練習：由弧度角求圓弧長

先想：弧長公式需要哪兩個量？題目已經給了哪兩個？

這題的角已經用弳來量，不需要再換成度。

弧長 = 半徑 × 圓心角（弳），也就是 l = rθ。

代入得 l = 6 × (π/2) cm。分數與 π 可以先約分再寫成一個式子。

l = rθ = 6 × π/2 = 3π。所以弧長是 3π cm。理由：θ 已是弳，r 與 l 同單位，直接相乘。

• 可能寫成：整個圓周 2πr = 12π cm。這不是正確答案。原因：只看到半徑，就算整圈的圓周長，沒有用到圓心角。補救：圓心角只占整圈的一部分，弧長要用 rθ，不是 2πr。
• 可能寫成：把 π/2 當成 90 再乘：6 × 90 = 540。這不是正確答案。原因：把 π/2 弳誤認成 90（度）後直接代入，數與單位混了。補救：π/2 弳 是弳，不是 90；公式 l = rθ 的 θ 要直接用弳的數值 π/2。
• 可能寫成：用除法：6 ÷ (π/2) = 12/π cm。這不是正確答案。原因：記成「半徑除以角」，與公式相反。補救：θ = l/r，所以 l = rθ（相乘）。

回到課文：公式 l = rθ 與使用條件。補救後把提示關起來，用原題重做一次。

這題的角是 3 弳，不是度。想一想：弳的角數值一定要有 π 嗎？

圓弧長要用「半徑」與「以弳為單位的圓心角」。

l = rθ。θ = 3 就直接用 3，不必補上 π。

代入得 l = 14 × 3（單位 m）。

l = rθ = 14 × 3 = 42。所以弧長是 42 m。答案不含 π：3 弳本來就是一個普通的數。

• 可能寫成：補上 π：14 × 3π = 42π m。這不是正確答案。原因：以為弧度的角一定要帶 π。補救：弳的數值可以是 3、0.8 這類不含 π 的數；題目給 3 弳就用 3。
• 可能寫成：相除：14 ÷ 3 = 14/3 m。這不是正確答案。原因：把乘法記成除法。補救：l = rθ；θ = l/r 才是除法。
• 可能寫成：把 3 當成 3°，先換成弳再乘：14 × 3π/180 = 7π/30 m。這不是正確答案。原因：看到沒有單位的 3 就以為是度。補救：題目明寫「3 弳」，單位已是弳，不必換算。

回到課文：弧度（弳）的意思。補救後把提示關起來，用原題重做一次。

角比半圓（π 弳）大，公式還能用嗎？想想公式的條件是什麼。

只要角是弳、且在一個圓之內（不超過 2π 弳），l = rθ 就成立。

代入 r 與 θ，分數先約分再相乘。

l = 36 × (7π/6) mm；36 與分母 6 可以約分。

l = 36 × 7π/6 = 42π。所以弧長是 42π mm。7π/6 小於 2π，仍在一個圓之內，公式可用。

• 可能寫成：漏掉分母：36 × 7π = 252π mm。這不是正確答案。原因：只乘分子 7π，忘了除以 6。補救：θ = 7π/6 是一個整體；先約分 36 ÷ 6 = 6，再乘 7π。
• 可能寫成：改用較小的另一側：36 × (2π − 7π/6) = 30π mm。這不是正確答案。原因：以為角大於半圓就要改算另一側的弧。補救：題目問的是圓心角 7π/6 所對的弧，直接用它。
• 可能寫成：把 π 換成 180：36 × (7×180/6) = 7560。這不是正確答案。原因：用 π = 180 代換，得到的是度數的數字，不是弳。補救：π 弳 = 180°，但 π 這個數不等於 180；θ = 7π/6 要保留 π。

