練習

先辨認圓與直線各用哪種方程式表示。

把圓與標準式逐項對照，留意半徑與右邊數字的關係。

整理直線時維持等式，並依題面規定的係數形式記錄。

將讀出的圓心代回括號，將整理後直線與原式互相轉換，檢查是否完全等價。

(2) 作答：5, -12, -7
(1) 對照 (x−h)²+(y−k)²=r²：x+3 = x−(−3)，所以 h = −3；y−4，所以 k = 4。圓心 C(−3, 4)。r² = 49，r = 7（半徑是正的，而且不是 49）。
(2) 5x = 12y + 7，兩邊同時減去 12y 與 7，得 5x − 12y − 7 = 0，所以 a = 5、b = −12、c = −7。

• 可能的錯法：圓心寫成 (3, 4)，半徑寫成 49。
  為什麼不對：把 x+3 的 3 直接當成 h；右邊的 49 是 r²，不是 r。正確：圓心 (−3, 4)，r = 7。
  補救：括號裡是加號時，先改寫成 x−(−3)；右邊的數要開平方。
• 可能的錯法：寫成 c = 7（或 5x + 12y + 7 = 0）。
  為什麼不對：把 12y 與 7 移到左邊時，沒有變號。正確：5x − 12y − 7 = 0，c = −7。
  補救：整理完之後，檢查：把原式 5x = 12y + 7 的右邊整個移到左邊，是不是 5x −（12y + 7）？

題目中的圓和直線各提供哪些條件？

哪些量是圓心坐標、半徑及直線的一般式係數？

距離公式的分子來自圓心代入直線，分母來自同一條線的係數；算出後與半徑比較。

保留精確值完成比較；每一個小題依自己的條件計算，最後檢查距離、位置和交點個數是否一致。

(1) 4×2−3×1−5 = 8−3−5 = 0，圓心在直線 l 上。
(2) d = |0| ÷ √(4²+(−3)²) = 0 ÷ 5 = 0。
(3) r = 2，d = 0 < 2，所以 l 與圓相交，有兩個交點（l 通過圓心，圓心兩側各一個）。d 很小並不代表相切，相切要 d = r。

• 可能的錯法：寫「d = 0，直線貼著圓心，所以相切」。
  為什麼不對：相切要 d 等於 r。這題 r = 2，d = 0 比 r 小，是相交，有兩個交點。
  補救：先寫出 d 與 r 的數字，再比大小，不要只憑感覺。
• 可能的錯法：代入時把圓心寫成 (1, 2)，算出 4×1−3×2−5 = −7，d = 7/5。
  為什麼不對：圓心是 (h, k) = (2, 1)，x 坐標在前、y 坐標在後。正確的代入結果是 0，d = 0。
  補救：代入前先寫「h = ？，k = ？」，再往式子裡放。

題目中的圓和直線各提供哪些條件？

哪些量是圓心坐標、半徑及直線的一般式係數？

距離公式的分子來自圓心代入直線，分母來自同一條線的係數；算出後與半徑比較。

保留精確值完成比較；每一個小題依自己的條件計算，最後檢查距離、位置和交點個數是否一致。

甲：|3×3+4×(−1)−10| = |9−4−10| = 5；√(3²+4²) = 5；d = 5 ÷ 5 = 1。
乙：|6×3+8×(−1)−20| = |18−8−20| = 10；√(6²+8²) = 10；d = 10 ÷ 10 = 1。
兩個一樣：乙的分子是甲的 2 倍，分母也是 2 倍，相除後倍數消掉；所以把直線的方程式乘幾倍，d 都不變。
(3) r = 4，d = 1 < 4，相交，有兩個交點。

• 可能的錯法：用乙寫法時，分子算出 10，分母沿用甲的 5，得 d = 10 ÷ 5 = 2。
  為什麼不對：分母要用同一行方程式的 a、b：乙是 6 與 8，√(6²+8²) = 10，d = 10 ÷ 10 = 1，不是 2。
  補救：分子和分母要出自同一行方程式。
• 可能的錯法：甲寫法的分子算成 9−4−10 = −5，d = −5 ÷ 5 = −1。
  為什麼不對：距離不會是負的，分子要取絕對值：|−5| = 5，d = 1。
  補救：算完 d 先看一眼：d 是不是大於或等於 0？

