回課文。每題先自己做,需要時再依序展開提示。看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,之後要隔一段時間,不看提示,用原題重做一次。L5 會揭示完整答案。
題目中的情境與數字都是為了練習設計的假設情境,不是真實資料。每題的估計都出自同一個人、同一個時間、同一份資訊。作答時請照審核表寫:事件關係、界限、全體與互補、可加性、結論。「第一個不通過的項目」依性質一、二、三的順序回報,結論要寫出實際算式。
先不看提示做做看,看看自己卡在哪一種步驟。
氣象社的小安對明天放學時的天氣給了估計。晴、陰、雨三種天氣兩兩互斥,而且明天放學時一定是其中一種。小安的估計是 P(晴)=0.46,P(陰)=0.43,P(雨)=0.21。請依審核表判定這組估計是否一致;若不一致,指出依檢查順序(性質一、二、三)最先不通過的一項,並寫出實際算式。
先弄清楚題目給了哪些事件、它們之間是什麼關係,這三個事件合起來是什麼。〔回課文:審核的步驟〕
檢查有固定的順序:先看每個數自己能不能是機率,再看「合起來是全部」的那一組數相加之後要滿足什麼。〔回課文:三條基本性質與它們的推論〕
方法:(1)把三個數逐一和 0、1 比較;(2)把三個機率相加,和 P(S) 比較;(3)用課文的結論句型寫出結論。
(1)0.46、0.43、0.21 都在 0 到 1 之間。(2)三種天氣兩兩互斥且合起來是全部,所以要拿 P(晴)+P(陰)+P(雨) 和 P(S) 比。請自己算 0.46+0.43+0.21,再比較。
(1)事件關係:晴、陰、雨兩兩互斥,合起來是全部。(2)界限:0.46、0.43、0.21 都在 0 到 1 之間,通過。(3)全體:0.46+0.43+0.21=1.10,而 P(S)=1,不相等。(4)可加性:題目沒有給聯集的值,沒有要核對的項目。(5)結論:不一致,違反性質二,0.46+0.43+0.21=1.10,不等於 1。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
共同的補救:重做時完整寫出審核表五列(事件關係、界限、全體與互補、可加性、結論),每一列都寫出實際的數字與算式。〔回課文:審核的步驟〕
小宇估計明天早上搭的公車到站情形。「提早到」「準點」「誤點」三種情形兩兩互斥,而且一定是其中一種。他先估計 P(準點)=0.8,後來覺得誤點的機會比較大,把 P(誤點) 調成 0.4;為了讓三個數加起來還是 1,他把 P(提早到) 設成 −0.2。請依審核表判定這組估計是否一致;若不一致,指出依檢查順序(性質一、二、三)最先不通過的一項,並寫出實際算式。
小宇是用「加起來是 1」把第三個數算出來的。想一想:這個做法保證了審核表的哪一列通過?其他列呢?〔回課文:審核的步驟〕
審核表有好幾列,每一列都要各自做一次,各自寫出結果。〔回課文:三條基本性質與它們的推論〕
方法:先寫事件關係,再依序做界限、全體,每一列都寫出實際的數字。
三個數是 0.8、0.4、−0.2。界限那一列:請把三個數逐一和 0、1 比較。全體那一列:請把三個數相加。兩列的結果都寫出來,再決定依檢查順序先回報哪一項。
(1)事件關係:三種情形兩兩互斥,合起來是全部。(2)界限:P(準點)=0.8 與 P(誤點)=0.4 在 0 到 1 之間,但 P(提早到)=−0.2 小於 0,不通過。(3)結論:不一致,違反性質一,P(提早到)=−0.2 小於 0。後面的全體檢查雖然有 0.8+0.4+(−0.2)=1.0,等於 1,但已經找到第一個矛盾,而且總和為 1 不能補救越界。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
共同的補救:重做時完整寫出審核表五列(事件關係、界限、全體與互補、可加性、結論),每一列都寫出實際的數字與算式。〔回課文:示範二〕