回到課文：示範 4：比半圓大的角。補救後把提示關起來，用原題重做一次。

先找出題目給的兩個量，再判斷角是度還是弳。

角寫成 π 的分數，表示它已經是弳，不需要換算。

用 l = rθ；先把半徑與分母約分，運算會輕鬆許多。

代入得 l = 30 × (π/6) cm；30 和分母 6 有公因數，可以先約分。

l = 30 × π/6 = 5π。所以弧長是 5π cm。回查：π/6 弳是整圈 2π 的 1/12，圓周是 60π cm，取這個比例得到同一個結果。

• 可能寫成：分母也乘上去：30 × 1π × 6 = 180π cm。這不是正確答案。原因：把 π/6 當成「乘 π 再乘 6」，分母除錯成相乘。補救：π/6 的分母是除以 6，要約分，不是乘 6。
• 可能寫成：把 π 換成 180 當度數：30 × (1×180/6) = 900。這不是正確答案。原因：用 π = 180 代換再乘半徑，數值是度數不是弳。補救：π 弳 = 180°，但 π ≠ 180；代入 l = rθ 時 θ 要用弳的數值（保留 π）。
• 可能寫成：多乘一個 2π：2π × 30 × π/6 = 10π² cm。這不是正確答案。原因：把國中的「圓周 × 比例」和 rθ 混在一起，圓周重複算。補救：rθ 已經包含了 2πr 乘以 θ/2π 的結果，不能再乘 2π。

回到課文：公式 l = rθ 與使用條件。補救後把提示關起來，用原題重做一次。

先找出題目給的兩個量，再判斷角是度還是弳。

角寫成 π 的分數，表示它已經是弳，不需要換算。

用 l = rθ；先把半徑與分母約分，運算會輕鬆許多。

代入得 l = 24 × (3π/4) cm；24 和分母 4 有公因數，可以先約分。

l = 24 × 3π/4 = 18π。所以弧長是 18π cm。回查：3π/4 弳是整圈 2π 的 3/8，圓周是 48π cm，取這個比例得到同一個結果。

• 可能寫成：分母也乘上去：24 × 3π × 4 = 288π cm。這不是正確答案。原因：把 3π/4 當成「乘 3π 再乘 4」，分母除錯成相乘。補救：3π/4 的分母是除以 4，要約分，不是乘 4。
• 可能寫成：把 π 換成 180 當度數：24 × (3×180/4) = 3240。這不是正確答案。原因：用 π = 180 代換再乘半徑，數值是度數不是弳。補救：π 弳 = 180°，但 π ≠ 180；代入 l = rθ 時 θ 要用弳的數值（保留 π）。
• 可能寫成：多乘一個 2π：2π × 24 × 3π/4 = 36π² cm。這不是正確答案。原因：把國中的「圓周 × 比例」和 rθ 混在一起，圓周重複算。補救：rθ 已經包含了 2πr 乘以 θ/2π 的結果，不能再乘 2π。

回到課文：公式 l = rθ 與使用條件。補救後把提示關起來，用原題重做一次。

先找出題目給的兩個量，再判斷角是度還是弳。

角寫成 π 的分數，表示它已經是弳，不需要換算。

用 l = rθ；先把半徑與分母約分，運算會輕鬆許多。

代入得 l = 45 × (4π/9) cm；45 和分母 9 有公因數，可以先約分。

l = 45 × 4π/9 = 20π。所以弧長是 20π cm。回查：4π/9 弳是整圈 2π 的 2/9，圓周是 90π cm，取這個比例得到同一個結果。

• 可能寫成：分母也乘上去：45 × 4π × 9 = 1620π cm。這不是正確答案。原因：把 4π/9 當成「乘 4π 再乘 9」，分母除錯成相乘。補救：4π/9 的分母是除以 9，要約分，不是乘 9。
• 可能寫成：把 π 換成 180 當度數：45 × (4×180/9) = 3600。這不是正確答案。原因：用 π = 180 代換再乘半徑，數值是度數不是弳。補救：π 弳 = 180°，但 π ≠ 180；代入 l = rθ 時 θ 要用弳的數值（保留 π）。
• 可能寫成：多乘一個 2π：2π × 45 × 4π/9 = 40π² cm。這不是正確答案。原因：把國中的「圓周 × 比例」和 rθ 混在一起，圓周重複算。補救：rθ 已經包含了 2πr 乘以 θ/2π 的結果，不能再乘 2π。

