練習：用代入消去法解二元聯立式

先看式①：x 已經被 y 表示好了。想一想，這個表示式要放進哪一個式子。

要放進式②（放進式①只會兜圈子）。式②裡的 x 要整個換成一個括號，括號前的 2 要乘進括號裡的每一項。

把 (3y−5) 整個放進式②取代 x，先寫出這個只含 y 的方程式。展開時，2 要同時乘括號內的每一項。

展開括號時 2 要乘進每一項，再合併同類項，得到只含 y 的一元一次方程式。解出 y 之後，用 x＝3y−5 回代求 x。

2(3y−5)＋y＝4 → 6y−10＋y＝4 → 7y＝14 → y＝2。回代 x＝3y−5＝3×2−5＝1。有序數對 (x, y)＝(1, 2)。回驗：式①　1＝3×2−5 成立；式②　2×1＋2＝4 成立。

• 錯法：把式②寫成 2·3y−5＋y＝4（沒加括號，2 沒乘到 −5）。
  為什麼錯：6y−5＋y＝4 → 7y＝9 → y＝9/7，再得 x＝3×9/7−5＝−8/7，不是 1。回驗式②：2×(−8/7)＋9/7＝−1，不等於 4。
  補救：代入時先把表示式用括號包好，再乘開：2(3y−5)。

• 錯法：把 x＝3y−5 代回式①，得 3y−5＝3y−5。
  為什麼錯：這是代回原式，永遠成立，得不到 y 的值。
  補救：改代入式②。

先把式①整理成 x＝（含 y 的式子）。2y 從左邊移到右邊，符號會怎麼變？

整理出 x 之後，要代入的是「另一個式子」，也就是式②裡的 x。想一想，四個選項中哪一個是把它換進式②，且 3 有乘到每一項。

把整理好的 x 表示式整個放進式②的 x 位置，括號前的 3 要乘到括號內每一項。把你寫出的方程式與四個選項逐一比對，選出 (1)。

把你選出的方程式展開括號、合併同類項，得到只含 y 的一元一次方程式。解出 y，再用整理出的 x 表示式回代。

21−7y＝7 → −7y＝−14 → y＝2。x＝7−2×2＝3。共同解 (x, y)＝(3, 2)。回驗：式①　3＋2×2＝7 成立；式②　3×3−2＝7 成立。(1) 的答案是 (A)。

• 錯法：選 (B)：3(7＋2y)−y＝7。
  為什麼錯：移項時沒變號，寫成 x＝7＋2y。用正確的 y＝2 檢查左邊：3(7＋2×2)−2＝31，不等於 7，所以 (B) 的方程式不對。
  補救：移項要變號：x＝7−2y。

• 錯法：選 (C)：3×7−2y−y＝7。
  為什麼錯：3 只乘到了 7，沒乘到 2y。用 y＝2 檢查左邊：3×7−2×2−2＝15，不等於 7。
  補救：括號前的係數要乘進每一項：3(7−2y)＝21−6y。

• 錯法：選 (D)：(7−2y)＋2y＝7。
  為什麼錯：它是把 x 代回式①，永遠成立，無法解出 y。
  補救：改代入式②。

式①的 y 前面是負號。想一想，怎樣把 y 單獨留在一邊，而且 y 本身前面是正號。

式①兩邊同時加 y，再同時減 5，就能把 y 留在一邊。

整理出 y 的表示式後，可取一個 x 值（例如 x＝0）代回式①，檢查你的表示式對不對。確認後，把它整個加括號放進式②取代 y，先寫出方程式。

代入後括號前的 3 乘進每一項，合併 x 的同類項，得到只含 x 的一元一次方程式。解出 x，再用你整理出的 y 表示式回代。

11x−15＝18 → 11x＝33 → x＝3。y＝3x−5＝3×3−5＝4。共同解 (x, y)＝(3, 4)。回驗：式①　3×3−4＝5 成立；式②　2×3＋3×4＝18 成立。

• 錯法：把式①整理成 y＝5−3x。
  為什麼錯：誤把 3x 移到右邊卻沒有處理 −y 的負號。代入得 2x＋3(5−3x)＝18 → 15−7x＝18 → x＝−3/7，答案不對。取 x＝0 檢查：y＝5−3×0＝5，代回式① 3×0−5＝−5，不等於 5。
  補救：想法：3x−y＝5 移項得 3x−5＝y，也就是 y＝3x−5。可用一組數檢查整理結果。