題目中的圓和直線各提供哪些條件？

哪些量是圓心坐標、半徑及直線的一般式係數？

距離公式的分子來自圓心代入直線，分母來自同一條線的係數；算出後與半徑比較。

保留精確值完成比較；每一個小題依自己的條件計算，最後檢查距離、位置和交點個數是否一致。

圓心 (0, 0)，r = 4。d = |3×0+4×0−15| ÷ √(3²+4²) = 15 ÷ 5 = 3。d = 3 < r = 4，所以 l 與圓相交，有兩個交點。

• 可能的錯法：分母忘了開根號：d = 15 ÷ (3²+4²) = 15 ÷ 25 = 0.6。
  為什麼不對：分母是 a²+b² 再開根號，√25 = 5，d = 15 ÷ 5 = 3，不是 0.6。
  補救：算分母時先問自己：有沒有根號？
• 可能的錯法：寫「d = 3，r = 4，3 比 4 小，所以相離」。
  為什麼不對：d 小於 r 是相交，不是相離。d 越小，直線離圓心越近，越容易碰到圓。
  補救：寫結論前，把規則表裡 d < r 那一行再讀一次。

題目中的圓和直線各提供哪些條件？

哪些量是圓心坐標、半徑及直線的一般式係數？

距離公式的分子來自圓心代入直線，分母來自同一條線的係數；算出後與半徑比較。

保留精確值完成比較；每一個小題依自己的條件計算，最後檢查距離、位置和交點個數是否一致。

圓心 (0, 0)，r = 2。d = |7×0+24×0−50| ÷ √(7²+24²) = 50 ÷ √625 = 50 ÷ 25 = 2。d = 2 = r，所以 l 與圓相切，只有一個交點。

• 可能的錯法：分母算成 √(7+24) = √31：d = 50 ÷ √31。
  為什麼不對：分母是 a² + b² 再開根號：7² + 24² = 49 + 576 = 625，√625 = 25，d = 2。把 a、b 直接相加是錯的。
  補救：先平方，再相加，再開根號。
• 可能的錯法：寫「d = 2 = r，直線碰到圓，所以相交」。
  為什麼不對：相交是兩個交點；d 等於 r 時只有一個交點，叫相切。
  補救：把交點個數和名稱對起來：2 個是相交、1 個是相切、0 個是相離。

題目中的圓和直線各提供哪些條件？

哪些量是圓心坐標、半徑及直線的一般式係數？

距離公式的分子來自圓心代入直線，分母來自同一條線的係數；算出後與半徑比較。

保留精確值完成比較；每一個小題依自己的條件計算，最後檢查距離、位置和交點個數是否一致。

圓心 (0, 0)，r = 3。d = |5×0+12×0−43| ÷ √(5²+12²) = 43 ÷ 13。比較 43/13 與 3：兩邊同乘 13，得 43 與 39，43 > 39，所以 d > r。l 與圓相離，沒有交點。（43/13 約 3.31，只比 3 大一點點，光靠眼睛或「約等於」很容易誤判，要靠計算比較。）

• 可能的錯法：「43/13 約等於 3，所以 d = r，相切」。
  為什麼不對：43/13 不等於 3：43 ÷ 13 = 3.3…，要和 3 完全相等才是相切。同乘 13 後 43 與 39 並不相等，43 比較大，是相離。
  補救：相切要「相等」，「差不多」不算。
• 可能的錯法：分子沒取絕對值：d = −43/13，再說「−43/13 < 3，所以相交」。
  為什麼不對：距離不是負的，d = 43/13。負數永遠比 r 小，這樣的判斷任何直線都會變成相交。
  補救：算完 d，先檢查它是不是大於或等於 0。

題目中的圓和直線各提供哪些條件？

哪些量是圓心坐標、半徑及直線的一般式係數？

距離公式的分子來自圓心代入直線，分母來自同一條線的係數；算出後與半徑比較。

保留精確值完成比較；每一個小題依自己的條件計算，最後檢查距離、位置和交點個數是否一致。

(1) 3x+4y−30=0，c = −30。
(2) 圓心 (1, 2)，d = |3×1+4×2−30| ÷ √(3²+4²) = |−19| ÷ 5 = 19/5 = 3.8。
(3) r = 3，d = 3.8 > 3，所以 l 與圓相離，沒有交點。