社團下週三的活動,同學對出席人數作了估計。事件 A 為「出席少於 20 人」,B 為「出席 20 人以上、少於 30 人」,A∪B 為「出席少於 30 人」,A、B 不會同時發生。社長的估計是 P(A)=30%,P(B)=45%,P(A∪B)=75%。請依審核表判定這組估計是否一致;若不一致,指出依檢查順序(性質一、二、三)最先不通過的一項,並寫出實際算式。
先看題目給的關係:哪兩個事件互斥?第三個數代表哪一個事件?〔回課文:審核的步驟〕
三個數都用百分比寫。先想:這題有沒有哪一組事件被說成「合起來是全部」?〔回課文:三條基本性質與它們的推論〕
方法:步驟一查界限;步驟二看有沒有「合起來是全部」的一組;步驟三比較 P(A)+P(B) 與 P(A∪B)。
換成小數是 0.30、0.45、0.75,都在 0 到 1 之間。題目沒有說哪一組合起來是全部,所以步驟二沒有要核對的項目。步驟三:請算 0.30+0.45,再和 P(A∪B) 比較。
(1)事件關係:A、B 互斥,A∪B 是它們的聯集。(2)界限:30%、45%、75% 都在 0 到 1 之間,通過。(3)全體:題目沒有說合起來是全部,沒有要核對的項目。(4)可加性:P(A)+P(B)=30%+45%=75%,等於 P(A∪B)=75%,通過。(5)結論:一致。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
共同的補救:重做時完整寫出審核表五列(事件關係、界限、全體與互補、可加性、結論),每一列都寫出實際的數字與算式。〔回課文:審核的步驟〕
用小數、分數、端點值練習前兩項檢查。
園遊會當天,阿宏對下午的天氣給了估計。事件 E 為「下午有降雨」,E′ 為「下午沒有降雨」,互為餘事件。阿宏的估計是 P(E)=5/8,P(E′)=1/3。請依審核表判定這組估計是否一致;若不一致,指出依檢查順序(性質一、二、三)最先不通過的一項,並寫出實際算式。
兩個事件之間是什麼關係?這個關係讓兩個機率相加要滿足什麼?〔回課文:三條基本性質與它們的推論〕
分數相加之前要先做什麼處理?〔回課文:審核的步驟〕
方法:先把兩個分數和 0、1 比較;再通分,算 P(E)+P(E′),和 1 比較。
5/8 與 1/3 都在 0 到 1 之間。通分成分母 24:5/8=15/24,1/3=8/24。請把這兩個通分後的分數相加,再和 1 比較。
(1)事件關係:E 與 E′ 互為餘事件。(2)界限:5/8、1/3 都在 0 到 1 之間,通過。(3)互補:5/8+1/3=15/24+8/24=23/24,不等於 1。(4)結論:不一致,違反性質二(推論一),5/8+1/3=23/24,小於 1。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
共同的補救:重做時完整寫出審核表五列(事件關係、界限、全體與互補、可加性、結論),每一列都寫出實際的數字與算式。〔回課文:三條基本性質與它們的推論〕
班會要選班級吉祥物,四個選項「企鵝」「柴犬」「水獺」「貓頭鷹」中恰有一個當選,所以四個事件兩兩互斥,合起來是全部。班長的估計是 P(企鵝)=1/2,P(柴犬)=1/4,P(水獺)=1/5,P(貓頭鷹)=1/10。請依審核表判定這組估計是否一致;若不一致,指出依檢查順序(性質一、二、三)最先不通過的一項,並寫出實際算式。
題目說四個事件有什麼關係?哪一條性質談的是這種「合起來是全部」的一組?〔回課文:三條基本性質與它們的推論〕
四個分數分母不同,相加之前要先怎麼處理?〔回課文:審核的步驟〕
方法:四個分數逐一和 0、1 比較;通分後四個相加,和 1 比較。
四個分數都在 0 到 1 之間。通分成分母 20:1/2=10/20,1/4=5/20,1/5=4/20,1/10=2/20。請把分子相加,再和 20/20 比較。
(1)事件關係:四個事件兩兩互斥,合起來是全部。(2)界限:四個分數都在 0 到 1 之間,通過。(3)全體:1/2+1/4+1/5+1/10=10/20+5/20+4/20+2/20=21/20,而 P(S)=1,不相等。(4)結論:不一致,違反性質二(推論二),四數的和是 21/20,大於 1。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
