共 18 題,分六組。每題的提示分五層:L1、L2 只指方向,L3 點出方法,L4 給出設定與中間結果,L5 才是完整解答與答案。先自己寫,卡住再一層一層看。之後隔一段時間,不看提示,用原題重做一次。
記號:〈an〉、〈bn〉是無窮數列,limn→∞ an=A 表示 n 越來越大時 an 靠近有限的實數 A。題目的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。請依「對帳、看次序、逐步套、商步看分母」的順序寫出過程。
已知 limn→∞ an=4,limn→∞ bn=−3。求 limn→∞ (3an−2bn)。
這個式子由哪兩種運算組成?最外層是哪一種?
兩個零件的極限題目都給了嗎?它們都是有限的數嗎?
3an 與 2bn 都是常數倍,最外層是差。先分別算兩項的極限,再相減。
3an 的極限:3×4=12。2bn 的極限:2×(−3)=−6。最後一步是 12 減去 (−6),注意減去負數。
(1)對帳:A=4,B=−3,都是有限實數。(2)常數倍法則:3×4=12;2×(−3)=−6。(3)差法則:12−(−6)=18。結果:18。
可能的錯法(為練習設計的例子):算出 12 和 −6 後直接寫 12−6=6(減去 −6 要變成加上 6;正確為 18);把係數與極限分開處理,寫 (3−2)×(4−3)=1(常數倍是係數乘在各自的極限上;正確為 18)。
補救:這題是常數倍加差。重做時先分別寫出 3an、2bn 的極限,再相減,減去負數時用括號把負數括起來。看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示,用原題重做一次。 〔回課文:條件與法則〕
記號:〈an〉、〈bn〉是無窮數列,limn→∞ an=A 表示 n 越來越大時 an 靠近有限的實數 A。題目的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。請依「對帳、看次序、逐步套、商步看分母」的順序寫出過程。
已知 limn→∞ an=5,limn→∞ bn=−3。求 limn→∞ (an·bn+4)(其中 +4 是每一項都加 4)。
式子裡有哪幾種運算?「+4」可以看成哪一種零件?
每項都是 4 的數列,極限是多少?這一項要不要特別對帳?
先用積法則算 an·bn 的極限,再用和法則加上常數數列 4 的極限。
積:5×(−3)=−15。每一項都是 4 的數列,極限是 4。最後一步是 −15 與 4 相加。
(1)對帳:A=5,B=−3;每一項都是 4 的數列,極限是 4。(2)積法則:5×(−3)=−15。(3)和法則:−15+4=−11。結果:−11。
可能的錯法:把積當成和,寫 5+(−3)+4=6(an·bn 要相乘;正確為 −11);把 4 也乘進去,寫 5×(−3+4)=5(+4 只加在積的後面,沒有乘 an;正確為 −11)。
補救:先分清哪一項是積、哪一項是另外加上去的 4。重做時把 an·bn 的極限單獨寫一行,再加上每項都是 4 的數列的極限。看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示,用原題重做一次。 〔回課文:條件與法則〕
記號:〈an〉、〈bn〉是無窮數列,limn→∞ an=A 表示 n 越來越大時 an 靠近有限的實數 A。題目的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。請依「對帳、看次序、逐步套、商步看分母」的順序寫出過程。
已知 limn→∞ an=−9,limn→∞ bn=2,而且 bn 的每一項都不是 0。(1)求 limn→∞ (an／bn)。(2)如果改成 limn→∞ bn=0,同學想用商法則寫出 limn→∞ (an／bn)=−9／0。請判斷這樣能不能用。
商法則對分母有什麼要求?在(1)和(2)裡,分母的極限各是多少?