回到課文：公式 l = rθ 與使用條件。補救後把提示關起來，用原題重做一次。

這題的角有單位「弳」，數值不含 π。想想這樣的角能不能直接代入公式。

可以：弧長公式只要求角用弳來量，數值是不是 π 的倍數沒有關係。

用 l = rθ，把 θ 當成一般的數直接乘。

代入得 l = 25 × 0.8（單位 cm）。

l = 25 × 0.8 = 20。所以弧長是 20 cm。答案沒有 π，因為角的數值本來就沒有 π。

• 可能寫成：補一個 π：25 × 0.8 × π = 20π cm。這不是正確答案。原因：以為弧長答案都要有 π。補救：只有角的數值含 π 時，答案才含 π；這題的角不含 π。
• 可能寫成：相除：25 ÷ 0.8 = 125/4 cm。這不是正確答案。原因：把 l = rθ 記成除法。補救：θ = l/r 是反過來求角；求弧長要乘。
• 可能寫成：當成度數換成弳再算：25 × 0.8 × π/180 = π/9 cm。這不是正確答案。原因：沒看見單位「弳」，誤以為是度。補救：題目說明角是弳；弳不必再換算。

回到課文：弧度（弳）的意思。補救後把提示關起來，用原題重做一次。

這題的角有單位「弳」，數值不含 π。想想這樣的角能不能直接代入公式。

可以：弧長公式只要求角用弳來量，數值是不是 π 的倍數沒有關係。

用 l = rθ，把 θ 當成一般的數直接乘。

代入得 l = 16 × 9/4（單位 m）。

l = 16 × 9/4 = 36。所以弧長是 36 m。答案沒有 π，因為角的數值本來就沒有 π。

• 可能寫成：補一個 π：16 × 9/4 × π = 36π m。這不是正確答案。原因：以為弧長答案都要有 π。補救：只有角的數值含 π 時，答案才含 π；這題的角不含 π。
• 可能寫成：相除：16 ÷ 9/4 = 64/9 m。這不是正確答案。原因：把 l = rθ 記成除法。補救：θ = l/r 是反過來求角；求弧長要乘。
• 可能寫成：當成度數換成弳再算：16 × 9/4 × π/180 = π/5 m。這不是正確答案。原因：沒看見單位「弳」，誤以為是度。補救：題目說明角是弳；弳不必再換算。

回到課文：弧度（弳）的意思。補救後把提示關起來，用原題重做一次。

這題的角有單位「弳」，數值不含 π。想想這樣的角能不能直接代入公式。

可以：弧長公式只要求角用弳來量，數值是不是 π 的倍數沒有關係。

用 l = rθ，把 θ 當成一般的數直接乘。

代入得 l = 35 × 7/5（單位 cm）。

l = 35 × 7/5 = 49。所以弧長是 49 cm。答案沒有 π，因為角的數值本來就沒有 π。

• 可能寫成：補一個 π：35 × 7/5 × π = 49π cm。這不是正確答案。原因：以為弧長答案都要有 π。補救：只有角的數值含 π 時，答案才含 π；這題的角不含 π。
• 可能寫成：相除：35 ÷ 7/5 = 25 cm。這不是正確答案。原因：把 l = rθ 記成除法。補救：θ = l/r 是反過來求角；求弧長要乘。
• 可能寫成：當成度數換成弳再算：35 × 7/5 × π/180 = 49π/180 cm。這不是正確答案。原因：沒看見單位「弳」，誤以為是度。補救：題目說明角是弳；弳不必再換算。

回到課文：弧度（弳）的意思。補救後把提示關起來，用原題重做一次。

檢查小倩代入公式時，θ 用的單位是什麼。

l = rθ 要求 θ 用弳，但 60 是什麼單位的數值？

先把 60° 換成弳：π 弳 = 180°，所以 1° = π/180 弳。

60° = 60 × π/180 = π/3 弳。再用 l = rθ，代入 r = 21 cm。

小倩錯在把度數 60 直接當成 θ 代入；l = rθ 的 θ 必須是弳。正確：60° = π/3 弳，l = 21 × π/3 = 7π。所以弧長是 7π cm（遠小於 1260 cm）。

• 可能寫成：換成弳時漏了 π：60/180 = 1/3，再乘 21 = 7 cm。這不是正確答案。原因：記得除以 180，卻忘了乘 π。補救：1° = π/180 弳，所以 60° = 60π/180 = π/3 弳，π 不能丟。
• 可能寫成：用 π = 180 把弧長式 21 × π/3 換成 21 × 180/3 = 1260。這不是正確答案。原因：把 π 當成 180 代換，得到的是度數相關的數。補救：π 弳 = 180°，不是 π = 180。答案請保留 π。

