練習
共 18 題。每題都要交出：d=Q−P0 的三個分量；p=[(d·v)/(v·v)]v 的三個分量；r=d−p，以及逐分量的 r·v=0；最短距離 ‖r‖，並寫明 ≥0 與長度單位；垂足 H=P0+p，且 Q−H=r。
每題有 L1 到 L5 五層提示，請一層一層點開。L1、L2 是低階提示；L5 提示含完整答案。先自己寫，卡住了再看提示。每題最後的「常見的錯誤寫法與補救」請在做完之後再看。看過第 3 層以上提示才做出來的題目，算是練習，還不算獨立完成。看完提示後，請蓋住提示，回到這一題的原式重寫。
回課文
一、先試試看
練習 1
空間直線通過 P0=(0, 0, 0)，方向向量 v=(1, 0, 1)，且 v≠0。點 Q=(1, 2, 0)。只做這一點到這一條直線。請列出 d=Q−P0、投影 p=[(d·v)/(v·v)]v、垂直殘差 r=d−p，逐分量計算 r·v 並確認它是 0，最短距離 ‖r‖（必須 ≥0，單位為長度），垂足 H=P0+p，並用 ‖r‖2+t2‖v‖2 說明為什麼最短。有人寫「最短距離=‖d‖=√5」。請說明這個數為什麼不是本題的最短距離，再交正確分解。
對照課文：把 d 拆成平行與垂直兩段（附示範）
請先自己寫，再看提示。
L1 提示
先確認 v≠0，寫出 d=Q−P0 的三個分量。不要先做點到平面，也不要用單一坐標差。P0=(0, 0, 0)，Q=(1, 2, 0)。
L2 提示
投影係數的分母是 v·v，不是 ‖v‖。v=(1, 0, 1)。先只算兩個內積，先不要寫距離。
L3 提示
p 等於該係數乘上 v。先寫出 p 的三個分量。
L4 提示
r=d−p。逐分量算 r·v。若不是 0，先回頭查分母，不要改題。
L5 提示
d=Q−P0=(1, 2, 0)。
v·v=2，d·v=1。
p=[(d·v)/(v·v)]v=(1/2, 0, 1/2)。
r=d−p=(1/2, 2, -1/2)。
逐分量 r·v=(1/2)·(1)+(2)·(0)+(-1/2)·(1)=0。
‖r‖2=9/2，最短距離 ‖r‖=3√2/2，‖r‖≥0，單位為長度。
垂足 H=P0+p=(1/2, 0, 1/2)，且 Q−H=r。
線上點 H+tv 到 Q 的平方距離是 ‖r‖2+t2‖v‖2=9/2+t2·2；t=0 時最小，因為 v≠0，t≠0 時後面那項為正。
外積核對 ‖d×v‖/‖v‖=3√2/2，與 ‖r‖ 相同；這只是核對，不能省略 p、r 與 r·v。
題目中的「最短距離=‖d‖=√5」不是最短距離，因為 d 還有平行於 v 的分量，去掉之後才是 r。
常見的錯誤寫法與補救
常見的錯誤寫法：最短距離=‖d‖=√5。
補救：先把 d 分成平行於 v 的 p 與垂直的 r，距離用 ‖r‖，不要停在 ‖d‖。請回到本題原式重做，不要改題。
寫完後若結果和 L5 提示不同：回到上面的課文位置重讀，再回到這一題的原式，蓋住提示重寫一次；之後換一組新的 Q、P0、v 重做，才算真的會了。
練習 2
空間直線通過 P0=(0, 0, 0)，方向向量 v=(1, 2, 2)，且 v≠0。點 Q=(3, 1, 1)。只做這一點到這一條直線。請列出 d=Q−P0、投影 p=[(d·v)/(v·v)]v、垂直殘差 r=d−p，逐分量計算 r·v 並確認它是 0，最短距離 ‖r‖（必須 ≥0，單位為長度），垂足 H=P0+p，並用 ‖r‖2+t2‖v‖2 說明為什麼最短。有人寫「最短距離=|xQ−xP0|=3」。這是坐標軸差，本題禁止把它當距離。請改交投影分解。
對照課文：把 d 拆成平行與垂直兩段（附示範）、不屬於本題的做法（非例）
請先自己寫，再看提示。
L1 提示
先確認 v≠0，寫出 d=Q−P0 的三個分量。不要先做點到平面，也不要用單一坐標差。P0=(0, 0, 0)，Q=(3, 1, 1)。
L2 提示
投影係數的分母是 v·v，不是 ‖v‖。v=(1, 2, 2)。先只算兩個內積，先不要寫距離。
L3 提示
p 等於該係數乘上 v。先寫出 p 的三個分量。
L4 提示
r=d−p。逐分量算 r·v。若不是 0，先回頭查分母，不要改題。
L5 提示
d=Q−P0=(3, 1, 1)。
v·v=9，d·v=7。
p=[(d·v)/(v·v)]v=(7/9, 14/9, 14/9)。
r=d−p=(20/9, -5/9, -5/9)。
逐分量 r·v=(20/9)·(1)+(-5/9)·(2)+(-5/9)·(2)=0。
‖r‖2=50/9，最短距離 ‖r‖=5√2/3，‖r‖≥0，單位為長度。
垂足 H=P0+p=(7/9, 14/9, 14/9)，且 Q−H=r。
線上點 H+tv 到 Q 的平方距離是 ‖r‖2+t2‖v‖2=50/9+t2·9；t=0 時最小，因為 v≠0，t≠0 時後面那項為正。
外積核對 ‖d×v‖/‖v‖=5√2/3，與 ‖r‖ 相同；這只是核對，不能省略 p、r 與 r·v。
題目中的「最短距離=|xQ−xP0|=3」是坐標軸差，不是 ‖r‖。
常見的錯誤寫法與補救
常見的錯誤寫法：最短距離=|xQ−xP0|=3。
補救：回到 d 的三個分量，用內積取平行部分。單一坐標差只有在剛好等於 ‖r‖ 時才會碰對，那是巧合，不能當做法。請回到本題原式重做，不要改題。
寫完後若結果和 L5 提示不同：回到上面的課文位置重讀，再回到這一題的原式，蓋住提示重寫一次；之後換一組新的 Q、P0、v 重做，才算真的會了。
練習 3
空間直線通過 P0=(2, 0, -1)，方向向量 v=(2, 1, 2)，且 v≠0。點 Q=(3, 0, -1)。只做這一點到這一條直線。請列出 d=Q−P0、投影 p=[(d·v)/(v·v)]v、垂直殘差 r=d−p，逐分量計算 r·v 並確認它是 0，最短距離 ‖r‖（必須 ≥0，單位為長度），垂足 H=P0+p，並用 ‖r‖2+t2‖v‖2 說明為什麼最短。有人寫「投影係數=(d·v)/‖v‖=2/3，於是 p=(4/3, 2/3, 4/3)」。分母不該用 ‖v‖。請改以 v·v 為分母重做。