(1)與(2)的差別只在分母的極限是不是 0。
(1)先確認分母的極限,再用商法則:分子的極限除以分母的極限。(2)想想商法則對分母的極限有什麼要求。
(1)−9 除以 2,注意符號與分數形式。(2)先算分母的極限,再對照商法則的前提,決定能不能寫那一步。
(1)對帳:A=−9,B=2,B≠0,可用商法則:−9÷2=−9／2。(2)分母的極限是 0,前提 B≠0 不成立,商法則不能用,−9／0 不是一個可以寫的數;這份資料算不出商的極限。結果:(1)−9／2;(2)不能用。
可能的錯法:(1)漏掉負號,寫 9／2(分子的極限是負數;正確為 −9／2);把分子分母顛倒,寫 2／(−9)=−2／9(商是分子的極限除以分母的極限;正確為 −9／2)。(2)承認可以用,寫「−9／0=負無窮大」(分母的極限是 0 時商法則不能用,無窮大也不是商法則給得出的結論)。
補救:商法則先看分母的極限。分母的極限不是 0 就能用,是 0 就要停下來,不能寫出「分子除以 0」。看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示,用原題重做一次。 〔回課文:條件與法則〕
記號:〈an〉、〈bn〉是無窮數列,limn→∞ an=A 表示 n 越來越大時 an 靠近有限的實數 A。題目的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。請依「對帳、看次序、逐步套、商步看分母」的順序寫出過程。
已知 limn→∞ an=3,limn→∞ bn=5,limn→∞ cn=−2。求 limn→∞ (2an−bn+4cn)。
式子裡有幾個數列?它們的極限都給了嗎?
每一項前面的係數怎麼處理?三項之間用什麼法則連起來?
先對每一項用常數倍法則,再用和、差法則逐步合起來。
2an 的極限是 6,bn 的極限是 5,4cn 的極限是 4×(−2)。最後把三個數依式子中的正負號合起來。
(1)對帳:A=3,B=5,C=−2,皆為有限實數。(2)常數倍:2×3=6;4×(−2)=−8。(3)6−5=1;1+(−8)=−7。結果:−7。
可能的錯法:把式子裡的 +4cn 看成 −4cn,寫 6−5−4×(−2)=9(第三項是加上 4 倍的 cn,要加上 −8;正確為 −7);漏掉係數,寫 3−5+(−2)=−4(每個極限都要乘上它前面的係數;正確為 −7)。
補救:三項各自先乘上係數,再依式子中的 + 與 − 合起來。重做時把每一項的係數連同正負號圈出來。看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示,用原題重做一次。 〔回課文:條件與法則〕
記號:〈an〉、〈bn〉是無窮數列,limn→∞ an=A 表示 n 越來越大時 an 靠近有限的實數 A。題目的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。請依「對帳、看次序、逐步套、商步看分母」的順序寫出過程。
已知 limn→∞ an=−6,limn→∞ bn=4。求 limn→∞ (an+2)(bn−5)。
最外層是哪一種運算?括號裡的 +2、−5 可以看成什麼?
括號裡的兩個式子,各自的極限能不能先算出來?
先用和、差法則算兩個括號的極限,再用積法則把兩個結果相乘。
第一個括號的極限:−6+2。第二個括號的極限:4−5。最後一步把這兩個數相乘。
(1)對帳:A=−6,B=4。(2)和法則:an+2 的極限是 −6+2=−4;差法則:bn−5 的極限是 4−5=−1。(3)積法則:(−4)×(−1)=4。結果:4。
可能的錯法:先把括號展開卻只乘一部分,寫 (−6)(4)+2−5=−27(括號要整個相乘;正確為 4);把積當成和,寫 −4+(−1)=−5(最外層是積;正確為 4)。
補救:兩個括號各自先求極限,最後才相乘。重做時先把兩個括號的極限各寫一行,再套積法則。看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示,用原題重做一次。 〔回課文:條件與法則〕
記號:〈an〉、〈bn〉是無窮數列,limn→∞ an=A 表示 n 越來越大時 an 靠近有限的實數 A。題目的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。請依「對帳、看次序、逐步套、商步看分母」的順序寫出過程。
已知 limn→∞ an=−2,limn→∞ bn=3／2。求 limn→∞ (an·an+4an·bn)。
式子裡有哪兩項?每一項是由哪種運算做出來的?
an·an 可以看成哪兩個數列相乘?它們的極限一樣嗎?