• 可能的錯法：把 3x+4y=30 看成 3x+4y+30=0，c = 30：d = |3+8+30| ÷ 5 = 41/5 = 8.2。
  為什麼不對：移項時 30 要變號，c = −30，d = 19/5 = 3.8，不是 8.2。
  補救：整理完，把原式「左邊減右邊」寫出來：3x+4y−30。
• 可能的錯法：把 r² = 9 當成半徑，拿 d = 3.8 與 9 比：3.8 < 9，所以相交。
  為什麼不對：右邊的 9 是 r²，半徑是 r = 3。d = 3.8 > 3，是相離。
  補救：右邊的數要開平方，才是半徑。

題目中的圓和直線各提供哪些條件？

哪些量是圓心坐標、半徑及直線的一般式係數？

距離公式的分子來自圓心代入直線，分母來自同一條線的係數；算出後與半徑比較。

保留精確值完成比較；每一個小題依自己的條件計算，最後檢查距離、位置和交點個數是否一致。

(1) 作答：5, -12, 26
(1) 12y = 5x + 26 → 5x − 12y + 26 = 0，a = 5、b = −12、c = 26。
(2) 圓心 (−2, −3)。d = |5×(−2)+(−12)×(−3)+26| ÷ √(5²+(−12)²) = |−10+36+26| ÷ 13 = 52 ÷ 13 = 4。
(3) r = 6，d = 4 < 6，所以 l 與圓相交，有兩個交點。

• 可能的錯法：圓心讀成 (2, 3)：d = |5×2+(−12)×3+26| ÷ 13 = |10−36+26| ÷ 13 = 0。
  為什麼不對：(x+2) 要看成 x−(−2)，圓心是 (−2, −3)，不是 (2, 3)。正確：d = 4。
  補救：括號裡是加號，圓心的坐標就是負的。
• 可能的錯法：把 12y = 5x + 26 寫成 5x + 12y + 26 = 0：d = |5×(−2)+12×(−3)+26| ÷ 13 = 20/13。
  為什麼不對：12y 從等號左邊移到右邊要變號（也就是把 5x 與 26 移到左邊都要變號），整理成 5x − 12y + 26 = 0，b = −12，不是 12。正確：d = 4。
  補救：整理後檢查：把原式右邊的每一項（5x、26）移過去，有沒有改號？

題目中的圓和直線各提供哪些條件？

哪些量是圓心坐標、半徑及直線的一般式係數？

距離公式的分子來自圓心代入直線，分母來自同一條線的係數；算出後與半徑比較。

保留精確值完成比較；每一個小題依自己的條件計算，最後檢查距離、位置和交點個數是否一致。

(1) 作答：1, 0, 2
(1) x = −2 → x + 2 = 0，即 1·x + 0·y + 2 = 0，a = 1、b = 0、c = 2。
(2) 圓心 (4, −1)，d = |1×4+0×(−1)+2| ÷ √(1²+0²) = 6 ÷ 1 = 6。（也就是圓心的 x 坐標 4 與 −2 的差。）
(3) r = 6，d = 6 = r，所以 l 與圓相切，只有一個交點。

• 可能的錯法：把 x = −2 寫成 x − 2 = 0（c = −2）：d = |4−2| ÷ 1 = 2。
  為什麼不對：移項時 −2 要變成 +2，x + 2 = 0，c = 2。正確：d = 6。
  補救：用一個在直線上的點檢查：點 (−2, 0) 代入 x + 2 是 0，代入 x − 2 卻是 −4。
• 可能的錯法：把 x = −2 當成 y = −2，用圓心的 y 坐標算：d = |−1 − (−2)| = 1。
  為什麼不對：x = −2 是鉛直線，要用圓心的 x 坐標 4 去和 −2 比，不是用 y 坐標。正確：d = 6。
  補救：鉛直線的方程式只有 x，水平線才只有 y。