對照課文：把 d 拆成平行與垂直兩段（附示範）
請先自己寫，再看提示。
L1 提示
先確認 v≠0，寫出 d=Q−P0 的三個分量。不要先做點到平面，也不要用單一坐標差。P0=(2, 0, -1)，Q=(3, 0, -1)。
L2 提示
投影係數的分母是 v·v，不是 ‖v‖。v=(2, 1, 2)。先只算兩個內積，先不要寫距離。
L3 提示
p 等於該係數乘上 v。先寫出 p 的三個分量。
L4 提示
r=d−p。逐分量算 r·v。若不是 0，先回頭查分母，不要改題。
L5 提示
d=Q−P0=(1, 0, 0)。
v·v=9，d·v=2。
p=[(d·v)/(v·v)]v=(4/9, 2/9, 4/9)。
r=d−p=(5/9, -2/9, -4/9)。
逐分量 r·v=(5/9)·(2)+(-2/9)·(1)+(-4/9)·(2)=0。
‖r‖2=5/9，最短距離 ‖r‖=√5/3，‖r‖≥0，單位為長度。
垂足 H=P0+p=(22/9, 2/9, -5/9)，且 Q−H=r。
線上點 H+tv 到 Q 的平方距離是 ‖r‖2+t2‖v‖2=5/9+t2·9；t=0 時最小，因為 v≠0，t≠0 時後面那項為正。
外積核對 ‖d×v‖/‖v‖=√5/3，與 ‖r‖ 相同；這只是核對，不能省略 p、r 與 r·v。
題目中的「投影係數=(d·v)/‖v‖=2/3，於是 p=(4/3, 2/3, 4/3)」用了錯誤分母。
係數必須是 (d·v)/(v·v)=2/9。
常見的錯誤寫法與補救
常見的錯誤寫法：投影係數=(d·v)/‖v‖=2/3，於是 p=(4/3, 2/3, 4/3)。
補救：投影係數的分母改回 v·v，重新乘上 v 得到 p，再算 r。請回到本題原式重做，不要改題。
寫完後若結果和 L5 提示不同：回到上面的課文位置重讀，再回到這一題的原式，蓋住提示重寫一次；之後換一組新的 Q、P0、v 重做，才算真的會了。
二、基本練習
練習 4
空間直線通過 P0=(1, 1, 1)，方向向量 v=(1, -1, 2)，且 v≠0。點 Q=(0, 2, 1)。只做這一點到這一條直線。請列出 d=Q−P0、投影 p=[(d·v)/(v·v)]v、垂直殘差 r=d−p，逐分量計算 r·v 並確認它是 0，最短距離 ‖r‖（必須 ≥0，單位為長度），垂足 H=P0+p，並用 ‖r‖2+t2‖v‖2 說明為什麼最短。不要改用單一坐標差，也不要改求點到平面的距離。這一題請先不看任何提示作答；提示只在做不出來之後才用。
對照課文：把 d 拆成平行與垂直兩段（附示範）
請先自己寫，再看提示。
L1 提示
先確認 v≠0，寫出 d=Q−P0 的三個分量。不要先做點到平面，也不要用單一坐標差。P0=(1, 1, 1)，Q=(0, 2, 1)。
L2 提示
投影係數的分母是 v·v，不是 ‖v‖。v=(1, -1, 2)。先只算兩個內積，先不要寫距離。
L3 提示
p 等於該係數乘上 v。先寫出 p 的三個分量。
L4 提示
r=d−p。逐分量算 r·v。若不是 0，先回頭查分母，不要改題。
L5 提示
d=Q−P0=(-1, 1, 0)。
v·v=6，d·v=-2。
p=[(d·v)/(v·v)]v=(-1/3, 1/3, -2/3)。
r=d−p=(-2/3, 2/3, 2/3)。
逐分量 r·v=(-2/3)·(1)+(2/3)·(-1)+(2/3)·(2)=0。
‖r‖2=4/3，最短距離 ‖r‖=2√3/3，‖r‖≥0，單位為長度。
垂足 H=P0+p=(2/3, 4/3, 1/3)，且 Q−H=r。
線上點 H+tv 到 Q 的平方距離是 ‖r‖2+t2‖v‖2=4/3+t2·6；t=0 時最小，因為 v≠0，t≠0 時後面那項為正。
外積核對 ‖d×v‖/‖v‖=2√3/3，與 ‖r‖ 相同；這只是核對，不能省略 p、r 與 r·v。
常見的錯誤寫法與補救
常見的錯誤寫法：把距離寫成 ‖p‖=√6/3。
補救：把 p 從 d 減掉得到 r，距離是 ‖r‖，不是 ‖p‖。請回到本題原式重做，不要改題。
寫完後若結果和 L5 提示不同：回到上面的課文位置重讀，再回到這一題的原式，蓋住提示重寫一次；之後換一組新的 Q、P0、v 重做，才算真的會了。
練習 5
空間直線通過 P0=(-1, 0, 2)，方向向量 v=(2, 2, 1)，且 v≠0。點 Q=(1, 1, 0)。只做這一點到這一條直線。請列出 d=Q−P0、投影 p=[(d·v)/(v·v)]v、垂直殘差 r=d−p，逐分量計算 r·v 並確認它是 0，最短距離 ‖r‖（必須 ≥0，單位為長度），垂足 H=P0+p，並用 ‖r‖2+t2‖v‖2 說明為什麼最短。不要改用單一坐標差，也不要改求點到平面的距離。這一題請先不看任何提示作答；提示只在做不出來之後才用。
對照課文：把 d 拆成平行與垂直兩段（附示範）
請先自己寫，再看提示。
L1 提示
先確認 v≠0，寫出 d=Q−P0 的三個分量。不要先做點到平面，也不要用單一坐標差。P0=(-1, 0, 2)，Q=(1, 1, 0)。
L2 提示
投影係數的分母是 v·v，不是 ‖v‖。v=(2, 2, 1)。先只算兩個內積，先不要寫距離。
L3 提示
p 等於該係數乘上 v。先寫出 p 的三個分量。
L4 提示
r=d−p。逐分量算 r·v。若不是 0，先回頭查分母，不要改題。
L5 提示
d=Q−P0=(2, 1, -2)。
v·v=9，d·v=4。
p=[(d·v)/(v·v)]v=(8/9, 8/9, 4/9)。