• 錯法：求出 x＝3 就交卷，只寫「x＝3」。
  為什麼錯：共同解是一對數，還要求出 y 並寫成 (x, y)。
  補救：回代 y＝3x−5＝4，再寫 (3, 4)。

式①已經把 y 用 x 表示好了。看看式②有沒有 y 可以換。

把式②裡的 y 整個換成式①右邊的式子，換的時候加括號。

把式①右邊整個加括號放進式②的 y 位置，先寫出這個只含 x 的方程式。

去括號、合併同類項，得到只含 x 的一元一次方程式。解出 x，再用 y＝2x−3 回代。

6x−3＝9 → 6x＝12 → x＝2。y＝2x−3＝2×2−3＝1。共同解 (x, y)＝(2, 1)。回驗：式①　1＝2×2−3 成立；式②　4×2＋1＝9 成立。

• 錯法：把 y＝2x−3 代入式①，得 2x−3＝2x−3。
  為什麼錯：代回了原來那一式，永遠成立。
  補救：改代入式②。

• 錯法：求出 x＝2、y＝1 卻寫成 (1, 2)。
  為什麼錯：次序寫反。把 (1, 2) 當成 (x, y) 代入式①，右邊 2×1−3＝−1，不等於左邊的 2，所以不成立。
  補救：寫 (x, y)＝(2, 1)，x 在前。

式①已經把 x 用 y 表示好了。看看式②裡的 x 要怎麼換。

把式②裡的 x 換成 (6−2y)，括號前的 3 要乘進括號裡每一項。

把 (6−2y) 整個放進式②取代 x，先寫出方程式。括號前的 3 要乘到括號內每一項。

括號前的 3 乘進每一項，合併 y 的同類項，得到只含 y 的一元一次方程式。解出 y 後，用 x＝6−2y 回代；代入負數時要加括號。

18−2y＝20 → −2y＝2 → y＝−1。x＝6−2×(−1)＝6＋2＝8。共同解 (x, y)＝(8, −1)。回驗：式①　8＝6−2×(−1) 成立；式②　3×8＋4×(−1)＝20 成立。

• 錯法：回代時寫 x＝6−2−1＝3。
  為什麼錯：y＝−1 代入 −2y 時沒加括號，把 −2y 當成 −2 和 −1 兩項。回驗式②：3×3＋4×(−1)＝5，不等於 20。
  補救：代入負數時加括號：x＝6−2×(−1)＝6＋2＝8。

• 錯法：把 −6y＋4y 合併成 −10y。
  為什麼錯：同類項係數要相加：−6＋4＝−2。得 18−10y＝20 → y＝−1/5，不是 −1。
  補救：合併時看清楚正負號：−6y＋4y＝−2y。

式①已把 x 表示好了。要換進哪一個式子？

換進式②。括號前的 5 要乘進括號裡的每一項，包括常數項。

把 (2y＋1) 整個放進式②取代 x，先寫出方程式。括號前的 5 要乘到 2y 和常數項兩項。

括號前的 5 乘進每一項，合併 y 的同類項，得到只含 y 的一元一次方程式。解出 y，再用 x＝2y＋1 回代。

7y＋5＝19 → 7y＝14 → y＝2。x＝2×2＋1＝5。共同解 (x, y)＝(5, 2)。回驗：式①　5＝2×2＋1 成立；式②　5×5−3×2＝19 成立。

• 錯法：展開成 10y＋1−3y＝19。
  為什麼錯：5 只乘到 2y，漏乘常數項 1。得 10y＋1−3y＝19 → 7y＝18 → y＝18/7，不是整數，與正確的 y＝2 不同。
  補救：括號前的係數乘進每一項：5(2y＋1)＝10y＋5。

