練習

先不要看數字。把 AD、DB、AE、EC、AB、AC 各自歸類：它在上層、下層，還是整段？

一個成立的式子，等號兩邊分子分母用的『層』要怎麼搭配？先把這個規則寫下來，再去檢查八個式子。

用配對表：每條截線一欄，每一層一列。逐一檢查每個式子：左邊的分子與分母各在哪一列？右邊的呢？兩邊的列和上下順序要完全相同。(h) 用的是減法，想想平行線性質說的是比還是差，再把兩邊算出來比較。

配對表：上層 AD=16｜AE=18；下層 DB=24｜EC=27；整段 AB=AD+DB=40｜AC=AE+EC=45。對每個式子填：左邊『哪列比哪列』、右邊『哪列比哪列』。要特別留意分子分母顛倒過來的寫法（例如 g）左右兩邊是不是一起顛倒。最後一步：由填好的表選出全部成立的。

配對表：上層 AD｜AE；下層 DB｜EC；整段 AB｜AC。AB=16+24=40，AC=18+27=45。

• (a) 左：上/下；右：上/下。成立（2/3 = 2/3）。
• (b) 左：上/整段；右：上/整段。成立（2/5 = 2/5）。
• (c) 左：下/整段；右：下/整段。成立（3/5 = 3/5）。
• (d) 左：上/下；右：上/整段。列不同，不成立（2/3 ≠ 2/5）。
• (e) 左：上/整段；右：下/整段。列不同，不成立（2/5 ≠ 3/5）。
• (f) 左：上/下；右：下/上。順序反，不成立（2/3 ≠ 3/2）。
• (g) 左：下/上；右：下/上。兩邊一起顛倒，成立（3/2 = 3/2）。
• (h) 這是差，不是比：左 -8，右 -9，不相等，不成立。

答：(a)、(b)、(c)、(g) 成立；(d)、(e)、(f)、(h) 不成立。

• 錯法：選了 (d) AD/DB = AE/AC，理由是『兩邊都是小段比別的段』。
  錯在：左邊是上層比下層，右邊是上層比整段，用的不是同樣兩列。代入也不相等：2/3 ≠ 2/5。
  補救：每個式子都要先寫出左右兩邊各用哪兩列，兩邊相同才成立。
• 錯法：漏選 (g) DB/AD = EC/AE，以為分子分母顛倒就是錯。
  錯在：兩邊是一起顛倒：左邊下/上，右邊也是下/上，仍然用同樣兩列。代入：3/2 = 3/2。
  補救：錯的是只顛倒一邊（像 f），不是兩邊一起顛倒。

題目說哪些線互相平行？被它們所截的又是哪兩條線？

兩段是不是『對應』，要看它們夾在哪兩條平行線之間。PQ 夾在哪兩條線之間？

PQ 夾在 l1、l2 之間，在 n 上找夾在同樣兩條線之間的那一段，就是它的對應段；QR、PR 用同樣方法找。再用配對表列比例式：兩條截線各一欄，第一層與第二層各一列。

配對表：第一層（l1 到 l2）PQ=24｜n 上對應的一段=27；第二層（l2 到 l3）QR=32｜n 上對應的一段=?。列第一層比第二層：24/32（化簡為 3/4）= 27/YZ。最後一步：由這個式子求 YZ。

(1) PQ 夾在 l1、l2 之間，對應 n 上同樣夾在 l1、l2 之間的 XY；QR 對應 YZ；整段 PR 對應整段 XZ。

(2) 配對表：第一層 PQ｜XY；第二層 QR｜YZ。第一層比第二層：PQ/QR = XY/YZ。（也可寫 QR/PQ = YZ/XY，或整段比：PQ/PR = XY/XZ。）

