩式代回後的左右差，每一式都要是 0。
係數可以是 0，但 0 不能當除數。D = 0 時不要相除。不要改成三個未知數，也不要改用反矩陣。
不要沿用下面這個寫法：三個行列式都取絕對值，寫成 (x, y) = (1, 1)。
這組係數是為了這一題設計的練習數字，不是真實調查的結果。
五階提示
  1. 第 1 階：補救正負 1。第一式依序抄下 x 係數 1、y 係數 1、常數 0；第二式依序是 1、2、1。這一階不要相除。
  2. 第 2 階：補救正負 1。D 用 x 直行與 y 直行，算法是 a1·b2 − a2·b1。Dx 只把 x 直行換成常數直行。Dy 只把 y 直行換成常數直行。不要交換這兩個分子。
  3. 第 3 階起不算獨立完成。D = 1·2 − 1·1；Dx = 0·2 − 1·1；Dy = 1·1 − 1·0。先不要把這三式的結果寫成最後答案。
  4. 第 4 階仍不算獨立完成。D = 1，Dx = -1，Dy = 1。這三個數都保持原來的正負號。
  5. 第 5 階是完整解答，不算獨立完成。D = 1；Dx = -1；Dy = 1；(x, y) = (-1, 1)；第一式左右差 = 0；第二式左右差 = 0
做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：三個行列式都取絕對值，寫成 (x, y) = (1, 1)。

這是用來對照公式的假設，不是從學生作業統計來的。

回到補救正負 1。不要沿用這個錯法。請重新交出 D、Dx、Dy 和 (x, y)，並讓兩式左右差都是 0。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。合上提示後再做同一題。

回到教學　回到這一題

補救正負 2

用 2×2 克拉瑪公式求這個二元一次方程組的唯一解。
題目裡附了一種取絕對值的寫法。有向行列式的負號要保留。
第一式：2x + y = 1
第二式：x + y = 2
未知數順序固定為 x、y。D = a1·b2 − a2·b1。
Dx 用常數直行替換 x 的係數直行。Dy 用常數直行替換 y 的係數直行。符號和位置都不能交換。
請寫出 D、Dx、Dy、直式解向量 (x, y)，並寫出兩式代回後的左右差，每一式都要是 0。
係數可以是 0，但 0 不能當除數。D = 0 時不要相除。不要改成三個未知數，也不要改用反矩陣。
不要沿用下面這個寫法：三個行列式都取絕對值，寫成 (x, y) = (1, 3)。
這組係數是為了這一題設計的練習數字，不是真實調查的結果。
五階提示
  1. 第 1 階：補救正負 2。第一式依序抄下 x 係數 2、y 係數 1、常數 1；第二式依序是 1、1、2。這一階不要相除。
  2. 第 2 階：補救正負 2。D 用 x 直行與 y 直行，算法是 a1·b2 − a2·b1。Dx 只把 x 直行換成常數直行。Dy 只把 y 直行換成常數直行。不要交換這兩個分子。
  3. 第 3 階起不算獨立完成。D = 2·1 − 1·1；Dx = 1·1 − 2·1；Dy = 2·2 − 1·1。先不要把這三式的結果寫成最後答案。
  4. 第 4 階仍不算獨立完成。D = 1，Dx = -1，Dy = 3。這三個數都保持原來的正負號。
  5. 第 5 階是完整解答，不算獨立完成。D = 1；Dx = -1；Dy = 3；(x, y) = (-1, 3)；第一式左右差 = 0；第二式左右差 = 0
做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：三個行列式都取絕對值，寫成 (x, y) = (1, 3)。

這是用來對照公式的假設，不是從學生作業統計來的。

回到補救正負 2。不要沿用這個錯法。請重新交出 D、Dx、Dy 和 (x, y)，並讓兩式左右差都是 0。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。合上提示後再做同一題。