r=d−p=(10/9, 1/9, -22/9)。
逐分量 r·v=(10/9)·(2)+(1/9)·(2)+(-22/9)·(1)=0。
‖r‖2=65/9，最短距離 ‖r‖=√65/3，‖r‖≥0，單位為長度。
垂足 H=P0+p=(-1/9, 8/9, 22/9)，且 Q−H=r。
線上點 H+tv 到 Q 的平方距離是 ‖r‖2+t2‖v‖2=65/9+t2·9；t=0 時最小，因為 v≠0，t≠0 時後面那項為正。
外積核對 ‖d×v‖/‖v‖=√65/3，與 ‖r‖ 相同；這只是核對，不能省略 p、r 與 r·v。
常見的錯誤寫法與補救
常見的錯誤寫法：把距離寫成 ‖p‖=4/3。
補救：把 p 從 d 減掉得到 r，距離是 ‖r‖，不是 ‖p‖。請回到本題原式重做，不要改題。
寫完後若結果和 L5 提示不同：回到上面的課文位置重讀，再回到這一題的原式，蓋住提示重寫一次；之後換一組新的 Q、P0、v 重做，才算真的會了。
練習 6
空間直線通過 P0=(0, 2, -1)，方向向量 v=(-1, 2, 2)，且 v≠0。點 Q=(2, 0, 1)。只做這一點到這一條直線。請列出 d=Q−P0、投影 p=[(d·v)/(v·v)]v、垂直殘差 r=d−p，逐分量計算 r·v 並確認它是 0，最短距離 ‖r‖（必須 ≥0，單位為長度），垂足 H=P0+p，並用 ‖r‖2+t2‖v‖2 說明為什麼最短。不要改用單一坐標差，也不要改求點到平面的距離。
對照課文：把 d 拆成平行與垂直兩段（附示範）
請先自己寫，再看提示。
L1 提示
先確認 v≠0，寫出 d=Q−P0 的三個分量。不要先做點到平面，也不要用單一坐標差。P0=(0, 2, -1)，Q=(2, 0, 1)。
L2 提示
投影係數的分母是 v·v，不是 ‖v‖。v=(-1, 2, 2)。先只算兩個內積，先不要寫距離。
L3 提示
p 等於該係數乘上 v。先寫出 p 的三個分量。
L4 提示
r=d−p。逐分量算 r·v。若不是 0，先回頭查分母，不要改題。
L5 提示
d=Q−P0=(2, -2, 2)。
v·v=9，d·v=-2。
p=[(d·v)/(v·v)]v=(2/9, -4/9, -4/9)。
r=d−p=(16/9, -14/9, 22/9)。
逐分量 r·v=(16/9)·(-1)+(-14/9)·(2)+(22/9)·(2)=0。
‖r‖2=104/9，最短距離 ‖r‖=2√26/3，‖r‖≥0，單位為長度。
垂足 H=P0+p=(2/9, 14/9, -13/9)，且 Q−H=r。
線上點 H+tv 到 Q 的平方距離是 ‖r‖2+t2‖v‖2=104/9+t2·9；t=0 時最小，因為 v≠0，t≠0 時後面那項為正。
外積核對 ‖d×v‖/‖v‖=2√26/3，與 ‖r‖ 相同；這只是核對，不能省略 p、r 與 r·v。
常見的錯誤寫法與補救
常見的錯誤寫法：把距離寫成 ‖p‖=2/3。
補救：把 p 從 d 減掉得到 r，距離是 ‖r‖，不是 ‖p‖。請回到本題原式重做，不要改題。
寫完後若結果和 L5 提示不同：回到上面的課文位置重讀，再回到這一題的原式，蓋住提示重寫一次；之後換一組新的 Q、P0、v 重做，才算真的會了。
練習 7
空間直線通過 P0=(1, 0, -1)，方向向量 v=(1, 1, 1)，且 v≠0。點 Q=(2, -1, 1)。只做這一點到這一條直線。請列出 d=Q−P0、投影 p=[(d·v)/(v·v)]v、垂直殘差 r=d−p，逐分量計算 r·v 並確認它是 0，最短距離 ‖r‖（必須 ≥0，單位為長度），垂足 H=P0+p，並用 ‖r‖2+t2‖v‖2 說明為什麼最短。請特別寫出 H 的座標，並核對 Q−H 等於 r，不要把 Q 自己當成垂足。
對照課文：垂足，以及為什麼最短
請先自己寫，再看提示。
L1 提示
先確認 v≠0，寫出 d=Q−P0 的三個分量。不要先做點到平面，也不要用單一坐標差。P0=(1, 0, -1)，Q=(2, -1, 1)。
L2 提示
投影係數的分母是 v·v，不是 ‖v‖。v=(1, 1, 1)。先只算兩個內積，先不要寫距離。
L3 提示
p 等於該係數乘上 v。先寫出 p 的三個分量。
L4 提示
r=d−p。逐分量算 r·v。若不是 0，先回頭查分母，不要改題。
L5 提示
d=Q−P0=(1, -1, 2)。
v·v=3，d·v=2。
p=[(d·v)/(v·v)]v=(2/3, 2/3, 2/3)。
r=d−p=(1/3, -5/3, 4/3)。
逐分量 r·v=(1/3)·(1)+(-5/3)·(1)+(4/3)·(1)=0。
‖r‖2=14/3，最短距離 ‖r‖=√42/3，‖r‖≥0，單位為長度。
垂足 H=P0+p=(5/3, 2/3, -1/3)，且 Q−H=r。
線上點 H+tv 到 Q 的平方距離是 ‖r‖2+t2‖v‖2=14/3+t2·3；t=0 時最小，因為 v≠0，t≠0 時後面那項為正。
外積核對 ‖d×v‖/‖v‖=√42/3，與 ‖r‖ 相同；這只是核對，不能省略 p、r 與 r·v。
H 不是 Q。
Q−H=(1/3, -5/3, 4/3)，這就是 r。
常見的錯誤寫法與補救
常見的錯誤寫法：把垂足寫成 H=Q=(2, -1, 1)。
補救：H 要寫成 P0+p，再算 Q−H，看它是否等於 r。請回到本題原式重做，不要改題。
寫完後若結果和 L5 提示不同：回到上面的課文位置重讀，再回到這一題的原式，蓋住提示重寫一次；之後換一組新的 Q、P0、v 重做，才算真的會了。
練習 8