(3) 24/32 = 27/YZ，交叉相乘 24×YZ = 32×27 = 864，YZ = 864÷24 = 36。

回核：XZ=27+36=63，PR=24+32=56；PQ/PR = 3/7，XY/XZ = 3/7，整段比也相同。

答：(1) XY、YZ、XZ；(2) PQ/QR = XY/YZ；(3) YZ=36 公分。

• 錯法：寫成 PQ/QR = YZ/XY，得 YZ=20.25。
  錯在：左邊第一層在分子，右邊卻把第二層 YZ 放在分子，順序反了。
  補救：兩邊都用『第一層比第二層』：PQ/QR = XY/YZ。
• 錯法：想成『QR 比 PQ 多 8，所以 YZ 比 XY 多 8』，得 YZ=35。
  錯在：平行線截出來的是『比相同』，不是『差相同』。
  補救：用比：PQ:QR = XY:YZ，再求 YZ。

題目給的是小段還是整段？要求的 EC 在上層還是下層？

AD 在 AB 上是『上層』，AB 是『整段』。AC 這條邊上，哪一段是上層、哪一段是下層？

可以先用上層對整段求出另一條邊上的上層 AE，再用 EC = AC - AE；也可以先算 DB = AB - AD，直接用下層對整段。

路線一：AD/AB = AE/AC，先化簡 24/42 = 4/7，再求 AE，EC = AC - AE。路線二：DB = 42-24 = 18，DB/AB = EC/AC，也就是 18/42 = EC/63。選一條，最後一步留給你。

①平行：題目寫明 DE∥BC。

②截線：AB 與 AC。

③配對表：上層 AD｜AE；下層 DB｜EC；整段 AB｜AC。

④列式：AD/AB = AE/AC，即 24/42 = AE/63；再 EC = AC - AE。

⑤解：AE = 63×4/7 = 36；EC = 63-36 = 27（公分）。

回核：另一條路：DB=42-24=18，DB/AB = 3/7，EC/AC = 3/7，相同。

答：EC=27 公分。

• 錯法：寫成 AD/AB = EC/AC，得 EC=36。
  錯在：左邊是上層比整段，右邊 EC 卻在下層，兩邊用的不是同一列。這樣算出來的其實是 AE。
  補救：AE 才和 AD 同在上層。要求 EC，先求 AE 再減，或用下層比整段 DB/AB = EC/AC。
• 錯法：以為 EC = AC - AB = 21（兩條邊的長度相減）。
  錯在：AB 與 AC 是不同的邊，相減沒有意義；比例性質談的是同一層之間的比。
  補救：回到配對表：EC 是 AC 的下層，要用比例求。

先確認哪兩條線平行，被它們所截的是哪兩條邊。

要求的 DB 在上層還是下層？和它同一層的另一段是哪一段？

AD、AE 同在上層，DB、EC 同在下層。用『上層比下層』：AD/DB = AE/EC，設 DB=x。

代入 50/x = 40/64。交叉相乘：40×x = 50×64，也就是 40×x = 3200。最後一步：求 x，並附單位。

①平行：題目寫明 DE∥BC。

②截線：AB 與 AC。

③配對表：上層 AD｜AE；下層 DB｜EC。

④列式：AD/DB = AE/EC，設 DB=x：50/x = 40/64。

⑤解：40×x = 50×64 = 3200，x = 3200÷40 = 80（公分）。

回核：AB=50+80=130，AC=40+64=104；AD/AB = 5/13，AE/AC = 5/13，整段比也相同。

答：DB=80 公分。

• 錯法：寫成 AD/DB = EC/AE，得 DB=125/4（約 31.3）。
  錯在：左邊上層在分子，右邊卻把下層 EC 放在分子，順序反了。
  補救：兩邊分子都選上層（AD、AE），分母都選下層（DB、EC）。
• 錯法：交叉相乘時寫成 50×x = 40×64，得 x=51.2。
  錯在：交叉相乘是『分子乘對角的分母』：AD×EC = DB×AE；AD×DB 是同一邊的兩個數相乘。
  補救：寫成 AD×EC = DB×AE 再解。