• 錯法：只求出 y＝2 就寫答案。
  為什麼錯：還要回代求 x。
  補救：x＝2y＋1＝5，答案 (5, 2)。

兩個式子裡，哪些未知數的係數是 1 或 −1？選一個，把它單獨留在一邊。

式① x＋3y＝13 的 x 係數是 1，把 3y 移到右邊就得到 x＝…。式② 的 y 係數是 −1，也可以。任選一條路，答案會相同。

選式① 整理出 x 之後，把表示式整個加括號放進式②取代 x，先寫出方程式。括號前的 2 要乘進每一項。

括號前的 2 乘進每一項，合併 y 的同類項，得到只含 y 的一元一次方程式。解出 y，再用你整理出的 x 表示式回代。

26−7y＝5 → −7y＝−21 → y＝3。x＝13−3y＝13−3×3＝4。共同解 (x, y)＝(4, 3)。回驗：式①　4＋3×3＝13 成立；式②　2×4−3＝5 成立。另一條路：由式② 得 y＝2x−5，代入式① 得 x＋3(2x−5)＝13 → 7x−15＝13 → x＝4，同樣得 (4, 3)。

• 錯法：把式① 整理成 x＝13＋3y。
  為什麼錯：移項沒變號。代入得 2(13＋3y)−y＝5 → 26＋5y＝5 → y＝−21/5，與正確的 y＝3 不同。
  補救：移項要變號：x＝13−3y。

• 錯法：把 x＝13−3y 代回式①，得 13＝13。
  為什麼錯：代回原式，不含未知數，得不到資訊。
  補救：改代入式②。

哪一個未知數的係數是 1 或 −1？整理時要小心負號。

式① 的 y 係數是 −1。想辦法讓 y 單獨在一邊且前面是正號：兩邊加 y，再減 11。

把整理出的 y 表示式整個加括號放進式②取代 y，先寫出方程式。括號前的 2 要乘進每一項，包括常數項。

括號前的 2 乘進每一項，合併 x 的同類項，得到只含 x 的一元一次方程式。解出 x，再用你整理出的 y 表示式回代。

11x−22＝11 → 11x＝33 → x＝3。y＝4x−11＝4×3−11＝1。共同解 (x, y)＝(3, 1)。回驗：式①　4×3−1＝11 成立；式②　3×3＋2×1＝11 成立。

• 錯法：整理成 y＝11−4x。
  為什麼錯：沒處理好 −y。代入得 3x＋2(11−4x)＝11 → 22−5x＝11 → x＝11/5，不是 3。取 x＝0 檢查：y＝11−0＝11，代回式① 0−11＝−11，不等於 11。
  補救：4x−y＝11 兩邊加 y 減 11：4x−11＝y。

• 錯法：把 2(4x−11) 寫成 8x−11。
  為什麼錯：2 沒乘到 −11。得 3x＋8x−11＝11 → 11x＝22 → x＝2，再算 y＝4×2−11＝−3，回驗式②：3×2＋2×(−3)＝0，不等於 11。
  補救：括號前的 2 乘進每一項：2(4x−11)＝8x−22。

式① 的 y 係數是 1，可以輕鬆地把 y 單獨留下。

把 2x 移到右邊（變號），y 就單獨留下了。代入式②時，3 要乘進括號。

把整理出的 y 表示式整個加括號放進式②取代 y，先寫出方程式。括號前的 3 要乘進每一項。

括號前的 3 乘進每一項，合併 x 的同類項，得到只含 x 的一元一次方程式。解出 x 時，留意 x 前面的係數正負，再用你整理出的 y 表示式回代。

−x＋3＝4 → −x＝1 → x＝−1。y＝1−2x＝1−2×(−1)＝3。共同解 (x, y)＝(−1, 3)。回驗：式①　2×(−1)＋3＝1 成立；式②　5×(−1)＋3×3＝4 成立。

• 錯法：由 −x＝1 得 x＝1。
  為什麼錯：−x＝1 的兩邊要同乘 −1 才得到 x＝−1。若取 x＝1，則 y＝1−2＝−1，回驗式②：5×1＋3×(−1)＝2，不等於 4。
  補救：把 −x＝1 兩邊同乘 −1。

• 錯法：把 3(1−2x) 寫成 3−2x。
  為什麼錯：3 沒乘到 −2x。得 5x＋3−2x＝4 → 3x＝1 → x＝1/3，不是 −1。
  補救：括號前的 3 乘進每一項：3(1−2x)＝3−6x。