第一項用積法則(an 乘 an);第二項是常數 4 乘上 an·bn,先用積法則,再用常數倍。最後相加。
第一項的極限:(−2)×(−2)=4。第二項:4×[(−2)×(3／2)]。最後一步是這兩個數相加。
(1)對帳:A=−2,B=3／2。(2)第一項,積法則:(−2)×(−2)=4。(3)第二項,積法則:(−2)×(3／2)=−3;常數倍法則:4×(−3)=−12。(4)和法則:4+(−12)=−8。結果:−8。
可能的錯法:把 an·an 當成 2an,得 −4,再加 −12,寫 −16(an·an 是 A×A=4,不是 2A;正確為 −8);把 4an·bn 拆成 4an+4bn,得 4+(−8)+6=2(第二項是相乘不是相加;正確為 −8)。
補救:兩項要分開處理:an·an 是兩個相同數列相乘,4an·bn 是常數乘上一個積。重做時分別寫出兩項的極限,最後再相加。看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示,用原題重做一次。 〔回課文:條件與法則〕
記號:〈an〉、〈bn〉是無窮數列,limn→∞ an=A 表示 n 越來越大時 an 靠近有限的實數 A。題目的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。請依「對帳、看次序、逐步套、商步看分母」的順序寫出過程。
已知 limn→∞ an=7,limn→∞ bn=2,而且 an+bn 的每一項都不是 0。求 limn→∞ (an·an−bn·bn)／(an+bn)。
最外層是哪一種運算?分子、分母各是由什麼組成?
分母的極限要先算出來,再決定商法則能不能用。
分子用積法則和差法則,分母用和法則。算出兩個極限後,先檢查分母,再相除。
分子的極限:7×7−2×2。分母的極限:7+2。分母不是 0,最後一步是分子除以分母。
(1)對帳:A=7,B=2。(2)分子:積法則 7×7=49、2×2=4;差法則 49−4=45。(3)分母:和法則 7+2=9。(4)商步:分母的極限 9≠0,可用商法則:45÷9=5。結果:5。
可能的錯法:把商顛倒,寫 9／45=1／5(商是分子的極限除以分母的極限;正確為 5);分母的極限算成 7−2=5,得 45／5=9(分母是 an+bn,極限是 7+2=9;正確為 5)。
補救:商要分三行寫:分子的極限、分母的極限(確認不是 0)、相除。重做時看清分母是 an+bn,不是差。看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示,用原題重做一次。 〔回課文:五個步驟〕
記號:〈an〉、〈bn〉是無窮數列,limn→∞ an=A 表示 n 越來越大時 an 靠近有限的實數 A。題目的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。請依「對帳、看次序、逐步套、商步看分母」的順序寫出過程。
已知 limn→∞ an=−4,limn→∞ bn=−6,而且 bn−an 的每一項都不是 0。求 limn→∞ (2an·bn)／(bn−an)。
分子、分母各用哪幾條法則?
分母是 bn−an,不是 an−bn,注意順序。
先算分子的極限(常數倍加積),再算分母的極限,確認不是 0,最後相除。
分子:2×[(−4)×(−6)]。分母:(−6)−(−4)。分母的極限不是 0,最後一步是分子除以分母。
(1)對帳:A=−4,B=−6。(2)分子:積法則 (−4)×(−6)=24;常數倍法則 2×24=48。(3)分母:差法則 (−6)−(−4)=−2。(4)商步:分母的極限 −2≠0,可用商法則:48÷(−2)=−24。結果:−24。
可能的錯法:把分母的順序顛倒,寫 (−4)−(−6)=2,得 48／2=24(分母是 bn−an;正確為 −24);分母誤用和,寫 (−4)+(−6)=−10,得 48／(−10)=−24／5(分母是差,不是和;正確為 −24)。
補救:分母是 bn−an,先單獨算出它的極限並確認不是 0。重做時把「誰減誰」用括號標清楚。看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示,用原題重做一次。 〔回課文:五個步驟〕
記號:〈an〉、〈bn〉是無窮數列,limn→∞ an=A 表示 n 越來越大時 an 靠近有限的實數 A。題目的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。請依「對帳、看次序、逐步套、商步看分母」的順序寫出過程。
已知 limn→∞ an=15,limn→∞ bn=3,limn→∞ cn=−4,而且 bn 的每一項都不是 0。求 limn→∞ (an／bn+2cn)。
式子有幾項?哪一項含商?