題目要求的是整段還是小段？AB 這條邊的整段有沒有直接給？

AB 沒有直接給，但它是上層加下層。哪兩個整段可以配成一對？

DE∥BC，所以整段比整段：AD/AB = AE/AC。先求 AB = AD + DB，再設 AC=x。

AB=28+56=84。列 28/84 = 26/x，先化簡 28/84 = 1/3。最後一步：求 x，並附單位。

①平行：題目寫明 DE∥BC。

②截線：AB 與 AC。

③配對表：上層 AD｜AE；整段 AB｜AC（AB=AD+DB）。

④列式：AD/AB = AE/AC，AB=28+56=84，設 AC=x：28/84 = 26/x。

⑤解：28×x = 84×26 = 2184，x = 2184÷28 = 78（公分）。

回核：EC=78-26=52；AD/DB = 1/2，AE/EC = 1/2，上層比下層也相同。

答：AC=78 公分。

• 錯法：寫成 AD/DB = AE/AC，得 AC=52。
  錯在：左邊是上層比下層，右邊是上層比整段，兩邊用的不是同樣兩列。算出來的其實是 EC。
  補救：要用整段 AC，左邊也要用整段 AB：AD/AB = AE/AC。
• 錯法：寫成 AD/AB = AC/AE，得 AC=26/3（約 8.7）。
  錯在：兩邊的比同方向才可以。這樣寫右邊反過來了，而且結果 AC 比它的一部分 AE 還短，不可能。
  補救：兩邊都是『上層比整段』，並用大小檢查：整段一定比它的一部分長。

已知的 DB 與 EC 在哪一層？AB 與 AC 又是哪一種段？

DB 與 EC 同在下層；AB 與 AC 是各自整條邊。上層的量題目一個也沒給，要不要先去求它？

不需要先求上層：用『下層比整段』DB/AB = EC/AC，設 AC=x。

列 24/40 = 45/x，先化簡 24/40 = 3/5。交叉相乘後，最後一步：求 x，並附單位。

①平行：題目寫明 DE∥BC。

②截線：AB 與 AC。

③配對表：下層 DB｜EC；整段 AB｜AC。

④列式：DB/AB = EC/AC，設 AC=x：24/40 = 45/x。

⑤解：24×x = 40×45 = 1800，x = 1800÷24 = 75（公分）。

回核：AD=40-24=16，AE=75-45=30；AD/AB = 2/5，AE/AC = 2/5，上層比整段也相同。

答：AC=75 公分。

• 錯法：寫成 DB/AB = AC/EC，得 AC=27。
  錯在：兩邊的比方向不同：左邊下層比整段，右邊整段比下層。結果 AC 比它的一部分 EC 還短，不可能。
  補救：兩邊同方向：DB/AB = EC/AC，並用大小檢查。
• 錯法：先求 AD=16、再求出 AE=30，就把 AE 當成答案（AC=30）。
  錯在：AE 只是 AC 的上層，題目要的是整條邊 AC。
  補救：最後回頭看題目問哪一段：AC = AE + EC。

已知的三段和要求的 XY，各夾在哪兩條平行線之間？

先決定 PQ 與哪一段配成一對，QR 又與哪一段配成一對。

第一層 PQ｜XY，第二層 QR｜YZ。用『第一層比第二層』：PQ/QR = XY/YZ，設 XY=x。

列 28/32 = x/64，先化簡 28/32 = 7/8。最後一步：求 x，並附單位。

①平行：l1∥l2∥l3（題目寫明）。

②截線：m 與 n。

③配對表：第一層 PQ｜XY；第二層 QR｜YZ。

④列式：PQ/QR = XY/YZ，設 XY=x：28/32 = x/64。

⑤解：x = 64×7/8 = 56（公分）。

回核：PR=28+32=60，XZ=56+64=120；PQ/PR = 7/15，XY/XZ = 7/15，整段比也相同。

答：XY=56 公分。

• 錯法：寫成 PQ/QR = YZ/XY，得 XY=512/7（約 73.1）。
  錯在：左邊第一層在分子，右邊第二層 YZ 在分子，順序反了。
  補救：兩邊同樣『第一層比第二層』。
• 錯法：把 PQ 配 YZ、QR 配 XY：寫成 PQ/YZ = XY/QR，得 XY=14。
  錯在：PQ 在第一層，YZ 在第二層，不是同一層，不能配成一對。
  補救：先看每一段夾在哪兩條平行線之間，同一層才配對。