共同的補救:重做時完整寫出審核表五列(事件關係、界限、全體與互補、可加性、結論),每一列都寫出實際的數字與算式。〔回課文:三條基本性質與它們的推論〕
學校已經公告明天一定舉行月考。事件 E 為「明天舉行月考」,E′ 為「明天不舉行月考」,互為餘事件。小芸的估計是 P(E)=1,P(E′)=0。請依審核表判定這組估計是否一致;若不一致,指出依檢查順序(性質一、二、三)最先不通過的一項,並寫出實際算式。
先確定兩個事件的關係。再想:性質一說機率可以是 0 或 1 嗎?〔回課文:三條基本性質與它們的推論〕
查界限時,端點要不要包含在內?回頭看性質一的不等式有沒有等號。〔回課文:邊界一〕
方法:步驟一逐一把 1 與 0 對照 0≤P≤1;步驟二把互補一對相加,和 1 比較。
性質一寫的是 0≤P(A)≤1,兩端都有等號。互補一對的相加算式是 1+0,請算出來,再和 1 比較,然後寫結論。
(1)事件關係:E 與 E′ 互為餘事件。(2)界限:P(E)=1 與 P(E′)=0 都在 0 到 1 之間(含兩端),通過。(3)互補:1+0=1,等於 1,通過。(4)結論:一致。這個估計很極端(認為一定會舉行),但沒有違反任何性質。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
共同的補救:重做時完整寫出審核表五列(事件關係、界限、全體與互補、可加性、結論),每一列都寫出實際的數字與算式。〔回課文:三條基本性質與它們的推論〕
用互斥可加與「合起來是全部」補出或核對機率。
社區籃球賽的一場比賽,結果只有「甲隊勝」「平手」「乙隊勝」三種。事件 A 為「甲隊勝」,B 為「平手」,A∪B 為「甲隊沒有輸」,A、B 不會同時發生。小梅的估計是 P(A)=2/5,P(B)=1/4,P(A∪B)=3/5。請依審核表判定這組估計是否一致;若不一致,指出依檢查順序(性質一、二、三)最先不通過的一項,並寫出實際算式。
題目說哪兩個事件互斥?第三個數是哪個事件的機率?〔回課文:審核的步驟〕
互斥時,聯集的機率和兩個事件各自的機率有什麼等式關係?〔回課文:三條基本性質與它們的推論〕
方法:先查界限;題目沒有給乙隊勝的機率,「合起來是全部」的那一組沒辦法相加核對,所以主要檢查性質三:比較 P(A)+P(B) 與 P(A∪B)。
三個分數都在 0 到 1 之間。通分成分母 20:2/5=8/20,1/4=5/20,3/5=12/20。請算 P(A)+P(B),再和 P(A∪B) 比較。
(1)事件關係:A、B 互斥,A∪B 是聯集。(2)界限:三個分數都在 0 到 1 之間,通過。(3)全體:三種結果合起來是全部,但題目沒有給乙隊勝的機率,這一列沒有可核對的數。(4)可加性:P(A)+P(B)=2/5+1/4=8/20+5/20=13/20,而 P(A∪B)=3/5=12/20,不相等。(5)結論:不一致,違反性質三,2/5+1/4=13/20,不等於 3/5。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
共同的補救:重做時完整寫出審核表五列(事件關係、界限、全體與互補、可加性、結論),每一列都寫出實際的數字與算式。〔回課文:三條基本性質與它們的推論〕
公車站的候車時間分成四類,四類兩兩互斥,而且一定屬於其中一類:少於 5 分鐘、5 分鐘以上但少於 10 分鐘、10 分鐘以上但少於 15 分鐘、15 分鐘以上。通勤的同學估計前三類的機率依序是 0.26、0.34、0.21,第四類(15 分鐘以上)還沒有估。要讓這組估計一致,第四類的機率應該是多少?並說明這個值有通過界限。
四類的關係是什麼?這個關係讓四個機率相加要滿足什麼?〔回課文:三條基本性質與它們的推論〕
把未知的第四類機率設成一個符號,寫出一條等式。〔回課文:示範四〕
方法:前三類先相加,再用「四個相加等於 1」解出第四類;最後別忘了檢查這個值是否在 0 到 1 之間。