想一想：阿志把 y＝9−x 代入了哪一個式子？這個表示式本來是從哪一個式子來的？

「9＝9」代表什麼？它能幫你決定 x 嗎？回頭數一數：題目給了幾個式子？阿志的過程用到了幾個？

想一想：y＝9−x 是由哪一個式子整理出來的？阿志把它代入了哪一個式子？這樣能得到新資訊嗎？改代入另一個式子時，括號前若是減號，去括號時每一項都要變號。

把 y＝9−x 整個加括號放進另一個式子的 y 位置，去括號時留意負號，合併同類項，得到只含 x 的一元一次方程式。解出 x，再用 y＝9−x 回代。

(1) 錯在：y＝9−x 本來就是式① 的另一種寫法，代回式① 只是兜圈子，得到永遠成立的 9＝9，沒有資訊；應代入還沒用到的式②。(2) 3x−9＝6 → 3x＝15 → x＝5；y＝9−x＝9−5＝4；共同解 (x, y)＝(5, 4)。回驗：式①　5＋4＝9 成立；式②　2×5−4＝6 成立。

• 錯法：改代入式② 時，把 −(9−x) 寫成 −9−x。
  為什麼錯：減號後面的括號，去括號時兩項都要變號。得 2x−9−x＝6 → x−9＝6 → x＝15，再算 y＝9−15＝−6，回驗式②：2×15−(−6)＝36，不等於 6。
  補救：−(9−x)＝−9＋x。

看小凱代入的那一行：把 y 換進 −2y 的位置時，他有沒有加括號？

代入的是 (x−4) 整個式子，所以 −2y 應變成 −2 乘以整個括號。回驗他的答案，看看式② 成不成立。

請自己把正確的代入式寫出來，和小凱那一行逐項比對，看他少做了什麼。

把 −2 乘進括號裡的每一項（負乘負要小心符號），合併同類項，得到只含 x 的一元一次方程式。解出 x，再用 y＝x−4 回代。

(1) 錯在：沒加括號，−2 只乘到 x，漏乘 −4；回驗：式② 3×17−2×13＝25，不等於 13，所以 (17, 13) 不是共同解。(2) x＋8＝13 → x＝5；y＝x−4＝5−4＝1；共同解 (x, y)＝(5, 1)。回驗：式①　1＝5−4 成立；式②　3×5−2×1＝13 成立。

• 錯法：改正時把 −2(x−4) 寫成 −2x−8。
  為什麼錯：−2 乘 −4 應得 ＋8（負負得正）。得 3x−2x−8＝13 → x−8＝13 → x＝21，再算 y＝21−4＝17，回驗式②：3×21−2×17＝29，不等於 13。
  補救：−2×(−4)＝＋8。

小宇每一步都像是合理的。逐行檢查：哪一行的結果和前一行對不起來？

從 −7y＝−28 解出 y 的那一行，除法的結果正負號對嗎？另外，想想他只驗了哪一個式子。

請把小宇寫出的 y 值代回他自己的上一行 −7y＝−28 檢查，看看對不對得上。另外想一想：x 是用哪一個式子回代算出來的？只驗那一個式子，能發現錯誤嗎？

重新解 −7y＝−28，再用 x＝10−2y 回代。最後用式①、式② 兩個都驗。

(1) 錯在最後一步：−7y＝−28 → y＝4，小宇寫成 y＝−4（兩個負數相除得正數）。回驗沒發現，是因為只驗了式①；x 是由式① 算出來的，所以式① 幾乎必然成立；用式②驗：3×18−(−4)＝58，不等於 2。(2) y＝4，x＝10−2×4＝10−8＝2，共同解 (x, y)＝(2, 4)。回驗：式①　2＋2×4＝10 成立；式②　3×2−4＝2 成立。

• 錯法：y 改成 4 之後，x 仍沿用 18，寫 (18, 4)。
  為什麼錯：y 改了，x 也要跟著重新回代。回驗式①：18＋2×4＝26，不等於 10。
  補救：x＝10−2×4＝2。