題目給的是整段的長度還是各層的長度？

PR 是 m 上兩層加起來的整段。n 上和它配成一對的整段是哪一段？

用『第一層比整段』：PQ/PR = XY/XZ，設 XY=x。

列 22/55 = x/70，先化簡 22/55 = 2/5。最後一步：求 x，並附單位。

①平行：l1∥l2∥l3（題目寫明）。

②截線：m 與 n。

③配對表：第一層 PQ｜XY；整段 PR｜XZ。

④列式：PQ/PR = XY/XZ，設 XY=x：22/55 = x/70。

⑤解：x = 70×2/5 = 28（公分）。

回核：QR=55-22=33，YZ=70-28=42；PQ/QR = 2/3，XY/YZ = 2/3，層比層也相同。

答：XY=28 公分。

• 錯法：寫成 PQ/PR = XZ/XY，得 XY=175。
  錯在：右邊整段在分子，左邊第一層在分子，方向反了；結果 XY 比整段 XZ 還長，不可能。
  補救：兩邊同方向，並用大小檢查：XY 只是 XZ 的一部分。
• 錯法：想成『PR 比 PQ 多 33，所以 XZ 也比 XY 多 33』，得 XY=37。
  錯在：平行線截出來的是比，不是差。
  補救：用比：PQ:PR = XY:XZ。

梯形裡哪幾條線互相平行？被它們所截的是哪兩條線？

EF∥BC 又 AD∥BC，所以 AD、EF、BC 三條線互相平行，兩腰 AB 與 DC 是被截的兩條線。每一層各是哪兩段？

上層是 AE 與 DF，下層是 EB 與 FC。用『上層比下層』：AE/EB = DF/FC，設 FC=x。

列 27/45 = 42/x，先化簡 27/45 = 3/5。最後一步：求 x，並附單位。

①平行：AD∥BC（題目）、EF∥BC（題目），所以 AD、EF、BC 互相平行。

②截線：腰 AB 與腰 DC。

③配對表：上層 AE｜DF；下層 EB｜FC。

④列式：AE/EB = DF/FC，設 FC=x：27/45 = 42/x。

⑤解：27×x = 45×42 = 1890，x = 1890÷27 = 70（公分）。

回核：AB=27+45=72，DC=42+70=112；AE/AB = 3/8，DF/DC = 3/8，上層比整段也相同。

答：FC=70 公分。

• 錯法：寫成 AE/EB = FC/DF，得 FC=25.2。
  錯在：左邊上層比下層，右邊下層比上層，方向反了。
  補救：兩邊同方向：AE/EB = DF/FC。
• 錯法：想成『EB 比 AE 多 18，所以 FC 比 DF 多 18』，得 FC=60。
  錯在：平行線截出來的是比，不是差。
  補救：用比：AE:EB = DF:FC。

把小宇用到的每個線段，標成上層、下層或整段。

看他寫的等號：左邊兩個量各在哪一列？右邊兩個量各在哪一列？

用配對表逐項檢查：等號左右兩邊，分子、分母各是哪一列？正確的式子，兩邊必須是同樣的兩列、同樣的順序。

正確的式子應該把已知的三段全放進去，只留 EC 一個未知：上層比下層 33/44 = 51/EC，先化簡 33/44 = 3/4。最後一步：解出 EC，再回頭對照小宇的式子，說明他的式子和這一式哪裡不同。