前三類相加:0.26+0.34+0.21=0.81。設第四類的機率為 x,等式是 0.81+x=1。請你解出 x,再檢查 x 在不在 0 到 1 之間。
(1)事件關係:四類兩兩互斥,合起來是全部,所以四個機率的和是 1。(2)前三類相加 0.26+0.34+0.21=0.81。(3)第四類 = 1−0.81=0.19。(4)界限:0.19 在 0 到 1 之間,通過。答案:0.19。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
共同的補救:重做時完整寫出審核表五列(事件關係、界限、全體與互補、可加性、結論),每一列都寫出實際的數字與算式。〔回課文:示範四〕
社區路跑活動,事件 A 為「完賽時間少於 40 分鐘」,B 為「完賽時間 40 分鐘以上、少於 45 分鐘」,A、B 不會同時發生;A∪B 為「完賽時間少於 45 分鐘」。小宇估計 P(A)=0.41,P(A∪B)=0.68。若要讓這組估計一致,P(B) 應該是多少?並說明這個值有通過界限。
A、B 的關係是什麼?哪一條性質把 P(A)、P(B)、P(A∪B) 連在一起?〔回課文:三條基本性質與它們的推論〕
把未知的 P(B) 設成符號,寫出性質三的等式,再想怎麼解。〔回課文:示範三〕
方法:P(A∪B)=P(A)+P(B),代入已知的兩個值,解出 P(B);最後檢查它是否在 0 到 1 之間。
性質三的等式是 0.68=0.41+P(B)。請你自己解出 P(B),再和 0、1 比較。
(1)事件關係:A、B 互斥,A∪B 是聯集。(2)性質三:P(A∪B)=P(A)+P(B),即 0.68=0.41+P(B)。(3)解得 P(B)=0.68−0.41=0.27。(4)界限:0.27 在 0 到 1 之間,通過。答案:P(B)=0.27。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
共同的補救:重做時完整寫出審核表五列(事件關係、界限、全體與互補、可加性、結論),每一列都寫出實際的數字與算式。〔回課文:示範三〕
兩個機率相加之前,先問題目到底說了什麼關係。
事件 A 為「小可這次數學段考超過 80 分」,B 為「小可這次英文段考超過 80 分」,兩科都超過 80 分是可能的。老師估計 P(A)=0.6,P(B)=0.7,沒有給其他數字。0.6+0.7=1.3,超過 1。這組估計有沒有違反機率的基本性質?說明理由。
題目說這兩件事的關係是什麼?性質三需要什麼條件才能用?〔回課文:三條基本性質與它們的推論〕
兩個數相加超過 1 的時候,先不要急著下結論,先問:這個「相加」可以做嗎?〔回課文:非例與邊界〕
方法:步驟〇確認關係並判斷性質三能不能用;能用才比較相加;不能用的話,看看還有哪些項目可以核對。
A、B 可以同時發生,所以 A∩B 不是空集合,性質三的條件沒有滿足。可以核對的只剩界限:請把 0.6 與 0.7 對照 0 和 1。
(1)事件關係:A、B 可以同時發生,不互斥。(2)界限:0.6、0.7 都在 0 到 1 之間,通過。(3)性質三要求互斥,這裡不能用,所以不能要求 P(A)+P(B) 等於聯集,也不能因為 0.6+0.7=1.3 超過 1 就說矛盾:重疊的部分被算了兩次。(4)結論:沒有違反機率的基本性質(這組數也沒有其他可核對的關係)。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
共同的補救:重做時完整寫出審核表五列(事件關係、界限、全體與互補、可加性、結論),每一列都寫出實際的數字與算式。〔回課文:非例與邊界〕
校內演講比賽的決賽只選出一名冠軍。事件 A 為「阿杰得冠軍」,B 為「小禾得冠軍」,兩者不會同時發生。班上同學估計 P(A)=0.61,P(B)=0.52,沒有給 P(A∪B)。請依性質三算出 P(A∪B),並判定這組估計是否一致;若不一致,指出違反哪一條。
題目沒給聯集的值,但性質三可以幫你算出它。先確認 A、B 是什麼關係。〔回課文:示範五〕
算出聯集的機率之後,這個值本身也要符合某一條性質。〔回課文:三條基本性質與它們的推論〕