式② 已經把 y 用 x 表示好了，只要放進式①。

把式① 的 y 換成 (x＋3)，括號前的 2 要乘進每一項。

把 (x＋3) 整個放進式①取代 y，先寫出這個只含 x 的方程式。注意式①中 y 前面有係數 2。

括號前的 2 乘進每一項，合併 x 的同類項，得到只含 x 的一元一次方程式。解出 x，再用 y＝x＋3 回代。

5x＋6＝61 → 5x＝55 → x＝11；y＝x＋3＝11＋3＝14。蘋果每個 11 元，橘子每個 14 元。回驗（對照題目文字）：3 個蘋果和 2 個橘子共 3×11＋2×14＝61 元，橘子比蘋果貴 14−11＝3 元，都符合。

• 錯法：把 2(x＋3) 寫成 2x＋3。
  為什麼錯：2 漏乘常數項 3。得 3x＋2x＋3＝61 → 5x＝58 → x＝58/5，即 11.6，不是整數；再算 y＝14.6，3×11.6＋2×14.6＝64，不等於 61。
  補救：括號前的 2 乘進每一項：2(x＋3)＝2x＋6。

• 錯法：寫成「蘋果 14 元、橘子 11 元」。
  為什麼錯：把 x、y 的意思弄反。橘子比蘋果貴 3 元，要求 y−x＝3；照這種寫法，橘子 11 元、蘋果 14 元，橘子減蘋果：11−14＝−3，不是 3。
  補救：回到題目：x 是蘋果、y 是橘子；蘋果 11 元、橘子 14 元。

式② 很簡單。式① 兩邊都有東西，先不要動它，想想哪個未知數最好單獨留下。

式② 最簡單，把 x 移到右邊（變號）就能把 y 單獨留下。式① 裡的 y 只出現在右邊一次，很好換。

把你整理出的 y 表示式整個加括號放進式①取代 y，先寫出方程式。注意式①右邊還有常數項。

去括號後，左右兩邊都有 x，把 x 項移到同一邊、常數項移到另一邊，合併後解出 x，再用你整理出的 y 表示式回代。

2x−2＝16−x → 3x＝18 → x＝6；y＝13−x＝13−6＝7；共同解 (x, y)＝(6, 7)。回驗：式① 2×(6−1)＝7＋3 成立；式② 6＋7＝13 成立。

• 錯法：把 2(x−1) 展開成 2x−1。
  為什麼錯：2 漏乘 −1。得 2x−1＝16−x → 3x＝17 → x＝17/3，不是 6。
  補救：括號前的 2 乘進每一項：2(x−1)＝2x−2。

• 錯法：把 y＝13−x 代入式②，得 13＝13。
  為什麼錯：代回了原來那一式。
  補救：改代入式①。

沒有係數 1 或 −1 也能做。任選一個未知數整理，表示式會有分母；代入後把整個方程式兩邊同乘分母。

例如由式① 整理 x：先把 2y 移到右邊（變號），再兩邊同除以 3，整個右邊會是一個分數。然後代入式②。

由式①整理出 x 的分數表示式後，把它整個加括號放進式②取代 x，先寫出方程式。再兩邊同乘 3，右邊的 11 和 −5y 都要乘 3。

兩邊每一項同乘 3 去分母，括號前的 2 乘進每一項，合併 y 的同類項，得到只含 y 的一元一次方程式。解出 y，再用你整理出的 x 表示式回代。

14−19y＝33 → −19y＝19 → y＝−1。x＝(7−2×(−1))/3＝(7＋2)/3＝3。共同解 (x, y)＝(3, −1)。回驗：式① 3×3＋2×(−1)＝7 成立；式② 2×3−5×(−1)＝11 成立。

• 錯法：去分母時只乘左邊第一項：2(7−2y)−5y＝11。
  為什麼錯：兩邊的每一項都要乘 3。得 2(7−2y)−5y＝11 → 14−9y＝11 → y＝1/3，不是 −1。
  補救：兩邊每一項都乘 3：2(7−2y)−15y＝33。

• 錯法：把 x 寫成 7−2y/3。
  為什麼錯：分母 3 是除以整個 7−2y，不是只除 2y。代入得 2(7−2y/3)−5y＝11 → 14−19y/3＝11 → y＝9/19，不是 −1。
  補救：寫成 (7−2y)/3，或 7/3−2y/3。