空間直線通過 P0=(0, -1, 2)，方向向量 v=(2, -1, 0)，且 v≠0。點 Q=(1, 0, 2)。只做這一點到這一條直線。請列出 d=Q−P0、投影 p=[(d·v)/(v·v)]v、垂直殘差 r=d−p，逐分量計算 r·v 並確認它是 0，最短距離 ‖r‖（必須 ≥0，單位為長度），垂足 H=P0+p，並用 ‖r‖2+t2‖v‖2 說明為什麼最短。請再計算 t=1 時，Q 到 H+v 的平方距離，並與 t=0 的 ‖r‖2 比較哪一個較小。
對照課文：垂足，以及為什麼最短
請先自己寫，再看提示。
L1 提示
先確認 v≠0，寫出 d=Q−P0 的三個分量。不要先做點到平面，也不要用單一坐標差。P0=(0, -1, 2)，Q=(1, 0, 2)。
L2 提示
投影係數的分母是 v·v，不是 ‖v‖。v=(2, -1, 0)。先只算兩個內積，先不要寫距離。
L3 提示
p 等於該係數乘上 v。先寫出 p 的三個分量。
L4 提示
r=d−p。逐分量算 r·v。若不是 0，先回頭查分母，不要改題。
L5 提示
d=Q−P0=(1, 1, 0)。
v·v=5，d·v=1。
p=[(d·v)/(v·v)]v=(2/5, -1/5, 0)。
r=d−p=(3/5, 6/5, 0)。
逐分量 r·v=(3/5)·(2)+(6/5)·(-1)+(0)·(0)=0。
‖r‖2=9/5，最短距離 ‖r‖=3√5/5，‖r‖≥0，單位為長度。
垂足 H=P0+p=(2/5, -6/5, 2)，且 Q−H=r。
線上點 H+tv 到 Q 的平方距離是 ‖r‖2+t2‖v‖2=9/5+t2·5；t=0 時最小，因為 v≠0，t≠0 時後面那項為正。
外積核對 ‖d×v‖/‖v‖=3√5/5，與 ‖r‖ 相同；這只是核對，不能省略 p、r 與 r·v。
t=1 的平方距離是 ‖r‖2+‖v‖2=34/5，比 t=0 的 9/5 大了 5。
t=1 比較遠，不是更近。
常見的錯誤寫法與補救
常見的錯誤寫法：t=1 的線上點比垂足更近。
補救：先固定垂足再代入 t=1。平方距離應比 ‖r‖2 多 ‖v‖2。請回到本題原式重做，不要改題。
寫完後若結果和 L5 提示不同：回到上面的課文位置重讀，再回到這一題的原式，蓋住提示重寫一次；之後換一組新的 Q、P0、v 重做，才算真的會了。
練習 9
空間直線通過 P0=(3, 1, 0)，方向向量 v=(0, 1, 2)，且 v≠0。點 Q=(3, 0, 2)。只做這一點到這一條直線。請列出 d=Q−P0、投影 p=[(d·v)/(v·v)]v、垂直殘差 r=d−p，逐分量計算 r·v 並確認它是 0，最短距離 ‖r‖（必須 ≥0，單位為長度），垂足 H=P0+p，並用 ‖r‖2+t2‖v‖2 說明為什麼最短。請特別寫出 H 的座標，並核對 Q−H 等於 r，不要把 Q 自己當成垂足。
對照課文：垂足，以及為什麼最短
請先自己寫，再看提示。
L1 提示
先確認 v≠0，寫出 d=Q−P0 的三個分量。不要先做點到平面，也不要用單一坐標差。P0=(3, 1, 0)，Q=(3, 0, 2)。
L2 提示
投影係數的分母是 v·v，不是 ‖v‖。v=(0, 1, 2)。先只算兩個內積，先不要寫距離。
L3 提示
p 等於該係數乘上 v。先寫出 p 的三個分量。
L4 提示
r=d−p。逐分量算 r·v。若不是 0，先回頭查分母，不要改題。
L5 提示
d=Q−P0=(0, -1, 2)。
v·v=5，d·v=3。
p=[(d·v)/(v·v)]v=(0, 3/5, 6/5)。
r=d−p=(0, -8/5, 4/5)。
逐分量 r·v=(0)·(0)+(-8/5)·(1)+(4/5)·(2)=0。
‖r‖2=16/5，最短距離 ‖r‖=4√5/5，‖r‖≥0，單位為長度。
垂足 H=P0+p=(3, 8/5, 6/5)，且 Q−H=r。
線上點 H+tv 到 Q 的平方距離是 ‖r‖2+t2‖v‖2=16/5+t2·5；t=0 時最小，因為 v≠0，t≠0 時後面那項為正。
外積核對 ‖d×v‖/‖v‖=4√5/5，與 ‖r‖ 相同；這只是核對，不能省略 p、r 與 r·v。
H 不是 Q。
Q−H=(0, -8/5, 4/5)，這就是 r。
常見的錯誤寫法與補救
常見的錯誤寫法：把垂足寫成 H=Q=(3, 0, 2)。
補救：H 要寫成 P0+p，再算 Q−H，看它是否等於 r。請回到本題原式重做，不要改題。
寫完後若結果和 L5 提示不同：回到上面的課文位置重讀，再回到這一題的原式，蓋住提示重寫一次；之後換一組新的 Q、P0、v 重做，才算真的會了。
三、補強練習
練習 10
空間直線通過 P0=(-1, 1, 0)，方向向量 v=(1, 2, 0)，且 v≠0。點 Q=(0, 1, 2)。只做這一點到這一條直線。請列出 d=Q−P0、投影 p=[(d·v)/(v·v)]v、垂直殘差 r=d−p，逐分量計算 r·v 並確認它是 0，最短距離 ‖r‖（必須 ≥0，單位為長度），垂足 H=P0+p，並用 ‖r‖2+t2‖v‖2 說明為什麼最短。有人寫「最短距離=‖d‖=√5」。請說明這個數為什麼不是本題的最短距離，再交正確分解。
對照課文：把 d 拆成平行與垂直兩段（附示範）
請先自己寫，再看提示。
L1 提示
先確認 v≠0，寫出 d=Q−P0 的三個分量。不要先做點到平面，也不要用單一坐標差。P0=(-1, 1, 0)，Q=(0, 1, 2)。
L2 提示
投影係數的分母是 v·v，不是 ‖v‖。v=(1, 2, 0)。先只算兩個內積，先不要寫距離。
L3 提示
p 等於該係數乘上 v。先寫出 p 的三個分量。
L4 提示
r=d−p。逐分量算 r·v。若不是 0，先回頭查分母，不要改題。
L5 提示
d=Q−P0=(1, 0, 2)。
v·v=5，d·v=1。
p=[(d·v)/(v·v)]v=(1/5, 2/5, 0)。