方法:互斥 → P(A∪B)=P(A)+P(B);算得的值還要拿去對照三條性質,看哪一條會不通過。
A、B 互斥,所以 P(A∪B)=0.61+0.52。請你自己算出來,再看它在不在 0 到 1 之間。
(1)事件關係:A、B 互斥(冠軍只有一人)。(2)界限:0.61、0.52 各自在 0 到 1 之間,通過。(3)可加性:由性質三,P(A∪B)=0.61+0.52=1.13。(4)這個聯集的機率大於 1,不符合性質一。(5)結論:不一致;由性質三推得的 P(A∪B)=1.13 超過 1,違反性質一。
老師在小考前估計小傑的得分。事件 A 為「小傑得 90 分以上」,B 為「小傑得 80 分以上」,老師估計 P(A)=0.3,P(B)=0.5。小傑的同學說:「A 或 B 的機率就是 P(A)+P(B)=0.3+0.5=0.8。」請判斷這個說法能不能成立,說明理由,並寫出 P(A∪B) 應該是多少。
能不能直接相加,要先問 A、B 是什麼關係。舉一個分數,例如 95 分,看看它屬於 A、B 的哪一邊。〔回課文:非例與邊界〕
「得 90 分以上」的人,是不是也「得 80 分以上」?〔回課文:三條基本性質與它們的推論〕
方法:判斷 A∩B 是不是空集合;如果不是,性質三不能用。再用「滿足 A 或 B 其中之一」的意思,想想 A∪B 是哪一個事件。
得 95 分既屬於 A 也屬於 B,所以 A∩B 不是空集合。請你想:只要滿足 A 或 B 其中之一,得分範圍就是哪一個事件?
(1)事件關係:得 95 分同時屬於 A 與 B,所以 A、B 不互斥,A 包含在 B 裡面。(2)性質三要求互斥,這裡不能用,說法不能成立:「90 分以上」的那 0.3 已經包含在「80 分以上」的 0.5 裡,被算了兩次。(3)A 或 B 就是「80 分以上」,A∪B=B,所以 P(A∪B)=P(B)=0.5。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
共同的補救:重做時完整寫出審核表五列(事件關係、界限、全體與互補、可加性、結論),每一列都寫出實際的數字與算式。〔回課文:非例與邊界〕
別人的說法放在題目裡,有的有錯,有的沒有錯,要自己判斷。
歌唱比賽的決賽有一年級組、二年級組、三年級組,各派一位選手,只選出一位冠軍,所以「一年級組奪冠」「二年級組奪冠」「三年級組奪冠」兩兩互斥,而且一定有其中一組奪冠。阿宇估計 P(一年級組)=0.5,P(二年級組)=0.4,P(三年級組)=0.3。小華檢查後寫:「三個數都在 0 到 1 之間,所以這組估計一致。」請指出小華的檢查缺了什麼,並寫出這組估計正確的判定與算式。
小華做了審核表的哪一列?審核表總共有哪幾列?〔回課文:審核的步驟〕
題目說這三個事件有什麼關係?這個關係對應審核表的哪一列?〔回課文:三條基本性質與它們的推論〕
方法:自己照審核表從頭做一次,看哪一列小華沒有做;再補做那一列。
界限那一列的確通過(三個數都在 0 到 1 之間)。三個事件兩兩互斥且合起來是全部,請你補做相加:0.5+0.4+0.3。
小華只做了界限那一列,漏掉了「全體」那一列。補做:三個事件兩兩互斥且合起來是全部,所以要相加:0.5+0.4+0.3=1.2,不等於 1。正確結論:不一致,違反性質二,0.5+0.4+0.3=1.2,大於 1。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
共同的補救:重做時完整寫出審核表五列(事件關係、界限、全體與互補、可加性、結論),每一列都寫出實際的數字與算式。〔回課文:審核的步驟〕
兩班進行一場沒有平手的比賽,一定恰有一班獲勝。小莉估計 P(甲班獲勝)=0.70,P(乙班獲勝)=0.45,並說:「這是我的感覺,主觀的數字不用加起來等於 1。」請指出小莉說法的問題,並判定這組估計是否一致,寫出算式。
「主觀」指的是什麼?是指數字怎麼取,還是指取完之後可以不遵守性質?〔回課文:非例與邊界〕
兩個事件的關係是什麼?這個關係對應審核表的哪一列?〔回課文:三條基本性質與它們的推論〕