逐項對照題目條件與這份解答，哪個量需要重新核對？

分開檢查讀取條件、距離計算與位置判定，不預設哪一步錯。

從原圓與原直線重新求距離，並與半徑比較，勿沿用待檢查解答的數值。

把自己的每一行與原解答相對照，指出第一個不符合定義或等式的地方，再寫出更正結果。

錯在沒有取絕對值。正確的 d = |−42| ÷ 5 = 42/5 = 8.4。r = 6，d = 8.4 > 6，所以 l 與圓相離，沒有交點。小倩的 −8.4 < 6 這種比法有問題：負數永遠比 r 小，任何直線都會被判成相交。

• 可能的錯法：改正分子後仍然寫「8.4 > 6，所以相交」。
  為什麼不對：d 大於 r 是相離，不是相交。d 越大，直線離圓心越遠。
  補救：寫結論前，把規則表裡 d > r 那一行再讀一次。
• 可能的錯法：改正分子後，拿 r² = 36 去比：d = 8.4，8.4 < 36，所以相交。
  為什麼不對：右邊的 36 是 r²，半徑是 r = 6。d = 8.4 > 6，是相離。
  補救：右邊的數要開平方，才是半徑。

逐項對照題目條件與這份解答，哪個量需要重新核對？

分開檢查讀取條件、距離計算與位置判定，不預設哪一步錯。

從原圓與原直線重新求距離，並與半徑比較，勿沿用待檢查解答的數值。

把自己的每一行與原解答相對照，指出第一個不符合定義或等式的地方，再寫出更正結果。

錯在圓心：(x+4) = x−(−4)，所以 h = −4，圓心是 (−4, 1)，不是 (4, 1)。正確：d = |3×(−4)+4×1+2| ÷ 5 = |−6| ÷ 5 = 6/5 = 1.2。r = 3，d = 1.2 < 3，所以 l 與圓相交，有兩個交點。

• 可能的錯法：改圓心時把 y 坐標也改號，圓心 (−4, −1)：d = |−12−4+2| ÷ 5 = 14/5 = 2.8。
  為什麼不對：(y−1) 要看成 y−1，k = 1，y 坐標不用改號。只有括號裡是加號（x+4）的 x 坐標，才是負的。正確：d = 1.2。
  補救：圓心每個坐標各自對照括號：加號給負，減號給正。
• 可能的錯法：分子沒取絕對值：d = −6 ÷ 5 = −1.2。
  為什麼不對：距離不是負的，d = |−6| ÷ 5 = 1.2。
  補救：算完 d，先看它是不是大於或等於 0。

逐項對照題目條件與這份解答，哪個量需要重新核對？

分開檢查讀取條件、距離計算與位置判定，不預設哪一步錯。

從原圓與原直線重新求距離，並與半徑比較，勿沿用待檢查解答的數值。

把自己的每一行與原解答相對照，指出第一個不符合定義或等式的地方，再寫出更正結果。

錯在分母沒有開根號：√169 = 13。正確：d = 39 ÷ 13 = 3。r = 3，d = 3 = r，所以 l 與圓相切，只有一個交點。小華算出來的 3/13 小得離譜，不是圓心到直線的距離。

• 可能的錯法：把分母改成 5+12 = 17：d = 39 ÷ 17。
  為什麼不對：分母要把 a、b 各自平方再相加，才開根號：√(25+144) = 13。a、b 直接相加是錯的。正確：d = 3。
  補救：先平方，再相加，再開根號。
• 可能的錯法：改正後算出 d = 3，r = 3，寫「碰到圓，所以相交」。
  為什麼不對：d = r 時只有一個交點，叫相切；相交是兩個交點。
  補救：先數交點個數，再寫名稱。

圓與直線的位置條件，能否轉成兩個長度的關係？

常數改變時，哪些量改變、哪些量保持固定？

用圓心到直線的距離與半徑建立相切條件，未知數保留在距離式中。

解出的每個常數都代回原條件檢查；另一小題獨立代入其指定常數，重新比較。

(1) 作答：3, -7
(1) 圓心 (2, −1)，r = 1。d = |3×2+4×(−1)+k| ÷ √(3²+4²) = |2+k| ÷ 5。相切要 d = r：|2+k| ÷ 5 = 1，|2+k| = 5，所以 2+k = 5 或 2+k = −5，k = 3 或 k = −7。
(2) k = 0：d = |2| ÷ 5 = 2/5 = 0.4。r = 1，d < r，所以相交，有兩個交點。