未知數換成 a、b，步驟不變。式① 已經把 a 表示好了。

把式② 裡的 a 換成 (2b−7)，括號前的 3 乘進每一項。

把 (2b−7) 整個放進式②取代 a，先寫出方程式。

括號前的 3 乘進每一項，合併 b 的同類項，得到只含 b 的一元一次方程式。解出 b，再用 a＝2b−7 回代。

2b−21＝−9 → 2b＝12 → b＝6；a＝2b−7＝2×6−7＝5；共同解 (a, b)＝(5, 6)。回驗：式① 5＝2×6−7 成立；式② 3×5−4×6＝−9 成立。

• 錯法：把 3(2b−7) 寫成 6b＋21。
  為什麼錯：3×(−7)＝−21，不是 ＋21。得 6b＋21−4b＝−9 → 2b＝−30 → b＝−15，再算 a＝2×(−15)−7＝−37，回驗式②：3×(−37)−4×(−15)＝−51，不等於 −9。
  補救：−7 乘 3 得 −21。

• 錯法：寫成 (6, 5)。
  為什麼錯：順序要和 (a, b) 一致：a 在前。回驗式①：右邊 2×5−7＝3，不等於 6。
  補救：寫 (a, b)＝(5, 6)。

找係數是 1 或 −1 的未知數，這是選擇的理由。

式① 的 x 係數是 1，把 4y 移到右邊（變號）就整理好了。然後要代入式②。

把整理出的 x 表示式整個加括號放進式②取代 x，先寫出方程式。括號前的 3 要乘進每一項。

括號前的 3 乘進每一項，合併 y 的同類項，得到只含 y 的一元一次方程式。解出 y 時，注意常數項移到另一邊要變號。再用你整理出的 x 表示式回代。

選式① 的 x（係數是 1，整理後沒有分數）。15−14y＝−13 → −14y＝−28 → y＝2；x＝5−4y＝5−4×2＝−3；共同解 (x, y)＝(−3, 2)。回驗：式① −3＋4×2＝5 成立；式② 3×(−3)−2×2＝−13 成立。

• 錯法：由 15−14y＝−13 寫成 −14y＝−13＋15＝2。
  為什麼錯：15 移到右邊要變號，應是 −13−15＝−28。照錯法得 −14y＝2 → y＝−1/7，不是 2。
  補救：移項變號：−14y＝−13−15＝−28。

• 錯法：回代時把 x＝5−4×2 先算 5−4 再乘 2，得 2。
  為什麼錯：乘法先於減法：4×2＝8，再 5−8＝−3。照錯法 (2, 2)，回驗式①：2＋4×2＝10，不等於 5。
  補救：先乘後減：5−4×2＝5−8＝−3。

式② 已經把 y 表示好了。代入式①，式① 裡有分母 2 和 3，想想怎麼去分母。

把式① 的 y 換成 (x＋2)。去分母時，兩邊同乘 2 和 3 的公倍數 6，而且每一項都要乘。

把 (x＋2) 整個放進式①取代 y，先寫出方程式。再兩邊每一項同乘 6 去分母。

兩邊每一項同乘 6，分子 (x＋2) 乘 2 時要乘進每一項，合併 x 的同類項，得到只含 x 的一元一次方程式。解出 x，再用 y＝x＋2 回代。

5x＋4＝24 → 5x＝20 → x＝4；y＝x＋2＝4＋2＝6；共同解 (x, y)＝(4, 6)。回驗：式① 4/2＋6/3＝4 成立；式② 6＝4＋2 成立。

• 錯法：去分母時，(x＋2) 乘 2 卻漏了常數項：3x＋2x＋2＝24。
  為什麼錯：2(x＋2)＝2x＋4。得 3x＋2x＋2＝24 → 5x＝22 → x＝22/5，不是 4。
  補救：括號前的 2 乘進每一項。

• 錯法：兩邊同乘 6 時，右邊的 4 沒有乘：3x＋2(x＋2)＝4。
  為什麼錯：右邊也要乘 6，得 24。得 3x＋2(x＋2)＝4 → 5x＝0 → x＝0，再算 y＝2，回驗式①：0/2＋2/3＝2/3，不等於 4。
  補救：兩邊每一項都乘 6。