方法:先查界限,再把「合起來是全部」的兩個機率相加,和 1 比較。
0.70 與 0.45 都在 0 到 1 之間。甲班獲勝與乙班獲勝互斥,而且合起來是全部,請你計算 0.70+0.45 並和 1 比較。
小莉把「數字怎麼取是個人的判斷」和「取完之後可以不受性質限制」混在一起。主觀估計的數字可以因人而異,但仍要符合機率的基本性質。檢查:(1)甲、乙獲勝互斥,合起來是全部。(2)界限:通過。(3)全體:0.70+0.45=1.15,不等於 1。(4)結論:不一致,違反性質二,0.70+0.45=1.15,大於 1。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
共同的補救:重做時完整寫出審核表五列(事件關係、界限、全體與互補、可加性、結論),每一列都寫出實際的數字與算式。〔回課文:非例與邊界〕
班會要統一訂下週的便當,全班投票後只會選出一種口味:「雞腿」「排骨」「魚排」「素食」其中一種,所以四個事件兩兩互斥,合起來是全部。班長在投票前的估計是 P(雞腿)=1/3,P(排骨)=1/4,P(魚排)=1/4,P(素食)=1/6。小宇做的審核表如下:
| 項目 | 小宇寫的內容 | 小宇寫的結果 |
|---|---|---|
| 事件關係 | 四種口味兩兩互斥,合起來是全部 | 題目明說 |
| 界限 | 1/3、1/4、1/4、1/6 都在 0 到 1 之間 | 通過 |
| 全體與互補 | 1/3+1/4+1/4+1/6=4/12+3/12+3/12+2/12=12/12=1 | 等於 1,通過 |
| 可加性 | 題目沒有給聯集的值 | 沒有要核對的項目 |
| 結論 | 每一項都通過 | 一致 |
先不要看小宇的結論,自己照審核表從頭做一次,再和他的每一列對照。〔回課文:審核的步驟〕
四個分數的分母不同,相加之前要先通分。通分用哪個分母最方便?〔回課文:審核的步驟〕
方法:逐列對照:事件關係是否正確引用題目?界限每個數是否真的在範圍內?相加算式是否正確?結論是否和各列一致?
以分母 12 通分:1/3=4/12,1/4=3/12,1/4=3/12,1/6=2/12。請把分子相加,再把你的結果和小宇的第三列對照,然後逐列看有沒有錯。
逐列對照:(1)事件關係:題目明說四個事件兩兩互斥、合起來是全部,小宇寫對。(2)界限:四個分數都在 0 到 1 之間,正確。(3)全體:4/12+3/12+3/12+2/12=12/12=1,正確。(4)可加性:題目沒有給聯集的值,寫「沒有要核對的項目」是對的。(5)結論:一致,和前面各列相符。所以小宇的審核表沒有錯,這組估計是一致的。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
共同的補救:重做時完整寫出審核表五列(事件關係、界限、全體與互補、可加性、結論),每一列都寫出實際的數字與算式。〔回課文:審核的步驟〕
用表格、多位估計者、或反過來求範圍。
校內籃球賽的一場比賽,結果只有三種:紅隊勝、藍隊勝、平手,三者兩兩互斥,合起來是全部。事件 D 為「紅隊沒有輸」,也就是「紅隊勝或平手」。某人的估計如下表。
| 事件 | 估計的機率 |
|---|---|
| 紅隊勝 | 0.5 |
| 藍隊勝 | 0.3 |
| 平手 | 0.1 |
| 紅隊沒有輸(紅隊勝或平手) | 0.7 |
表裡的事件有兩種:三個基本結果,以及它們合起來的一個事件 D。先分清楚哪幾個互斥、哪幾個合起來是全部。〔回課文:審核的步驟〕
檢查要依順序做,但每一項都要查,最後才知道其餘項目有沒有也不通過。〔回課文:三條基本性質與它們的推論〕
方法:(1)四個值逐一查界限;(2)三個基本結果相加;(3)D 是「紅隊勝或平手」,紅隊勝與平手互斥,用性質三比較。
四個值都在 0 到 1 之間。第(2)步算式 0.5+0.3+0.1;第(3)步算式 0.5+0.1,再和表裡 D 的值比較。請兩步都算出來,再決定哪一項先不通過。