r=d−p=(4/5, -2/5, 2)。
逐分量 r·v=(4/5)·(1)+(-2/5)·(2)+(2)·(0)=0。
‖r‖2=24/5，最短距離 ‖r‖=2√30/5，‖r‖≥0，單位為長度。
垂足 H=P0+p=(-4/5, 7/5, 0)，且 Q−H=r。
線上點 H+tv 到 Q 的平方距離是 ‖r‖2+t2‖v‖2=24/5+t2·5；t=0 時最小，因為 v≠0，t≠0 時後面那項為正。
外積核對 ‖d×v‖/‖v‖=2√30/5，與 ‖r‖ 相同；這只是核對，不能省略 p、r 與 r·v。
題目中的「最短距離=‖d‖=√5」不是最短距離，因為 d 還有平行於 v 的分量，去掉之後才是 r。
常見的錯誤寫法與補救
常見的錯誤寫法：最短距離=‖d‖=√5。
補救：先把 d 分成平行於 v 的 p 與垂直的 r，距離用 ‖r‖，不要停在 ‖d‖。請回到本題原式重做，不要改題。
寫完後若結果和 L5 提示不同：回到上面的課文位置重讀，再回到這一題的原式，蓋住提示重寫一次；之後換一組新的 Q、P0、v 重做，才算真的會了。
練習 11
空間直線通過 P0=(2, 2, 1)，方向向量 v=(1, 0, -1)，且 v≠0。點 Q=(0, 2, 4)。只做這一點到這一條直線。請列出 d=Q−P0、投影 p=[(d·v)/(v·v)]v、垂直殘差 r=d−p，逐分量計算 r·v 並確認它是 0，最短距離 ‖r‖（必須 ≥0，單位為長度），垂足 H=P0+p，並用 ‖r‖2+t2‖v‖2 說明為什麼最短。有人寫「最短距離=|xQ−xP0|=2」。這是坐標軸差，本題禁止把它當距離。請改交投影分解。
對照課文：把 d 拆成平行與垂直兩段（附示範）、不屬於本題的做法（非例）
請先自己寫，再看提示。
L1 提示
先確認 v≠0，寫出 d=Q−P0 的三個分量。不要先做點到平面，也不要用單一坐標差。P0=(2, 2, 1)，Q=(0, 2, 4)。
L2 提示
投影係數的分母是 v·v，不是 ‖v‖。v=(1, 0, -1)。先只算兩個內積，先不要寫距離。
L3 提示
p 等於該係數乘上 v。先寫出 p 的三個分量。
L4 提示
r=d−p。逐分量算 r·v。若不是 0，先回頭查分母，不要改題。
L5 提示
d=Q−P0=(-2, 0, 3)。
v·v=2，d·v=-5。
p=[(d·v)/(v·v)]v=(-5/2, 0, 5/2)。
r=d−p=(1/2, 0, 1/2)。
逐分量 r·v=(1/2)·(1)+(0)·(0)+(1/2)·(-1)=0。
‖r‖2=1/2，最短距離 ‖r‖=√2/2，‖r‖≥0，單位為長度。
垂足 H=P0+p=(-1/2, 2, 7/2)，且 Q−H=r。
線上點 H+tv 到 Q 的平方距離是 ‖r‖2+t2‖v‖2=1/2+t2·2；t=0 時最小，因為 v≠0，t≠0 時後面那項為正。
外積核對 ‖d×v‖/‖v‖=√2/2，與 ‖r‖ 相同；這只是核對，不能省略 p、r 與 r·v。
題目中的「最短距離=|xQ−xP0|=2」是坐標軸差，不是 ‖r‖。
常見的錯誤寫法與補救
常見的錯誤寫法：最短距離=|xQ−xP0|=2。
補救：回到 d 的三個分量，用內積取平行部分。單一坐標差只有在剛好等於 ‖r‖ 時才會碰對，那是巧合，不能當做法。請回到本題原式重做，不要改題。
寫完後若結果和 L5 提示不同：回到上面的課文位置重讀，再回到這一題的原式，蓋住提示重寫一次；之後換一組新的 Q、P0、v 重做，才算真的會了。
練習 12
空間直線通過 P0=(0, 0, 1)，方向向量 v=(2, 2, 1)，且 v≠0。點 Q=(3, 1, 1)。只做這一點到這一條直線。請列出 d=Q−P0、投影 p=[(d·v)/(v·v)]v、垂直殘差 r=d−p，逐分量計算 r·v 並確認它是 0，最短距離 ‖r‖（必須 ≥0，單位為長度），垂足 H=P0+p，並用 ‖r‖2+t2‖v‖2 說明為什麼最短。有人寫「投影係數=(d·v)/‖v‖=8/3，於是 p=(16/3, 16/3, 8/3)」。分母不該用 ‖v‖。請改以 v·v 為分母重做。
對照課文：把 d 拆成平行與垂直兩段（附示範）
請先自己寫，再看提示。
L1 提示
先確認 v≠0，寫出 d=Q−P0 的三個分量。不要先做點到平面，也不要用單一坐標差。P0=(0, 0, 1)，Q=(3, 1, 1)。
L2 提示
投影係數的分母是 v·v，不是 ‖v‖。v=(2, 2, 1)。先只算兩個內積，先不要寫距離。
L3 提示
p 等於該係數乘上 v。先寫出 p 的三個分量。
L4 提示
r=d−p。逐分量算 r·v。若不是 0，先回頭查分母，不要改題。
L5 提示
d=Q−P0=(3, 1, 0)。
v·v=9，d·v=8。
p=[(d·v)/(v·v)]v=(16/9, 16/9, 8/9)。
r=d−p=(11/9, -7/9, -8/9)。
逐分量 r·v=(11/9)·(2)+(-7/9)·(2)+(-8/9)·(1)=0。
‖r‖2=26/9，最短距離 ‖r‖=√26/3，‖r‖≥0，單位為長度。
垂足 H=P0+p=(16/9, 16/9, 17/9)，且 Q−H=r。
線上點 H+tv 到 Q 的平方距離是 ‖r‖2+t2‖v‖2=26/9+t2·9；t=0 時最小，因為 v≠0，t≠0 時後面那項為正。
外積核對 ‖d×v‖/‖v‖=√26/3，與 ‖r‖ 相同；這只是核對，不能省略 p、r 與 r·v。
題目中的「投影係數=(d·v)/‖v‖=8/3，於是 p=(16/3, 16/3, 8/3)」用了錯誤分母。
係數必須是 (d·v)/(v·v)=8/9。
常見的錯誤寫法與補救
常見的錯誤寫法：投影係數=(d·v)/‖v‖=8/3，於是 p=(16/3, 16/3, 8/3)。