回到教學　回到這一題

補救正負 3

用 2×2 克拉瑪公式求這個二元一次方程組的唯一解。
題目裡附了一種取絕對值的寫法。有向行列式的負號要保留。
第一式：x - y = 4
第二式：2x + y = -1
未知數順序固定為 x、y。D = a1·b2 − a2·b1。
Dx 用常數直行替換 x 的係數直行。Dy 用常數直行替換 y 的係數直行。符號和位置都不能交換。
請寫出 D、Dx、Dy、直式解向量 (x, y)，並寫出兩式代回後的左右差，每一式都要是 0。
係數可以是 0，但 0 不能當除數。D = 0 時不要相除。不要改成三個未知數，也不要改用反矩陣。
不要沿用下面這個寫法：三個行列式都取絕對值，寫成 (x, y) = (1, 3)。
這組係數是為了這一題設計的練習數字，不是真實調查的結果。
五階提示
  1. 第 1 階：補救正負 3。第一式依序抄下 x 係數 1、y 係數 -1、常數 4；第二式依序是 2、1、-1。這一階不要相除。
  2. 第 2 階：補救正負 3。D 用 x 直行與 y 直行，算法是 a1·b2 − a2·b1。Dx 只把 x 直行換成常數直行。Dy 只把 y 直行換成常數直行。不要交換這兩個分子。
  3. 第 3 階起不算獨立完成。D = 1·1 − 2·(-1)；Dx = 4·1 − (-1)·(-1)；Dy = 1·(-1) − 2·4。先不要把這三式的結果寫成最後答案。
  4. 第 4 階仍不算獨立完成。D = 3，Dx = 3，Dy = -9。這三個數都保持原來的正負號。
  5. 第 5 階是完整解答，不算獨立完成。D = 3；Dx = 3；Dy = -9；(x, y) = (1, -3)；第一式左右差 = 0；第二式左右差 = 0
做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：三個行列式都取絕對值，寫成 (x, y) = (1, 3)。

這是用來對照公式的假設，不是從學生作業統計來的。

回到補救正負 3。不要沿用這個錯法。請重新交出 D、Dx、Dy 和 (x, y)，並讓兩式左右差都是 0。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。合上提示後再做同一題。

回到教學　回到這一題

遷移：從線性組合寫回公式

遷移題 1

用 2×2 克拉瑪公式求這個二元一次方程組的唯一解。
題目用線性組合給出。第一個分量是第一式，第二個分量是第二式。不要改成只做加減消去而不寫三個行列式。
x·(1, 3) + y·(2, -1) = (4, 5)
寫回方程組就是第一式：x + 2y = 4
第二式：3x - y = 5
未知數順序固定為 x、y。D = a1·b2 − a2·b1。
Dx 用常數直行替換 x 的係數直行。Dy 用常數直行替換 y 的係數直行。符號和位置都不能交換。
請寫出 D、Dx、Dy、直式解向量 (x, y)，並寫出兩式代回後的左右差，每一式都要是 0。
係數可以是 0，但 0 不能當除數。D = 0 時不要相除。不要改成三個未知數，也不要改用反矩陣。
這組係數是為了這一題設計的練習數字，不是真實調查的結果。
五階提示
  1. 第 1 階：遷移題 1。x 的向量是 (1, 3)，y 的向量是 (2, -1)，常數向量是 (4, 5)。這一階不要相除，也不要把兩個向量對調。
  2. 第 2 階：遷移題 1。D 用 x 直行與 y 直行，算法是 a1·b2 − a2·b1。Dx 只把 x 直行換成常數直行。Dy 只把 y 直行換成常數直行。不要交換這兩個分子。
  3. 第 3 階起不算獨立完成。D = 1·(-1) − 3·2；Dx = 4·(-1) − 5·2；Dy = 1·5 − 3·4。先不要把這三式的結果寫成最後答案。
  4. 第 4 階仍不算獨立完成。D = -7，Dx = -14，Dy = -7。這三個數都保持原來的正負號。
  5. 第 5 階是完整解答，不算獨立完成。D = -7；Dx = -14；Dy = -7；(x, y) = (2, 1)；第一式左右差 = 0；第二式左右差 = 0
做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：把 x 的係數向量和 y 的係數向量對調，寫成 (x, y) = (1, 2)。