錯在哪：左邊 AD/DB 是『上層比下層』，右邊 AE/AC 卻是『上層比整段』，兩邊用的不是同樣兩列。他算出的 68 其實是 EC（AE 的對應段是 EC），卻被他當成 AC。

用整段比一檢查就看得出矛盾：AB=33+44=77，AD/AB = 3/7，而他的 AE/AC = 51/68 = 3/4，兩者不相等。

正確算法：配對表：上層 AD｜AE；下層 DB｜EC。AD/DB = AE/EC，33/44 = 51/EC，33×EC = 44×51 = 2244，EC = 2244÷33 = 68。

回核：AC=51+68=119；AD/AB = 3/7，AE/AC = 3/7，相同。

答：他把『上層比下層』的右邊誤寫成『上層比整段』；正確的 EC=68 公分。

• 錯法：改成 AD/DB = EC/AE，得 EC=38.25。
  錯在：左邊上比下，右邊下比上，方向反了。
  補救：兩邊都用上層在分子：AD/DB = AE/EC。
• 錯法：想成『DB 比 AD 多 11，所以 EC 比 AE 多 11』，得 EC=62。
  錯在：平行線截出來的是比，不是差。
  補救：用比：AD:DB = AE:EC。

先把小宜用到的 PQ、QR、XY、XZ 各自標成第一層、第二層或整段。

看她寫的等號：左邊兩個量各是哪一種段？右邊兩個量各是哪一種段？

用配對表逐項檢查：等號兩邊，分子、分母各是哪一列？正確的式子兩邊必須用同樣兩列、同樣順序。

正確的式子把已知的三段全放進去，只留 YZ 一個未知：第一層比第二層 18/54 = 17/YZ，先化簡 18/54 = 1/3。最後一步：解出 YZ，再說明小宜的式子和這一式哪裡不同。

錯在哪：左邊 PQ/QR 是『第一層比第二層』，右邊 XY/XZ 卻是『第一層比整段』，兩邊用的不是同樣兩列。她算出的 51 其實是 YZ，卻被當成 XZ，再減 XY 就錯了。

正確算法：配對表：第一層 PQ｜XY；第二層 QR｜YZ。PQ/QR = XY/YZ，18/54 = 17/YZ，18×YZ = 54×17 = 918，YZ = 918÷18 = 51。

回核：PR=18+54=72，XZ=17+51=68；PQ/PR = 1/4，XY/XZ = 1/4，相同。

答：她把『第一層比第二層』的右邊誤寫成『第一層比整段』；正確的 YZ=51 公分。

• 錯法：改成 PQ/QR = YZ/XY，得 YZ=17/3（約 5.7）。
  錯在：左邊第一層在分子，右邊第二層在分子，順序反了。
  補救：兩邊同樣『第一層比第二層』。
• 錯法：想成『QR 比 PQ 多 36，所以 YZ 比 XY 多 36』，得 YZ=53。
  錯在：平行線截出來的是比，不是差。
  補救：用比：PQ:QR = XY:YZ。

把阿正用到的 AD、AB、EC、AC 各自標成上層、下層或整段。

看他的等號：左邊是哪一層比整段？右邊是哪一層比整段？

用配對表逐項檢查：整段比的兩邊，分子必須是同一層。想想和 AD 配成一對的是哪一段。

正確的路線：先用上層比整段求出和 AD 配對的那一段，再用 EC = AC - 那一段。列 44/55 = ?/65，先化簡 44/55 = 4/5。最後一步：算出 EC，再說明阿正的式子哪裡不同。

錯在哪：AD 在上層，EC 在下層，兩邊分子不同層。他算出的 52 其實是 AE（AE 才是 AD 的對應段）。

正確算法：配對表：上層 AD｜AE；下層 DB｜EC；整段 AB｜AC。AD/AB = AE/AC，44/55 = AE/65，AE = 65×4/5 = 52，EC = AC - AE = 65-52 = 13。