回到課文：角是度時，要先換成弳。補救後把提示關起來，用原題重做一次。

角給的是度，先想：要用 l = rθ，角需要先做什麼？

角度換弳的比例是 π 弳 = 180°。

θ（弳）= 度數 × π/180；換好之後再乘半徑。

135° = 135 × π/180 = 3π/4 弳。再算 l = 40 × (3π/4)。

θ = 3π/4 弳，l = 40 × 3π/4 = 30π。所以弧長是 30π cm。回查：135/360 = 3/8，圓周 80π cm 的 3/8 也是 30π cm。

• 可能寫成：度數直接乘：40 × 135 = 5400 cm。這不是正確答案。原因：沒有換成弳。補救：先 135° → 3π/4 弳，再乘 r。
• 可能寫成：把 135 當成弳（乘 π）：40 × 135π = 5400π cm。這不是正確答案。原因：把「135°」誤寫成「135π 弳」。補救：度數換弳要乘 π/180，不是乘 π。
• 可能寫成：只乘 135/180 沒有 π：40 × 135/180 = 30 cm。這不是正確答案。原因：換算比例漏了 π。補救：θ = 135 × π/180，π 一起帶進去。

回到課文：角是度時，要先換成弳。補救後把提示關起來，用原題重做一次。

角是度；而且大於 180°，仍是同一個圓裡的角。

先決定是哪個單位要換：把度換成弳。

225 與 180 有公因數，換算時先約分。

225° = 225 × π/180 = 5π/4 弳。再算 l = 48 × (5π/4)。

θ = 5π/4 弳，l = 48 × 5π/4 = 60π。所以弧長是 60π cm。回查：225/360 = 5/8，圓周 96π cm 的 5/8 也是 60π cm。

• 可能寫成：度數直接乘：48 × 225 = 10800 cm。這不是正確答案。原因：沒有先換成弳。補救：先換成 5π/4 弳。
• 可能寫成：換算漏 π：48 × 225/180 = 60 cm。這不是正確答案。原因：只約分 225/180 = 5/4，忘了 π。補救：角是 5π/4 弳，不是 5/4 弳；π 一定要留著。
• 可能寫成：換算時分母誤用 360：225π/360 = 5π/8，再乘 48 = 30π cm。這不是正確答案。原因：把「度換弳」的分母 180 記成整圈的 360。補救：π 弳 = 180°，所以分母是 180；360° 對應的是 2π 弳。

回到課文：角是度時，要先換成弳。補救後把提示關起來，用原題重做一次。

比較小強的式子與課文的弧長公式，看看多了什麼。

課文公式只有兩個因數：r 與 θ。

國中的「2πr × 比例」是另一種寫法，比例是 θ/2π；兩者不要同時用。

只留下 l = rθ，代入 r = 28、θ = 3π/7。

小強把「圓周 2πr」與「rθ」兩種寫法混在一起，圓周重複算了一次（π 也出現了兩次，結果還出現 π²，這是警訊）。正確：l = 28 × 3π/7 = 12π。所以弧長是 12π cm。

• 可能寫成：拿掉 θ 的 π：28 × 3/7 = 12 cm。這不是正確答案。原因：想避開 π² 而把角的 π 丟掉。補救：角 3π/7 弳 的 π 是必要的；多餘的是公式前面的 2π。
• 可能寫成：圓周乘 θ 的係數：2π × 28 × (3/7) = 24π cm。這不是正確答案。原因：把比例當成 3/7，忘記 θ 要除以 2π 才是比例。補救：圓周要乘的比例是 θ/(2π) = 3/14，不是 3/7。

回到課文：公式 l = rθ 與使用條件。補救後把提示關起來，用原題重做一次。

先看題目要求的單位和半徑的單位是否相同。

l 的單位與 r 的單位相同；要換成公尺，換算只能做一次。

兩個做法都可以：先把半徑換成 m 再算，或先算出 cm 再換成 m。

先算 cm：l = 80 × π/4 = 20π cm；1 m = 100 cm。

20π cm ÷ 100 = π/5 m。（等價做法：r = 0.8 m，l = 0.8 × π/4 = π/5 m。）所以弧長是 π/5 m。

• 可能寫成：沒換單位，直接寫成 20π m。這不是正確答案。原因：算出 cm 的數值卻貼上 m。補救：cm 要除以 100 才是 m。
• 可能寫成：換算除以 10：20π ÷ 10 = 2π m。這不是正確答案。原因：把 1 m = 100 cm 記成 10。補救：1 m = 100 cm。