這是用來對照公式的假設，不是從學生作業統計來的。

回到遷移題 1。不要沿用這個錯法。請重新交出 D、Dx、Dy 和 (x, y)，並讓兩式左右差都是 0。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。合上提示後再做同一題。

回到教學　回到這一題

遷移題 2

用 2×2 克拉瑪公式求這個二元一次方程組的唯一解。
題目用線性組合給出。第一個分量是第一式，第二個分量是第二式。不要改成只做加減消去而不寫三個行列式。
x·(2, -1) + y·(-1, 2) = (1, 4)
寫回方程組就是第一式：2x - y = 1
第二式：-x + 2y = 4
未知數順序固定為 x、y。D = a1·b2 − a2·b1。
Dx 用常數直行替換 x 的係數直行。Dy 用常數直行替換 y 的係數直行。符號和位置都不能交換。
請寫出 D、Dx、Dy、直式解向量 (x, y)，並寫出兩式代回後的左右差，每一式都要是 0。
係數可以是 0，但 0 不能當除數。D = 0 時不要相除。不要改成三個未知數，也不要改用反矩陣。
這組係數是為了這一題設計的練習數字，不是真實調查的結果。
五階提示
  1. 第 1 階：遷移題 2。x 的向量是 (2, -1)，y 的向量是 (-1, 2)，常數向量是 (1, 4)。這一階不要相除，也不要把兩個向量對調。
  2. 第 2 階：遷移題 2。D 用 x 直行與 y 直行，算法是 a1·b2 − a2·b1。Dx 只把 x 直行換成常數直行。Dy 只把 y 直行換成常數直行。不要交換這兩個分子。
  3. 第 3 階起不算獨立完成。D = 2·2 − (-1)·(-1)；Dx = 1·2 − 4·(-1)；Dy = 2·4 − (-1)·1。先不要把這三式的結果寫成最後答案。
  4. 第 4 階仍不算獨立完成。D = 3，Dx = 6，Dy = 9。這三個數都保持原來的正負號。
  5. 第 5 階是完整解答，不算獨立完成。D = 3；Dx = 6；Dy = 9；(x, y) = (2, 3)；第一式左右差 = 0；第二式左右差 = 0
做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：把 x 的係數向量和 y 的係數向量對調，寫成 (x, y) = (3, 2)。

這是用來對照公式的假設，不是從學生作業統計來的。

回到遷移題 2。不要沿用這個錯法。請重新交出 D、Dx、Dy 和 (x, y)，並讓兩式左右差都是 0。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。合上提示後再做同一題。

回到教學　回到這一題

遷移題 3

用 2×2 克拉瑪公式求這個二元一次方程組的唯一解。
題目用線性組合給出。第一個分量是第一式，第二個分量是第二式。不要改成只做加減消去而不寫三個行列式。
x·(1/2, 1) + y·(1, -1/2) = (2, 1/2)
寫回方程組就是第一式：1/2x + y = 2
第二式：x - 1/2y = 1/2
未知數順序固定為 x、y。D = a1·b2 − a2·b1。
Dx 用常數直行替換 x 的係數直行。Dy 用常數直行替換 y 的係數直行。符號和位置都不能交換。
請寫出 D、Dx、Dy、直式解向量 (x, y)，並寫出兩式代回後的左右差，每一式都要是 0。
係數可以是 0，但 0 不能當除數。D = 0 時不要相除。不要改成三個未知數，也不要改用反矩陣。
這組係數是為了這一題設計的練習數字，不是真實調查的結果。
五階提示
  1. 第 1 階：遷移題 3。x 的向量是 (1/2, 1)，y 的向量是 (1, -1/2)，常數向量是 (2, 1/2)。這一階不要相除，也不要把兩個向量對調。
  2. 第 2 階：遷移題 3。D 用 x 直行與 y 直行，算法是 a1·b2 − a2·b1。Dx 只把 x 直行換成常數直行。Dy 只把 y 直行換成常數直行。不要交換這兩個分子。
  3. 第 3 階起不算獨立完成。D = 1/2·(-1/2) − 1·1；Dx = 2·(-1/2) − 1/2·1；Dy = 1/2·1/2 − 1·2。先不要把這三式的結果寫成最後答案。
  4. 第 4 階仍不算獨立完成。D = -5/4，Dx = -3/2，Dy = -7/4。這三個數都保持原來的正負號。
  5. 第 5 階是完整解答，不算獨立完成。D = -5/4；Dx = -3/2；Dy = -7/4；(x, y) = (6/5, 7/5)；第一式左右差 = 0；第二式左右差 = 0
做完或卡住後再看：常見錯法與補救