• 可能的錯法：解 |2+k| = 5 時只取 2+k = 5，寫出 k = 3 就停了。
  為什麼不對：題目說有兩個 k 值；|2+k| = 5 有兩種情形：2+k = 5 與 2+k = −5，所以還有 k = −7。兩條直線都和圓相切（圓的兩側各一條）。
  補救：絕對值等於正數時，記得正負兩種都寫。
• 可能的錯法：分母忘了除以 5：|2+k| = 1，得 k = −1 或 k = −3。
  為什麼不對：d 的分母是 √(3²+4²) = 5，所以是 |2+k| ÷ 5 = 1，不是 |2+k| = 1。正確：k = 3 或 k = −7。
  補救：代入公式時分子分母都要寫出來。

圓心已給，要決定圓的方程式還缺什麼量？

相切條件能怎樣決定這個量？

用圓心到直線的距離決定半徑，再依標準式寫圓。

完成後讀回圓心與半徑，檢查與題目圓心及相切條件是否相符。

作答：(x+2)^2+(y-3)^2=16
圓與直線相切，所以 r = d = |8×(−2)+15×3+39| ÷ √(8²+15²) = |−16+45+39| ÷ 17 = 68 ÷ 17 = 4。圓心 (−2, 3)，所以圓的方程式是 (x+2)²+(y−3)²=16。

• 可能的錯法：寫成 (x−2)²+(y+3)²=16。
  為什麼不對：圓心是 (−2, 3)，x 坐標 −2 要寫成 (x−(−2)) = (x+2)，y 坐標 3 寫成 (y−3)。正確：(x+2)²+(y−3)²=16。
  補救：寫完把圓心讀回來：括號裡的符號反過來就是圓心。
• 可能的錯法：寫成 (x+2)²+(y−3)²=4。
  為什麼不對：標準式右邊是 r²，不是 r。r = 4，r² = 16。
  補救：寫完問自己：右邊是不是半徑的平方？

半徑可取的值有什麼限制？

圓心與直線不變，哪個幾何量會保持固定？

用距離與半徑的關係表示沒有交點的條件，再考慮正整數的限制。

用精確值篩選候選整數；檢查最後列出的值，以及相鄰的下一個值是否符合原條件。

作答：1, 2, 3, 4
d = |3×1+4×(−2)+28| ÷ √(3²+4²) = |23| ÷ 5 = 23/5 = 4.6。沒有交點是相離，要 d > r，即 r < 4.6。正整數 r 是 1、2、3、4（r = 5 時 4.6 < 5，變成相交）。答：r = 1、2、3、4。

• 可能的錯法：把 4.6 四捨五入成 5，答 r = 1、2、3、4、5。
  為什麼不對：r = 5 時 d = 4.6 < 5，是相交，有交點，不能列入。判斷要用 4.6 比，不能四捨五入。
  補救：把每個答案代回去，用 d 與 r 比一次。
• 可能的錯法：寫成 r = 5、6、7、…。
  為什麼不對：這是方向記反：沒有交點是 d > r，即 r 要比 d 小；r 比 d 大時圓變大，會碰到直線。
  補救：想像圓越畫越大：先碰不到直線，後來才碰到。

題目要求判斷位置及交點個數，圓與直線各提供哪些條件？

圓的展開式要如何改寫，才能讀出圓心與半徑？直線應整理成哪一種形式？

用同一條直線的一般式係數，計算圓心到直線的距離，再和半徑比較。

保留精確值完成比較，依比較結果寫出位置與交點個數，再檢查兩者是否一致。

配方：x²−6x+9 + y²+2y+1 = 15+9+1，即 (x−3)²+(y+1)²=25，圓心 (3, −1)，r = 5。直線：3x − 4y + 14 = 0，a = 3、b = −4、c = 14。d = |3×3+(−4)×(−1)+14| ÷ √(3²+(−4)²) = |9+4+14| ÷ 5 = 27/5 = 5.4。d = 5.4 > r = 5，所以 l 與圓相離，沒有交點。