補救：投影係數的分母改回 v·v，重新乘上 v 得到 p，再算 r。請回到本題原式重做，不要改題。
寫完後若結果和 L5 提示不同：回到上面的課文位置重讀，再回到這一題的原式，蓋住提示重寫一次；之後換一組新的 Q、P0、v 重做，才算真的會了。
練習 13
空間直線通過 P0=(1, -1, 1)，方向向量 v=(1, 1, 1)，且 v≠0。點 Q=(2, 0, 3)。只做這一點到這一條直線。請列出 d=Q−P0、投影 p=[(d·v)/(v·v)]v、垂直殘差 r=d−p，逐分量計算 r·v 並確認它是 0，最短距離 ‖r‖（必須 ≥0，單位為長度），垂足 H=P0+p，並用 ‖r‖2+t2‖v‖2 說明為什麼最短。另把方向改成 w=(-2, -2, -2)（w=−2v）。請對 v 與 w 各做一次完整分解，並比較兩個係數、兩個 r 與兩個距離。
對照課文：換方向或換基準點
請先自己寫，再看提示。
L1 提示
先確認 v≠0，寫出 d=Q−P0 的三個分量。不要先做點到平面，也不要用單一坐標差。P0=(1, -1, 1)，Q=(2, 0, 3)。
L2 提示
投影係數的分母是 v·v，不是 ‖v‖。v=(1, 1, 1)。先只算兩個內積，先不要寫距離。
L3 提示
p 等於該係數乘上 v。先寫出 p 的三個分量。
L4 提示
r=d−p。逐分量算 r·v。若不是 0，先回頭查分母，不要改題。
L5 提示
d=Q−P0=(1, 1, 2)。
v·v=3，d·v=4。
p=[(d·v)/(v·v)]v=(4/3, 4/3, 4/3)。
r=d−p=(-1/3, -1/3, 2/3)。
逐分量 r·v=(-1/3)·(1)+(-1/3)·(1)+(2/3)·(1)=0。
‖r‖2=2/3，最短距離 ‖r‖=√6/3，‖r‖≥0，單位為長度。
垂足 H=P0+p=(7/3, 1/3, 7/3)，且 Q−H=r。
線上點 H+tv 到 Q 的平方距離是 ‖r‖2+t2‖v‖2=2/3+t2·3；t=0 時最小，因為 v≠0，t≠0 時後面那項為正。
外積核對 ‖d×v‖/‖v‖=√6/3，與 ‖r‖ 相同；這只是核對，不能省略 p、r 與 r·v。
改用 w=(-2, -2, -2) 的分解：d=Q−P0=(1, 1, 2)。
w·w=12，d·w=-8。
p=[(d·w)/(w·w)]w=(4/3, 4/3, 4/3)。
r=d−p=(-1/3, -1/3, 2/3)。
逐分量 r·w=(-1/3)·(-2)+(-1/3)·(-2)+(2/3)·(-2)=0。
‖r‖2=2/3，最短距離 ‖r‖=√6/3，‖r‖≥0，單位為長度。
垂足 H=P0+p=(7/3, 1/3, 7/3)，且 Q−H=r。
線上點 H+tw 到 Q 的平方距離是 ‖r‖2+t2‖w‖2=2/3+t2·12；t=0 時最小，因為 w≠0，t≠0 時後面那項為正。
比較：係數由 4/3 變成 -2/3，但 p 仍是 (4/3, 4/3, 4/3)，r 仍是 (-1/3, -1/3, 2/3)，兩個最短距離都是 √6/3。
非零倍數（含負號）只改係數，不改 p，也不改 r。
常見的錯誤寫法與補救
常見的錯誤寫法：v 改成相反方向後距離變號。
補救：係數可以是負的（本題用 w 算出的係數是 -2/3），距離是 ‖r‖，永遠不小於 0。用題目給的新方向 w 再算一次係數，這時係數會跟著變；但乘回 w 之後 p 與 r 都不該變。若 r 變了，先檢查有沒有把倍數乘到距離上。請回到本題原式重做，不要改題。
寫完後若結果和 L5 提示不同：回到上面的課文位置重讀，再回到這一題的原式，蓋住提示重寫一次；之後換一組新的 Q、P0、v 重做，才算真的會了。
練習 14
空間直線通過 P0=(0, 1, 2)，方向向量 v=(1, -2, 2)，且 v≠0。點 Q=(2, -3, 6)。只做這一點到這一條直線。請列出 d=Q−P0、投影 p=[(d·v)/(v·v)]v、垂直殘差 r=d−p，逐分量計算 r·v 並確認它是 0，最短距離 ‖r‖（必須 ≥0，單位為長度），垂足 H=P0+p，並用 ‖r‖2+t2‖v‖2 說明為什麼最短。請交出完整分解。
對照課文：本題對應的課文段落
請先自己寫，再看提示。
L1 提示
先確認 v≠0，寫出 d=Q−P0 的三個分量。不要先做點到平面，也不要用單一坐標差。P0=(0, 1, 2)，Q=(2, -3, 6)。
L2 提示
投影係數的分母是 v·v，不是 ‖v‖。v=(1, -2, 2)。先只算兩個內積，先不要寫距離。
L3 提示
p 等於該係數乘上 v。先寫出 p 的三個分量。
L4 提示
r=d−p。逐分量算 r·v。若不是 0，先回頭查分母，不要改題。
L5 提示
d=Q−P0=(2, -4, 4)。
v·v=9，d·v=18。
p=[(d·v)/(v·v)]v=(2, -4, 4)。
r=d−p=(0, 0, 0)。
逐分量 r·v=(0)·(1)+(0)·(-2)+(0)·(2)=0。
‖r‖2=0，最短距離 ‖r‖=0，‖r‖≥0，單位為長度。
垂足 H=P0+p=(2, -3, 6)，且 Q−H=r。
線上點 H+tv 到 Q 的平方距離是 ‖r‖2+t2‖v‖2=0+t2·9；t=0 時最小，因為 v≠0，t≠0 時後面那項為正。
外積核對 ‖d×v‖/‖v‖=0，與 ‖r‖ 相同；這只是核對，不能省略 p、r 與 r·v。
Q 在直線上，r 是零向量，最短距離是 0，單位仍是長度。
這是合法答案，不是無解。
常見的錯誤寫法與補救
常見的錯誤寫法：點在線上所以本題無距離、留白。
補救：把 r 的三個分量算出來；若殘差是零向量，距離就寫 0，0 是長度，不是無解，也不要留白。請回到本題原式重做，不要改題。