(1)界限:0.5、0.3、0.1、0.7 都在 0 到 1 之間,通過。(2)全體:三個基本結果兩兩互斥且合起來是全部,0.5+0.3+0.1=0.9,不等於 1,最先不通過的是性質二,算式是 0.5+0.3+0.1=0.9。(3)可加性:紅隊勝與平手互斥,P(紅隊勝)+P(平手)=0.5+0.1=0.6,而表裡 D 的值是 0.7,不相等,性質三也不通過。結論:不一致,至少違反性質二與性質三。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
共同的補救:重做時完整寫出審核表五列(事件關係、界限、全體與互補、可加性、結論),每一列都寫出實際的數字與算式。〔回課文:審核的步驟〕
社團成果展當天,進場人數分成三類:A 為「少於 100 人」,B 為「100 人以上、少於 200 人」,C 為「200 人以上」,三類兩兩互斥,而且一定屬於其中一類。四位同學各自給了估計,如下表。
| 同學 | P(A) | P(B) | P(C) |
|---|---|---|---|
| 甲 | 0.3 | 0.5 | 0.3 |
| 乙 | 1/4 | 1/2 | 1/4 |
| 丙 | 1.2 | 0.2 | −0.4 |
| 丁 | 20% | 45% | 35% |
四位同學都用同一個事件關係,所以審核的流程相同:每一位都要做界限和全體兩列。〔回課文:審核的步驟〕
表裡的寫法不一樣(小數、分數、百分比),相加之前要先怎麼處理?〔回課文:審核的步驟〕
方法:對每一位,先逐一查界限,再把 P(A)+P(B)+P(C) 和 1 比較;兩項都通過的才是一致。
表中有人用分數(乙)、有人用百分比(丁),要先換成同一種寫法再加:乙可以用分母 4 通分,丁可以換成小數(0.20、0.45、0.35)。甲和丙的數字已是小數,直接查界限與相加。請四位都做完。
甲:界限通過;0.3+0.5+0.3=1.1,不等於 1,不一致,最先不通過的是性質二。乙:界限通過;1/4+1/2+1/4=1,一致。丙:1.2 大於 1、−0.4 小於 0,界限不通過(雖然 1.2+0.2+(−0.4)=1),不一致,最先不通過的是性質一。丁:界限通過;20%+45%+35%=100%=1,一致。答案:乙、丁是一致的。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
共同的補救:重做時完整寫出審核表五列(事件關係、界限、全體與互補、可加性、結論),每一列都寫出實際的數字與算式。〔回課文:審核的步驟〕
事件 A 為「週六下雨」,B 為「週六沒下雨而且是陰天」,A、B 不會同時發生。某人估計 P(A)=0.35。只就這兩個事件而言,要讓這組估計符合機率的基本性質,P(B) 最小可以是多少、最大可以是多少?請寫出理由。
A、B 互斥,所以 P(B) 要同時滿足哪幾條性質?各提供了對 P(B) 的什麼限制?〔回課文:三條基本性質與它們的推論〕
想一想,A∪B 的機率是多少?這個值本身也有範圍。〔回課文:示範五〕
方法:性質一給 P(B) 一個下限;性質三讓你寫出 P(A∪B)=P(A)+P(B),再要求這個聯集的機率不超過 1,得到上限。
性質一對 P(B) 本身就給了一個下限。性質三:P(A∪B)=0.35+P(B)。這個聯集的機率也要在 0 到 1 之間,請你寫出不等式並解出 P(B) 的上限,最後想一想兩個端點能不能取到。
(1)下限:由性質一,P(B)≥0,而且 P(B)=0 是允許的。(2)上限:A、B 互斥,P(A∪B)=0.35+P(B);由性質一,P(A∪B)≤1,所以 0.35+P(B)≤1,P(B)≤1−0.35=0.65。P(B)=0.65 時,P(A∪B)=1,也是允許的。答案:P(B) 最小可以是 0,最大可以是 0.65(含兩端)。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):
共同的補救:重做時完整寫出審核表五列(事件關係、界限、全體與互補、可加性、結論),每一列都寫出實際的數字與算式。〔回課文:三條基本性質與它們的推論〕