回核：DB=55-44=11，DB/AB = 1/5，EC/AC = 1/5，相同。

答：他把上層 AD 配到了下層 EC；正確的 EC=13 公分。

• 錯法：改成 DB/AB = AC/EC，得 EC=325。
  錯在：左邊下層比整段，右邊卻寫成整段比下層，方向反了；結果 EC 比整條邊 AC 還長，不可能。
  補救：兩邊同方向：DB/AB = EC/AC，並用大小檢查。
• 錯法：想成『AB 比 AD 多 11，所以 AC 比 AE 多 11』，這樣 EC=11。
  錯在：平行線截出來的是比，不是差；而且 EC 是下層，DB 才與 EC 配對。
  補救：用比：DB:AB = EC:AC。

平行線把兩條邊切出來的段，它們之間的關係是『多多少』，還是『幾倍』？

想一想：如果把整個圖放大一倍，AD 與 DB 的差會變成原來的幾倍？它們的比又會怎樣？

性質說的是同一層的比相等。用配對表：上層 AD｜AE，下層 DB｜EC，列出『上層比下層』的比例式。

列 28/44 = 42/EC，先化簡 28/44 = 7/11。交叉相乘後，最後一步：解出 EC，再檢查 DB-AD 與 EC-AE 是否相等，用來說明小海的想法為什麼不可靠。

錯在哪：他用『差』：DB-AD=16，就以為 EC-AE 也是 16。平行線截出來的是『比』相同，不是『差』相同。

正確算法：配對表：上層 AD｜AE；下層 DB｜EC。AD/DB = AE/EC，28/44 = 42/EC，28×EC = 44×42 = 1848，EC = 1848÷28 = 66。

回核：EC-AE = 66-42 = 24，和 DB-AD = 16 不相等，可見『差相同』不成立；但 AD/DB = 7/11，AE/EC = 7/11，比相同。

答：他把『比相同』誤當成『差相同』；正確的 EC=66 公分。

• 錯法：改成 AD/DB = EC/AE，得 EC=294/11（約 26.7）。
  錯在：左邊上比下，右邊下比上，方向反了。
  補救：兩邊都用上層在分子：AD/DB = AE/EC。
• 錯法：改成 AD/AB = AE/EC，得 EC=108。
  錯在：左邊是上層比整段，右邊 AE/EC 是上層比下層，兩邊用的不是同樣兩列。
  補救：整段比要兩邊都用整段：AD/AB = AE/AC。

她列的比例式有沒有配對錯？先確認，再看交叉相乘那一步。

交叉相乘時，分母 (x+26) 是一個整體。等號另一邊的數，要乘到整個分母嗎？

先檢查比例式的配對與方向，再檢查交叉相乘的每一步：(x+26) 要用括號保住，乘的時候括號裡的每一項都要乘到。

寫成 55×x = 33×(x+26)，括號乘開得 55×x = 33×x + 858。接著移項合併，最後一步：求 x。另一條驗證路線：EC=AC-AE=22，用上層比下層 x/26 = 33/22 再算一次。

錯在哪：比例式 x/(x+26) = 33/55 是對的。錯在交叉相乘：33 要乘整個 (x+26)，即 33(x+26) = 33x + 858；她寫成 33x + 26，只乘了第一項，漏乘常數項（33×26=858）。

正確算法：55×x = 33×(x+26)，55x = 33x + 858，22x = 858，x = 858÷22 = 39。

回核：AB=39+26=65，AD/AB = 3/5，AE/AC = 3/5，相同。另一條路：EC=55-33=22，AD/DB = 3/2，AE/EC = 3/2，相同。