寫完後若結果和 L5 提示不同：回到上面的課文位置重讀，再回到這一題的原式，蓋住提示重寫一次；之後換一組新的 Q、P0、v 重做，才算真的會了。
練習 15
空間直線通過 P0=(1, 0, 1)，方向向量 v=(1, 0, -1)，且 v≠0。點 Q=(2, 3, 1)。只做這一點到這一條直線。請列出 d=Q−P0、投影 p=[(d·v)/(v·v)]v、垂直殘差 r=d−p，逐分量計算 r·v 並確認它是 0，最短距離 ‖r‖（必須 ≥0，單位為長度），垂足 H=P0+p，並用 ‖r‖2+t2‖v‖2 說明為什麼最短。直線上還有一點 B=(2, 0, 0)（B=P0+v）。請分別以 P0 與 B 為基準點各做一次分解，並比較兩個 r。
對照課文：換方向或換基準點
請先自己寫，再看提示。
L1 提示
先確認 v≠0，寫出 d=Q−P0 的三個分量。不要先做點到平面，也不要用單一坐標差。P0=(1, 0, 1)，Q=(2, 3, 1)。
L2 提示
投影係數的分母是 v·v，不是 ‖v‖。v=(1, 0, -1)。先只算兩個內積，先不要寫距離。
L3 提示
p 等於該係數乘上 v。先寫出 p 的三個分量。
L4 提示
r=d−p。逐分量算 r·v。若不是 0，先回頭查分母，不要改題。
L5 提示
d=Q−P0=(1, 3, 0)。
v·v=2，d·v=1。
p=[(d·v)/(v·v)]v=(1/2, 0, -1/2)。
r=d−p=(1/2, 3, 1/2)。
逐分量 r·v=(1/2)·(1)+(3)·(0)+(1/2)·(-1)=0。
‖r‖2=19/2，最短距離 ‖r‖=√38/2，‖r‖≥0，單位為長度。
垂足 H=P0+p=(3/2, 0, 1/2)，且 Q−H=r。
線上點 H+tv 到 Q 的平方距離是 ‖r‖2+t2‖v‖2=19/2+t2·2；t=0 時最小，因為 v≠0，t≠0 時後面那項為正。
外積核對 ‖d×v‖/‖v‖=√38/2，與 ‖r‖ 相同；這只是核對，不能省略 p、r 與 r·v。
改以 B=(2, 0, 0) 為基準點的分解：d_B=Q−B=(0, 3, 1)。
v·v=2，d_B·v=-1。
p_B=[(d_B·v)/(v·v)]v=(-1/2, 0, 1/2)。
r=d_B−p_B=(1/2, 3, 1/2)。
逐分量 r·v=(1/2)·(1)+(3)·(0)+(1/2)·(-1)=0。
‖r‖2=19/2，最短距離 ‖r‖=√38/2，‖r‖≥0，單位為長度。
垂足 H=B+p_B=(3/2, 0, 1/2)，且 Q−H=r。
比較：d 與 p 隨基準點改變（d=(1, 3, 0) 變成 d_B=(0, 3, 1)，p=(1/2, 0, -1/2) 變成 p_B=(-1/2, 0, 1/2)），但 r 都是 (1/2, 3, 1/2)，垂足 H 都是 (3/2, 0, 1/2)，距離都是 √38/2。
基準點必須在同一條直線上，這個不變才成立。
常見的錯誤寫法與補救
常見的錯誤寫法：換了線上另一點當基準，r 就改成另一個向量。
補救：新基準點仍要在直線上。分別算出兩個 d，再各減自己的 p，比較 r。請回到本題原式重做，不要改題。
寫完後若結果和 L5 提示不同：回到上面的課文位置重讀，再回到這一題的原式，蓋住提示重寫一次；之後換一組新的 Q、P0、v 重做，才算真的會了。
四、換個情境再試
練習 16
空間直線通過 P0=(0, 2, 1)，方向向量 v=(2, 1, 0)，且 v≠0。點 Q=(-1, 0, 0)。只做這一點到這一條直線。請列出 d=Q−P0、投影 p=[(d·v)/(v·v)]v、垂直殘差 r=d−p，逐分量計算 r·v 並確認它是 0，最短距離 ‖r‖（必須 ≥0，單位為長度），垂足 H=P0+p，並用 ‖r‖2+t2‖v‖2 說明為什麼最短。請另外計算 ‖d×v‖/‖v‖，只用來核對 ‖r‖。沒有 p、r 與逐分量 r·v，本題不算完成。
對照課文：用外積再核對一次
請先自己寫，再看提示。
L1 提示
先確認 v≠0，寫出 d=Q−P0 的三個分量。不要先做點到平面，也不要用單一坐標差。P0=(0, 2, 1)，Q=(-1, 0, 0)。
L2 提示
投影係數的分母是 v·v，不是 ‖v‖。v=(2, 1, 0)。先只算兩個內積，先不要寫距離。
L3 提示
p 等於該係數乘上 v。先寫出 p 的三個分量。
L4 提示
r=d−p。逐分量算 r·v。若不是 0，先回頭查分母，不要改題。
L5 提示
d=Q−P0=(-1, -2, -1)。
v·v=5，d·v=-4。
p=[(d·v)/(v·v)]v=(-8/5, -4/5, 0)。
r=d−p=(3/5, -6/5, -1)。
逐分量 r·v=(3/5)·(2)+(-6/5)·(1)+(-1)·(0)=0。
‖r‖2=14/5，最短距離 ‖r‖=√70/5，‖r‖≥0，單位為長度。
垂足 H=P0+p=(-8/5, 6/5, 1)，且 Q−H=r。
線上點 H+tv 到 Q 的平方距離是 ‖r‖2+t2‖v‖2=14/5+t2·5；t=0 時最小，因為 v≠0，t≠0 時後面那項為正。
外積核對：d×v=(1, -2, 3)，‖d×v‖2=14，‖d×v‖=√14，‖v‖=√5，‖d×v‖/‖v‖=√70/5，與 ‖r‖ 相同；這只是核對，不能省略 p、r 與 r·v。
常見的錯誤寫法與補救
常見的錯誤寫法：只寫外積公式的那個長度，沒有列出 p、r 與 r·v。
補救：外積只留下核對。把 p、r 與逐分量 r·v 補上。請回到本題原式重做，不要改題。
寫完後若結果和 L5 提示不同：回到上面的課文位置重讀，再回到這一題的原式，蓋住提示重寫一次；之後換一組新的 Q、P0、v 重做，才算真的會了。