含商的那一項,商法則的前提要先檢查哪個數?
先檢查 bn 的極限不是 0,用商法則算 an／bn,再用常數倍算 2cn,最後相加。
商那一項:15 除以 3(分母 3≠0)。2cn 的極限:2×(−4)。最後一步是相加。
(1)對帳:A=15,B=3,C=−4。(2)商步:分母的極限 3≠0,可用商法則:15÷3=5。(3)常數倍:2×(−4)=−8。(4)和法則:5+(−8)=−3。結果:−3。
可能的錯法:商顛倒,3／15=1／5,得 1／5−8=−39／5(an／bn 的極限是 15 除以 3;正確為 −3);把 2cn 看成 2 加上 cn,寫 5+2+(−4)=3(2cn 是 2 乘 cn;正確為 −3)。
補救:式子是「一個商」加上「一個常數倍」兩項。重做時先檢查 bn 的極限不是 0,算出商的那一項,再加上 2cn 的極限。看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示,用原題重做一次。 〔回課文:五個步驟〕
記號:〈an〉、〈bn〉是無窮數列,limn→∞ an=A 表示 n 越來越大時 an 靠近有限的實數 A。題目的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。請依「對帳、看次序、逐步套、商步看分母」的順序寫出過程。
已知 limn→∞ an=3,limn→∞ bn=−5。有同學這樣寫:「limn→∞ an·bn = 3＋(−5) = −2」。請找出他錯在哪裡,並寫出正確的過程和答案。
題目要求的是哪一種組合?這位同學對兩個極限做的,又是哪一種運算?
積法則與和法則的結論,各是怎麼把 A、B 合起來的?
積法則的結論是兩個極限相乘。這位同學把它寫成了另一條法則的結論。
兩條法則的結論分別是 A+B 與 A·B。對照這位同學寫的式子,再用 A=3、B=−5 把題目要的那一個算出來,注意一正一負的符號。
錯在:題目要求的是積 an·bn,卻用了和法則(相加)。正確:(1)對帳:A=3,B=−5。(2)積法則:3×(−5)=−15。結果:−15。
可能的錯法:改成相乘卻忘了符號,寫 15(正數乘負數是負數;正確為 −15);仍相加,得 −2(積法則是相乘;正確為 −15)。
補救:先看題目要的是和、差、積、商的哪一種,再對照那一條法則的結論。重做時在每一步旁邊寫出法則的名稱。看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示,用原題重做一次。 〔回課文:條件與法則〕
記號:〈an〉、〈bn〉是無窮數列,limn→∞ an=A 表示 n 越來越大時 an 靠近有限的實數 A。題目的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。請依「對帳、看次序、逐步套、商步看分母」的順序寫出過程。
已知 limn→∞ an=8,limn→∞ bn=0(bn 的每一項都不是 0)。有同學這樣寫:「limn→∞ (an／bn) = 8／0 = ∞」。請找出他錯在哪裡,並說明這份資料能不能算出商的極限。
商法則的前提裡,對分母有什麼要求?題目給的分母極限滿足嗎?
「8／0」是一個數嗎?「∞」是不是商法則算得出來的結果?