• 可能的錯法：配方時右邊忘了加 9 與 1，寫成 (x−3)²+(y+1)²=15。
  為什麼不對：左邊補了 9 與 1，右邊就要加 9 與 1：15+9+1 = 25，r² = 25，r = 5，不是 √15。
  補救：配方補什麼，兩邊都要補。
• 可能的錯法：把 4y = 3x + 14 寫成 3x + 4y + 14 = 0：d = |9−4+14| ÷ 5 = 19/5 = 3.8，3.8 < 5，相交。
  為什麼不對：4y 從左邊移到右邊要變號，b = −4，不是 4。正確：d = 5.4 > 5，相離。
  補救：整理後檢查：把原式 4y = 3x + 14 右邊的每一項移過去，有沒有改號？

題目中的圓和直線各提供哪些條件？

哪些量是圓心坐標、半徑及直線的一般式係數？

距離公式的分子來自圓心代入直線，分母來自同一條線的係數；算出後與半徑比較。

保留精確值完成比較；每一個小題依自己的條件計算，最後檢查距離、位置和交點個數是否一致。

d = |5×6+12×2+24| ÷ √(5²+12²) = |30+24+24| ÷ 13 = 78 ÷ 13 = 6（公尺）。r = 6.5 公尺，d = 6 < 6.5，所以步道會穿過水池的邊緣，有兩個交點。

• 可能的錯法：把 P(6, 2) 的坐標代反，用 (2, 6)：d = |5×2+12×6+24| ÷ 13 = 106/13（約 8.15），大於 6.5，說「不會碰到水池」。
  為什麼不對：P(6, 2) 是 x = 6、y = 2，不能顛倒。正確：d = 6，小於 6.5，會穿過。
  補救：代入前先寫「h = 6，k = 2」。
• 可能的錯法：只比整數部分：「d = 6，r = 6.5 約等於 6，所以 d = r，相切」。
  為什麼不對：6.5 不等於 6。d = 6 < 6.5，是相交，有兩個交點。
  補救：相切要「相等」，要拿完整的 r = 6.5 去比。

題目中的圓和直線各提供哪些條件？

哪些量是圓心坐標、半徑及直線的一般式係數？

距離公式的分子來自圓心代入直線，分母來自同一條線的係數；算出後與半徑比較。

保留精確值完成比較；每一個小題依自己的條件計算，最後檢查距離、位置和交點個數是否一致。

作答：相交, 相切, 相離
圓心 (3, 1)，r = 5。
l：3x+4y−8=0，d = |9+4−8| ÷ 5 = 5 ÷ 5 = 1，1 < 5，相交（兩個交點）。
m：6x+8y+24=0，d = |18+8+24| ÷ √(6²+8²) = 50 ÷ 10 = 5，5 = 5，相切（一個交點）。
n：3x+4y−48=0，d = |9+4−48| ÷ 5 = 35 ÷ 5 = 7，7 > 5，相離（沒有交點）。

• 可能的錯法：m 的分母沿用 5：d = 50 ÷ 5 = 10，判成相離。
  為什麼不對：m 的 a、b 是 6 與 8，分母 √(6²+8²) = 10，d = 50 ÷ 10 = 5，是相切。分子分母要出自同一行方程式。
  補救：每算一條直線，就重新寫一次那條直線的 a、b、c。
• 可能的錯法：三條線的常數移項都沒有變號，寫成 l：3x+4y+8=0、m：6x+8y−24=0、n：3x+4y+48=0；算出 d 分別為 21/5、1/5、61/5，判成 l 相交、m 相交、n 相離。
  為什麼不對：一般式應由原式的左邊減右邊整理：l 的 c = −8、m 的 c = 24、n 的 c = −48。正確的 d 分別是 1、5、7，位置依序是相交、相切、相離。
  補救：三條線各自寫出「左邊減右邊」，檢查常數符號，再分別代入圓心重算；不能因部分位置結論沒變，就認為算式正確。