練習 17
空間直線通過 P0=(1, 1, 0)，方向向量 v=(1, -1, 1)，且 v≠0。點 Q=(0, 2, 1)。只做這一點到這一條直線。請列出 d=Q−P0、投影 p=[(d·v)/(v·v)]v、垂直殘差 r=d−p，逐分量計算 r·v 並確認它是 0，最短距離 ‖r‖（必須 ≥0，單位為長度），垂足 H=P0+p，並用 ‖r‖2+t2‖v‖2 說明為什麼最短。另把方向改成 w=(3, -3, 3)（w=3v，w≠0）。請對 v 與 w 各做一次完整分解，並比較兩個係數、兩個 r 與兩個距離。
對照課文：換方向或換基準點
請先自己寫，再看提示。
L1 提示
先確認 v≠0，寫出 d=Q−P0 的三個分量。不要先做點到平面，也不要用單一坐標差。P0=(1, 1, 0)，Q=(0, 2, 1)。
L2 提示
投影係數的分母是 v·v，不是 ‖v‖。v=(1, -1, 1)。先只算兩個內積，先不要寫距離。
L3 提示
p 等於該係數乘上 v。先寫出 p 的三個分量。
L4 提示
r=d−p。逐分量算 r·v。若不是 0，先回頭查分母，不要改題。
L5 提示
d=Q−P0=(-1, 1, 1)。
v·v=3，d·v=-1。
p=[(d·v)/(v·v)]v=(-1/3, 1/3, -1/3)。
r=d−p=(-2/3, 2/3, 4/3)。
逐分量 r·v=(-2/3)·(1)+(2/3)·(-1)+(4/3)·(1)=0。
‖r‖2=8/3，最短距離 ‖r‖=2√6/3，‖r‖≥0，單位為長度。
垂足 H=P0+p=(2/3, 4/3, -1/3)，且 Q−H=r。
線上點 H+tv 到 Q 的平方距離是 ‖r‖2+t2‖v‖2=8/3+t2·3；t=0 時最小，因為 v≠0，t≠0 時後面那項為正。
外積核對 ‖d×v‖/‖v‖=2√6/3，與 ‖r‖ 相同；這只是核對，不能省略 p、r 與 r·v。
改用 w=(3, -3, 3) 的分解：d=Q−P0=(-1, 1, 1)。
w·w=27，d·w=-3。
p=[(d·w)/(w·w)]w=(-1/3, 1/3, -1/3)。
r=d−p=(-2/3, 2/3, 4/3)。
逐分量 r·w=(-2/3)·(3)+(2/3)·(-3)+(4/3)·(3)=0。
‖r‖2=8/3，最短距離 ‖r‖=2√6/3，‖r‖≥0，單位為長度。
垂足 H=P0+p=(2/3, 4/3, -1/3)，且 Q−H=r。
線上點 H+tw 到 Q 的平方距離是 ‖r‖2+t2‖w‖2=8/3+t2·27；t=0 時最小，因為 w≠0，t≠0 時後面那項為正。
比較：係數由 -1/3 變成 -1/9，但 p 仍是 (-1/3, 1/3, -1/3)，r 仍是 (-2/3, 2/3, 4/3)，兩個最短距離都是 2√6/3。
非零倍數（含負號）只改係數，不改 p，也不改 r。
常見的錯誤寫法與補救
常見的錯誤寫法：v 乘上 3 以後距離變成 3 倍。
補救：用題目給的新方向 w 再算一次係數，這時係數會跟著變；但乘回 w 之後 p 與 r 都不該變。若 r 變了，先檢查有沒有把倍數乘到距離上。請回到本題原式重做，不要改題。
寫完後若結果和 L5 提示不同：回到上面的課文位置重讀，再回到這一題的原式，蓋住提示重寫一次；之後換一組新的 Q、P0、v 重做，才算真的會了。
練習 18
空間直線通過 P0=(2, -1, 2)，方向向量 v=(1, 2, -2)，且 v≠0。點 Q=(-1, 1, 1)。只做這一點到這一條直線。請列出 d=Q−P0、投影 p=[(d·v)/(v·v)]v、垂直殘差 r=d−p，逐分量計算 r·v 並確認它是 0，最短距離 ‖r‖（必須 ≥0，單位為長度），垂足 H=P0+p，並用 ‖r‖2+t2‖v‖2 說明為什麼最短。不要改求點到平面的距離，也不要改判兩條直線的位置。本題仍只交這一點到這一條直線的投影分解。
對照課文：把 d 拆成平行與垂直兩段（附示範）
請先自己寫，再看提示。
L1 提示
先確認 v≠0，寫出 d=Q−P0 的三個分量。不要先做點到平面，也不要用單一坐標差。P0=(2, -1, 2)，Q=(-1, 1, 1)。
L2 提示
投影係數的分母是 v·v，不是 ‖v‖。v=(1, 2, -2)。先只算兩個內積，先不要寫距離。
L3 提示
p 等於該係數乘上 v。先寫出 p 的三個分量。
L4 提示
r=d−p。逐分量算 r·v。若不是 0，先回頭查分母，不要改題。
L5 提示
d=Q−P0=(-3, 2, -1)。
v·v=9，d·v=3。
p=[(d·v)/(v·v)]v=(1/3, 2/3, -2/3)。
r=d−p=(-10/3, 4/3, -1/3)。
逐分量 r·v=(-10/3)·(1)+(4/3)·(2)+(-1/3)·(-2)=0。
‖r‖2=13，最短距離 ‖r‖=√13，‖r‖≥0，單位為長度。
垂足 H=P0+p=(7/3, -1/3, 4/3)，且 Q−H=r。
線上點 H+tv 到 Q 的平方距離是 ‖r‖2+t2‖v‖2=13+t2·9；t=0 時最小，因為 v≠0，t≠0 時後面那項為正。
外積核對 ‖d×v‖/‖v‖=√13，與 ‖r‖ 相同；這只是核對，不能省略 p、r 與 r·v。
常見的錯誤寫法與補救
常見的錯誤寫法：把距離寫成 ‖p‖=1。
補救：把 p 從 d 減掉得到 r，距離是 ‖r‖，不是 ‖p‖。請回到本題原式重做，不要改題。
寫完後若結果和 L5 提示不同：回到上面的課文位置重讀，再回到這一題的原式，蓋住提示重寫一次；之後換一組新的 Q、P0、v 重做，才算真的會了。
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