答：她交叉相乘時漏乘括號內的常數項；正確的 x=39，也就是 AD=39 公分。

• 錯法：先把 33/55 化簡成 3/5，寫 5x = 3(x+26) 時沒有乘開括號的常數項，得 5x = 3x + 26，x=13。
  錯在：化簡不影響道理，但 3(x+26) 仍要乘開成 3x+78，漏乘常數項就會得到 x=13。
  補救：括號乘開要每一項都乘：3(x+26)=3x+78。
• 錯法：忘了 AB=AD+DB，直接寫 AD/DB = AE/AC，得 x/26 = 33/55，x=15.6。
  錯在：左邊是上層比下層，右邊是上層比整段，兩邊用的不是同樣兩列。
  補救：整段比要兩邊都用整段 AD/AB = AE/AC；小段比小段則右邊要用 EC。

平行線性質說的是哪些線段之間的比？DE 與 BC 在不在被截的那兩條線上？

AD、DB、AE、EC 各在哪條截線上？DE、BC 又在哪裡？

兩條被截的線是 AB 與 AC。檢查他式子裡的每一個線段，是不是都落在這兩條線上、是不是被平行線切出來的段。正確的做法只用這樣的段，並用上層比下層列式。

列 24/48 = 22/EC，先化簡 24/48 = 1/2。交叉相乘後，最後一步：求 EC，再用 AE/EC 驗算他的式子是否成立。

錯在哪：DE、BC 是兩條平行線上的線段，不在截線 AB、AC 上，不是對應截段。他把 AE/EC（截線上的段）與 DE/BC（平行線上的段）配成一對，這個式子本身就不成立。

正確算法：配對表：上層 AD｜AE；下層 DB｜EC。AD/DB = AE/EC，24/48 = 22/EC，24×EC = 48×22 = 1056，EC = 1056÷24 = 44。

回核：AC=22+44=66；AD/AB = 1/3，AE/AC = 1/3，相同。用他的式子驗算：AE/EC = 22/44 = 1/2，DE/BC = 19/57 = 1/3，兩者不相等。

題目多給的 DE、BC，這一課用不到；它們的比屬於相似三角形的單元。

答：他把不在截線上的 DE、BC 放進比例式；正確的 EC=44 公分。

• 錯法：改成 AD/DB = EC/AE，得 EC=11。
  錯在：左邊上比下，右邊下比上，方向反了。
  補救：兩邊都用上層在分子：AD/DB = AE/EC。
• 錯法：改成 AD/AB = AE/EC，得 EC=66。
  錯在：左邊上層比整段，右邊上層比下層，兩邊用的不是同樣兩列。
  補救：整段比要兩邊都用整段：AD/AB = AE/AC。

AB 這邊被切成幾層？AC 這邊呢？題目給了哪幾層的長度？

DE、FG 都平行 BC，所以 DE∥FG。只看三角形 AFG（D 在 AF 上、E 在 AG 上），能列出什麼比例？

在三角形 AFG 中，DE∥FG，所以 AD/AF = AE/AG，其中 AF = AD + DF。求出 AG 後，再想 GC 和 AG、AC 的關係。

AF=32+24=56。列 32/56 = 16/AG，先化簡 32/56 = 4/7，求出 AG。最後一步：由 AG 與 AC 求 GC。

①平行：DE∥BC、FG∥BC（題目），所以 DE∥FG。

②截線：AB 與 AC。

③配對表：（在三角形 AFG 中）上層 AD｜AE；整段 AF｜AG，AF=AD+DF。

④列式：AD/AF = AE/AG，AF=32+24=56：32/56 = 16/AG；再 GC = AC - AG。

⑤解：32×AG = 56×16 = 896，AG = 896÷32 = 28；GC = 51-28 = 23（公分）。

回核：另一條路：AD/DF = AE/EG，EG = 16×24÷32 = 12，GC = 51-16-12 = 23，相同。

答：GC=23 公分。

• 錯法：把 DF 當成 AF，寫 AD/DF = AE/AG，得 AG=12，GC=39。
  錯在：AD/DF 是『上層比下一層』，AE/AG 卻是『上層比整段』，兩邊用的不是同樣兩列；要用整段 AG，左邊也要用整段 AF。
  補救：小段比小段：AD/DF = AE/EG；整段比整段：AD/AF = AE/AG。
• 錯法：算出 AG=28 就當成答案。
  錯在：AG 是 A 到 G 的長度，題目要的是 GC。
  補救：最後回頭看題目問哪一段：GC = AC - AG。