試著找兩個不同的 bn:一個每項都是 1／n,另一個是 (−1)n／n(它們的極限都是 0),分子取每項都是 8,看商的情形。
取 bn=1／n 時,商 8／(1／n) 化簡成 8n。取 bn=(−1)n／n 時,商是 −8n、8n 輪流出現。想想這兩個商各自會怎麼走,它們會不會停在同一個數。
錯在:分母的極限是 0,商法則的前提 B≠0 不成立,所以不能寫 8／0;8／0 不是數,「∞」也不是商法則給得出的結論,不能把無窮大當成可以運算的數。這份資料算不出商的極限:取 an=8、bn=1／n 時商是 8n,越來越大、沒有極限;取 bn=(−1)n／n 時商是 −8n、8n 輪流出現,也沒有極限。只知道 bn 趨近 0,商會怎麼走要看 bn 本身,這份資料決定不了。
可能的補救寫法錯誤(為練習設計的例子):改成「答案是 0」(分母趨近 0,商的絕對值只會越來越大,不會趨近 0);改成「答案是 8」(把分母的 0 直接拿掉;商法則不能這樣用)。正確結論:不能用商法則,這份資料算不出商的極限。
補救:分母的極限是 0 時,先停下來,不寫「8／0」,也不寫無窮大。重做時回頭看課文非例一與它的補充:零件的極限資料相同,商的走法卻可以不同。看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示,用原題重做一次。 〔回課文:邊界與非例〕
記號:〈an〉、〈bn〉是無窮數列,limn→∞ an=A 表示 n 越來越大時 an 靠近有限的實數 A。題目的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。請依「對帳、看次序、逐步套、商步看分母」的順序寫出過程。
Sn 是 n 個 3／n 相加:Sn=3／n+3／n+……+3／n(共 n 項)。有同學這樣寫:「每一項的極限都是 0,所以 limn→∞ Sn = 0+0+……+0 = 0」。請找出他錯在哪裡,並求出正確的極限。
這個和有幾項?項數會不會隨著 n 改變?
和法則一次可以組合幾個數列?它能不能用在「項數隨 n 變多」的和?
先試著把 Sn 用 n 和 3／n 寫成一個簡單的式子。
Sn 是 n 個相同的 3／n 相加,等於 n 乘上 3／n。化簡後看看每個 n 對應的 Sn 是多少。
錯在:和法則只能用在有限個固定的數列,這裡項數是 n,隨 n 增加,不能逐項取極限。正確:Sn=n×(3／n)=3,每個 n 的 Sn 都是 3,所以 limn→∞ Sn=3。結果:3。
可能的錯法:仍寫 0(項數隨 n 變多,「0+0+……」不是有限個固定的 0 相加;正確為 3);把 Sn 算成 3／n(那是一項,不是 n 項的和;正確為 3)。
補救:先問自己「這個和有幾項」。項數隨 n 變多時,先把 Sn 化成一個式子,再看這個式子的極限。看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示,用原題重做一次。 〔回課文:邊界與非例〕
記號:〈an〉、〈bn〉是無窮數列,limn→∞ an=A 表示 n 越來越大時 an 靠近有限的實數 A。題目的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。請依「對帳、看次序、逐步套、商步看分母」的順序寫出過程。
已知數列 an=(−1)n(各項依序是 −1、1、−1、1……),limn→∞ bn=5。同學想寫:「limn→∞ (an+bn) = limn→∞ an ＋ 5」。(1)說明 an 有沒有極限。(2)判斷這位同學能不能這樣寫。
寫出 an 的前幾項,看它有沒有越來越靠近某一個數。
和法則的前提是兩個數列各自怎麼樣?
比較 an 的奇數項與偶數項,它們靠近同一個數嗎?再對照和法則對兩個數列的要求。
先判斷 an 有沒有極限;再回頭對照和法則的前提,看看有沒有成立。
(1)an 的項是 −1、1、−1、1……,一直來回,不靠近任何一個數,所以 limn→∞ an 沒有極限(不收斂)。(2)和法則要求兩個數列各自收斂到有限的數;an 不滿足,不能寫「limn→∞ an＋5」,因為沒有極限不是一個可以運算的數。結論:不能這樣寫。(這份資料不能用和法則;an+bn 本身有沒有極限,要另外判斷。)
可能的錯法:說 limn→∞ an=0(因為 −1 與 1 平均是 0;極限看的是項是否靠近同一個數,而不是平均;an 沒有極限);說答案是 5(把不存在當成 0;不存在不是 0)。
補救:先判斷每個零件有沒有有限的極限。有零件沒有極限時,就不能把它寫成「lim an+lim bn」。看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示,用原題重做一次。 〔回課文:邊界與非例〕
記號:〈an〉、〈bn〉是無窮數列,limn→∞ an=A 表示 n 越來越大時 an 靠近有限的實數 A。題目的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。請依「對帳、看次序、逐步套、商步看分母」的順序寫出過程。
已知 limn→∞ an=6,limn→∞ bn=6,而且 an−bn 的每一項都不是 0。(1)同學想用商法則求 limn→∞ (an／(an−bn)),請判斷能不能用,說明理由。(2)改求 limn→∞ (an／(an+bn)),能不能用?如果能,求出極限。
這兩題的分子都一樣,不同的是分母。先分別算出分母的極限。
分母的極限算出來之後,和 0 比一比。
(1)分母 an−bn 用差法則算極限;(2)分母 an+bn 用和法則算極限。哪一個是 0?