回到課文：解題步驟與回查。補救後把提示關起來，用原題重做一次。

兩小題的數字都是 2，但單位不同。先分辨哪一個是弳、哪一個是度。

弳可以直接用 l = rθ；度要先換成弳。

(2) 用 2° = 2 × π/180 弳。

(1) l = 27 × 2；(2) 2° = π/90 弳，l = 27 × π/90。

(1) l = 27 × 2 = 54 cm。(2) 2° = 2π/180 = π/90 弳，l = 27 × π/90 = 3π/10 cm。同樣寫 2，弧長差很多，因為 1 弳約 57.3°。

• 可能寫成：(2) 也直接寫 27 × 2 = 54 cm。這不是正確答案。原因：看到數字 2 就不管單位。補救：2° 必須換成 π/90 弳。
• 可能寫成：(2) 換算時乘上 π 卻漏了 180：27 × 2π = 54π cm。這不是正確答案。原因：把度換弳誤記成乘 π。補救：度換弳是乘 π/180。

回到課文：角是度時，要先換成弳。補救後把提示關起來，用原題重做一次。

輪子向前走的距離就是輪緣轉過的弧長，所以可以用弧長公式。

角已經是弳；注意半徑是 cm，題目問 m。

l = rθ，算完再換成 m。

l = 32 × 5 cm = 160 cm；1 m = 100 cm。

l = rθ = 32 × 5 = 160 cm = 1.6 m。所以輪子向前走 1.6 m。

• 可能寫成：補 π：32 × 5π cm = 160π cm，再換成 m = 8π/5 m。這不是正確答案。原因：以為 5 弳要寫成 5π。補救：5 弳就是 5，沒有 π。
• 可能寫成：當成圈數算圓周：5 × 2π × 32 cm = 320π cm，再換成 m = 16π/5 m。這不是正確答案。原因：把 5 弳誤當成 5 圈。補救：1 圈 = 2π 弳；弧長直接是 r × 弳。

回到課文：公式 l = rθ 與使用條件。補救後把提示關起來，用原題重做一次。

整個邊界包含哪幾段？列出來。

邊界 = 兩條半徑 + 一段弧。弧的部分用弧長公式。

先算弧長 l = rθ，再加上兩條半徑。

弧長 l = 50 × (3π/5) m；兩條半徑各 50 m。

弧長 l = 50 × 3π/5 = 30π m；圍籬長 = 2r + l = 2 × 50 + 30π = 100 + 30π。所以需要 100 + 30π m。

• 可能寫成：只算弧，得到 30π m。這不是正確答案。原因：忘了扇形邊界還有兩條半徑。補救：圍一圈要連兩條半徑一起算。
• 可能寫成：只加一條半徑，得到 50 + 30π m。這不是正確答案。原因：把「兩條半徑」記成一條。補救：扇形有兩條半徑邊。

回到課文：解題步驟與回查。補救後把提示關起來，用原題重做一次。

這題已知弧長和角，要求的是半徑。公式還是同一個。

把 l = rθ 當成方程式，r 是未知數。

r = l ÷ θ；除以分數等於乘它的倒數。

代入 l = 14π、θ = π/4，列出 r = 14π ÷ (π/4)，先約掉 π。

r = 14π ÷ (π/4) = 14π × 4/π = 56。所以半徑是 56 cm。回查：56 × π/4 = 14π ✓。

• 可能寫成：相乘：14π × π/4 = 7π²/2 cm。這不是正確答案。原因：沒有把公式倒過來用，仍然用乘法。補救：已知 l 與 θ 求 r，要用除法 r = l/θ。
• 可能寫成：除成 14π ÷ 4 = 7π/2 cm。這不是正確答案。原因：只除以分母 4，忘了除以分子 π。補救：θ = π/4 是整體；14π ÷ (π/4) 的 π 會約掉。

回到課文：公式 l = rθ 與使用條件。補救後把提示關起來，用原題重做一次。