容易寫成的錯法：把 x 的係數向量和 y 的係數向量對調，寫成 (x, y) = (7/5, 6/5)。

這是用來對照公式的假設，不是從學生作業統計來的。

回到遷移題 3。不要沿用這個錯法。請重新交出 D、Dx、Dy 和 (x, y)，並讓兩式左右差都是 0。第 3 階和更後面的提示不算獨立完成。合上提示後再做同一題。

回到教學　回到這一題

錯法要回到哪裡

做完或卡住後再看：常見錯法與補救
錯法教學然後
把 D 寫成 2·1 − 1·3 = -1，分子仍用正確的 Dx、Dy，得到 (x, y) = (-8, -9)。教學回到診斷題 1
把 Dy / D 寫在 x 的位置、Dx / D 寫在 y 的位置，x、y 的位置對調，得到 (x, y) = (3, 2)。教學回到診斷題 2
看到第一式的 x 係數是 0，就寫「有 0，所以不能解」，沒有計算 D。教學回到診斷題 3
把y的負號拿掉，寫成 (x, y) = (3, 2)。教學回到初練甲 1
把y的負號拿掉，寫成 (x, y) = (2, 5/2)。教學回到初練甲 2
把x的負號拿掉，寫成 (x, y) = (1, 2)。教學回到初練甲 3
把 D 的第一項 1/2·1/2 改成加法 1/2+1/2，得到 D = 0。接著因為自認 D 是 0 就停止，沒有寫解向量。教學回到初練乙 1
只把 D 改成 1/2·1/2 − 3/2·1/2 = -1/2，Dx 和 Dy 沒有一起改號，得到 (x, y) = (-1, -1)。教學回到初練乙 2
把第一式的 y 係數 1 誤讀成 1/3，算出 (x, y) = (3/2, 3/2)。教學回到初練乙 3
Dx 改去替換 y 的直行、Dy 改去替換 x 的直行，寫成 (x, y) = (2/3, 5/3)。教學回到補救直行 1
Dx 改去替換 y 的直行、Dy 改去替換 x 的直行，寫成 (x, y) = (1, 2)。教學回到補救直行 2
Dx 改去替換 y 的直行、Dy 改去替換 x 的直行，寫成 (x, y) = (-6/7, 17/7)。教學回到補救直行 3
三個行列式都取絕對值，寫成 (x, y) = (1, 1)。教學回到補救正負 1
三個行列式都取絕對值，寫成 (x, y) = (1, 3)。教學回到補救正負 2
三個行列式都取絕對值，寫成 (x, y) = (1, 3)。教學回到補救正負 3
把 x 的係數向量和 y 的係數向量對調，寫成 (x, y) = (1, 2)。教學回到遷移題 1
把 x 的係數向量和 y 的係數向量對調，寫成 (x, y) = (3, 2)。教學回到遷移題 2
把 x 的係數向量和 y 的係數向量對調，寫成 (x, y) = (7/5, 6/5)。教學回到遷移題 3