(1)分母的極限是 6−6。(2)分母的極限是 6+6。商法則只在分母的極限不是 0 時才能用;(2)能用時,最後一步是 6 除以分母的極限。
(1)分母:差法則,6−6=0,前提 B≠0 不成立,商法則不能用,這份資料算不出這個商的極限。(2)分母:和法則,6+6=12≠0,可用商法則:6÷12=1／2。結果:(1)不能用;(2)1／2。
可能的錯法:(1)寫 6／0 並說答案是無窮大(分母的極限是 0 時商法則不能用,無窮大也不是商法則給得出的結論);(2)把分母算成 6−6=0 而說不能用(分母是 an+bn,不是差;正確為 1／2);(2)算成 6÷6=1(分母的極限是 12,不是 6;正確為 1／2)。
補救:兩小題都先算分母的極限。兩題的分子相同,分母一個是差、一個是和,別把兩個分母弄混。看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示,用原題重做一次。 〔回課文:五個步驟〕
記號:〈an〉、〈bn〉是無窮數列,limn→∞ an=A 表示 n 越來越大時 an 靠近有限的實數 A。題目的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。請依「對帳、看次序、逐步套、商步看分母」的順序寫出過程。
數列 an=n(1、2、3、4……),bn=7／n。同學想用積法則:「limn→∞ an·bn = (limn→∞ an) × (limn→∞ bn) = (沒有極限) × 0 = 0」。(1)判斷這樣能不能用。(2)直接把每一項 an·bn 算出來,求 limn→∞ an·bn。
積法則的前提,對兩個數列各有什麼要求?an 滿足嗎?
an=n 越來越大,有沒有靠近某一個有限的數?
(1)先對照積法則對兩個數列的要求,看哪一個沒有滿足。(2)先不要用法則,直接把 an·bn 這個乘法算出來,看每一項是多少。
an·bn=n×(7／n),先化簡每一項,再看這個數列的極限。
(1)an=n 越來越大,沒有極限(不收斂),積法則的前提(兩個數列都收斂到有限的數)不成立,不能用,而且「沒有極限×0」也不等於 0。(2)每一項 an·bn=n×(7／n)=7,每項都是 7,極限是 7。結果:(1)不能用;(2)7。
可能的錯法:寫 0(把「越來越大」和 0 相乘當成 0;零件發散時不能這樣算;正確為 7);寫「無窮大」(an·bn 每一項都是 7;正確為 7)。
補救:先核對積法則的前提:an=n 不收斂,就不能套用。再回到原式,把每一項 an·bn 化簡,看這個數列自己的極限。看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示,用原題重做一次。 〔回課文:邊界與非例〕
記號:〈an〉、〈bn〉是無窮數列,limn→∞ an=A 表示 n 越來越大時 an 靠近有限的實數 A。題目的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。請依「對帳、看次序、逐步套、商步看分母」的順序寫出過程。
已知〈an〉、〈bn〉都收斂(極限分別是某兩個有限的實數),且 limn→∞ (an+bn)=9,limn→∞ (an−bn)=1。求 limn→∞ an·bn。
設 limn→∞ an=A,limn→∞ bn=B。題目給的兩個式子,用法則可以改寫成什麼?