先畫出三條平行線與兩條截線，把比 3:5 標在 m 上對應的兩段。

比 3:5 是 m 上哪兩段的比？n 上和它們配對的是哪兩段？

第一層比第二層：PQ/QR = XY/YZ，所以 n 上兩段的比也是 3:5。設 XY=3k、YZ=5k（k 是每一份的長度），再用 XZ 是兩段之和。

XZ = XY + YZ = 3k + 5k = 8k，而 XZ=88，所以 8k = 88。最後一步：求 k，再算出題目要的那一段。

①平行：l1∥l2∥l3（題目寫明）。

②截線：m 與 n。

③配對表：第一層 PQ｜XY；第二層 QR｜YZ。

④列式：PQ:QR = XY:YZ = 3:5，設 XY=3k、YZ=5k；XY+YZ=XZ，即 8k=88。

⑤解：k = 88÷8 = 11，YZ = 5×11 = 55（公分）。

回核：XY=3×11=33，XY+YZ=33+55=88，與 XZ=88 相同；XY:YZ = 3/5，與 3:5 相同。

答：YZ=55 公分。

• 錯法：把比 3:5 當成 XY:XZ，得 XY=52.8，YZ=35.2。
  錯在：3:5 是 PQ 比 QR，也就是層比層；XZ 是整段（兩層之和），不能直接放進同一個比。
  補救：層比層的比，對應 n 上的 XY:YZ；整段是 3 份加 5 份。
• 錯法：算出一份 k=11 後，用 3×k=33 當成 YZ。
  錯在：3 份是第一層 XY，YZ 是第二層（5 份）。
  補救：先分清題目要哪一層，再乘對應的份數。

圖裡有兩組平行線：DE 與 BC，EF 與 CD。AE:EC 這個比，能不能同時出現在兩個式子裡？

EF∥CD 在哪個三角形裡起作用？DE∥BC 又在哪個三角形裡？

在三角形 ADC 中，F 在 AD 上、E 在 AC 上，EF∥DC，所以 AF/FD = AE/EC。在三角形 ABC 中，DE∥BC，所以 AD/DB = AE/EC。兩式都有 AE/EC，可以接起來。

AD=AF+FD=63。接起來：AD/DB = AF/FD，即 63/DB = 27/36，先化簡 27/36 = 3/4。最後一步：求 DB。

①平行：EF∥CD（題目）、DE∥BC（題目）。

②截線：先在三角形 ADC 用截線 AD、AC；再在三角形 ABC 用截線 AB、AC。

③配對表：三角形 ADC：上層 AF｜AE，下層 FD｜EC。三角形 ABC：上層 AD｜AE，下層 DB｜EC。

④列式：AF/FD = AE/EC 且 AD/DB = AE/EC，所以 AD/DB = AF/FD，AD=27+36=63：63/DB = 27/36。

⑤解：27×DB = 63×36 = 2268，DB = 2268÷27 = 84（公分）。

回核：AB=63+84=147；AD/AB = 3/7，而 AE/AC = 3/7（由 AF/FD = AE/EC 得 AE:EC 同比），整段比相同。

答：DB=84 公分。

• 錯法：以為 AD 就是 AF，寫 27/DB = 27/36，得 DB=36。
  錯在：AD 是 AF+FD=63，不是 AF；少加了一段，比例的整段用錯了。
  補救：先算 AD=AF+FD，再列 AD/DB = AF/FD。
• 錯法：寫成 AD/DB = FD/AF，得 DB=47.25。
  錯在：左邊上層比下層，右邊下層比上層，方向反了。
  補救：兩邊同方向：AD/DB = AF/FD。