得到兩個關於 A、B 的式子,這是什麼類型的問題?
用和、差法則,A+B=9 且 A−B=1。解出 A、B,再用積法則算 A×B。
兩式相加可得 2A 的值;再代回其中一式求 B。最後一步是 A 乘 B。
(1)設 limn→∞ an=A,limn→∞ bn=B(都收斂,有限)。(2)和法則、差法則:A+B=9,A−B=1。(3)相加:2A=10,A=5;B=9−5=4。(4)積法則:limn→∞ an·bn=5×4=20。結果:20。
可能的錯法:把 9 和 1 相乘,寫 9×1=9(那是 (an+bn)(an−bn) 的極限 A²−B²=25−16,不是 an·bn;正確為 20);解出 A=9+1=10(兩式相加得到的是 2A,A 要再除以 2),B=9−10=−1,得 10×(−1)=−10(正確為 20)。
補救:把 A+B=9 與 A−B=1 當成兩個方程式,解出 A、B,再用積法則算 A×B。看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示,用原題重做一次。 〔回課文:條件與法則〕
記號:〈an〉、〈bn〉是無窮數列,limn→∞ an=A 表示 n 越來越大時 an 靠近有限的實數 A。題目的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。請依「對帳、看次序、逐步套、商步看分母」的順序寫出過程。
已知 limn→∞ an=5,〈bn〉收斂到某個有限的實數 B,且 limn→∞ (an·bn−2bn)=−12。求 B。
題目給的是 an·bn−2bn 的極限,用法則可以把它改寫成含 B 的式子。
改寫出來的式子,B 是未知數,你會得到什麼類型的方程?
用積法則和常數倍法則、差法則,把極限寫成 5×B−2×B,解這個關於 B 的一次方程。
5B−2B 可以合併成幾倍的 B?把它等於 −12,解出 B。
(1)對帳:A=5,B 存在(有限)。(2)積法則:an·bn 的極限是 5B;常數倍:2bn 的極限是 2B。(3)差法則:5B−2B=3B=−12。(4)B=−4。結果:−4。
可能的錯法:把 2bn 的極限寫成 2,解 5B−2=−12 得 B=−2(2bn 的極限是 2B,B 是未知數;正確為 −4);把兩項寫成 (5+2)B,得 B=−12／7(是 5B 減去 2B,是減不是加;正確為 −4)。
補救:2bn 的極限是 2B,不是 2。把含 B 的項整理成一個一次方程,再解 B。看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示,用原題重做一次。 〔回課文:條件與法則〕
記號:〈an〉、〈bn〉是無窮數列,limn→∞ an=A 表示 n 越來越大時 an 靠近有限的實數 A。題目的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。請依「對帳、看次序、逐步套、商步看分母」的順序寫出過程。
某店第 n 季的營收 rn(萬元)越來越接近 480,成本 sn(萬元)越來越接近 360,即 limn→∞ rn=480,limn→∞ sn=360,而且 rn 的每一項都不是 0。利潤率定義為 (rn−sn)／rn。求利潤率的極限。
利潤率由哪幾種運算組成?哪個數列在分母?
分母那個數列的極限是多少?商法則的前提成立嗎?
先用差法則算分子的極限,確認分母的極限不是 0,再用商法則。
分子:480 與 360 的差。分母:480。最後一步是分子的極限除以分母的極限,並化成最簡分數。
(1)對帳:lim rn=480,lim sn=360。(2)分子:差法則 480−360=120。(3)商步:分母的極限 480≠0,可用商法則:120／480=1／4。結果:1／4(也就是 25%)。
可能的錯法:把成本放在分母,寫 120／360=1／3(利潤率的分母是營收 rn;正確為 1／4);只算 480／360=4／3(漏掉分子要先減去成本;正確為 1／4)。
補救:利潤率是(營收−成本)除以營收,分母是營收。重做時先寫出分子的極限,再確認分母的極限不是 0。看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成;隔一段時間不看提示,用原題重做一次。 〔回課文:三個完整示範〕