內積與投影：如何量出一個方向上的貢獻

適用入口、先備與邊界

適用入口：11 年級數學 A（課綱 G-11A-6、G-11A-7）。 本文串連平面與空間向量的內積、正射影，以及非零向量的平行與垂直；平面向量另包含取值於 $[0, π]$ 的主夾角。

必要先備有三組。第一組是平面、空間直角坐標，以及向量的分量、長度、係數積、加減與線性組合；知道點表示位置，向量表示位移，不把兩者混用。第二組是畢氏定理、餘弦定理，以及 $0^{\circ}$ 到 $180^{\circ}$ 的餘弦，包括 $0^{\circ}$ 、 $90^{\circ}$ 、 $180^{\circ}$ 的值。第三組是實數運算、根式與簡單方程的求解，並能把答案代回檢查。用計算機反查餘弦所對應的角度，會在本文說明，不預設已學過完整的反函數章節。

本文一律使用各軸互相垂直、採相同長度單位的直角坐標系。平面向量有兩個分量，空間向量有三個分量。

讀完後，應能把「沿某方向的部分」寫成完整投影向量，檢查剩餘部分與指定方向的內積為零；能保留內積的正負號求平面主夾角；能以同一個實數倍判定平行，以內積判定非零向量的垂直，並排除參數造成的零向量。

範圍外：外積、行列式與面積、柯西不等式求界、投影矩陣、抽象向量空間，以及點到直線或平面的距離問題。空間向量不另展開夾角求值題。純量投影與投影長只用來釐清名詞，不能取代本篇投影題要求的向量答案。

一、投影不是新發現的影子，突破在於怎樣把它寫成運算

沿著地面向東移動三公尺，再向北移動四公尺，最後位移的長度是五公尺。但問「向東移動了多少」，答案不是五，而是三。

這兩個問題量的不是同一件事：一個量整體位移，另一個只量它在指定方向上的部分。方向換成斜的，仍然可以問同樣的問題；只是不能再直接把第一個分量抄下來。

先約定兩種不同的答案形式：內積的結果是一個數，稱為純量；向量的正射影仍然是一個向量。 一個純量可以有正負號，但正負號不會讓它變成箭頭。下面要建立的，是這兩種不同物件之間的關係。

人們不是等到內積出現，才會處理垂線、斜邊與某一方向上的部分。《幾何原本》第二卷第 12、13 命題，已分別處理鈍角與銳角三角形中的邊長平方關係：作垂線，再利用垂足截出的線段，說明一個邊長平方比另外兩個邊長平方之和多了或少了什麼。這是有證明能力的幾何工具，不是憑圖猜測。Farside

不過，這種以線段長度表達的方式，需要另外交代垂足在什麼位置，以及修正項應該加還是減。以下用今天的坐標作一個教學比較，不是重演古代的計算紀錄。

取 $O = (0, 0)$ 、 $A = (3, 0)$ ，再比較 $B = (1, 2)$ 與 $C = (- 1, 2)$ 。兩個位置離 $O$ 都是 $\sqrt{5}$ ，垂足與 $O$ 的距離也都是 $1$ ，但垂足分別落在 $O$ 的右方與左方。因此

{A B}^{2} = {(3 - 1)}^{2} + 2^{2} = 8 = 9 + 5 - 2 \cdot 3,

{A C}^{2} = {(3 + 1)}^{2} + 2^{2} = 20 = 9 + 5 + 2 \cdot 3 .

若只保留「距離一單位」，左右差異就必須另外說明；若把沿 $O A$ 方向的貢獻記成 $+ 1$ 與 $- 1$ ，兩種情形就有機會放進同一個關係式。舊方法的限制在這裡是表達與分類上的負擔，不是無法算出答案。

到了近代向量分析的形成階段，問題又多了一層：幾何與物理中反覆出現的方向量，除了相加、相減，還能怎樣組合成適合推理的式子？Gibbs 在 1901 年的序文中回顧，他曾於 1881—1884 年印製向量分析講義供交流；Wilson 隨後整理成《Vector Analysis》。Wilson 的序文把關切放在「如何用合適的符號處理幾何、物理中的向量組合」，也提到所參考的 Heaviside、Föppl 著作與四元數背景。這不是從毫無工具的空白突然跳到現代記號，而是既有方法的整理與改造。網際網路檔案館（Internet Archive）

內積在這條發展線上的重要性，是把大小與相對方向合成一個有正負號、又能代數運算的量。接下來會看見，這個量怎樣把夾角、垂直與投影接在一起。

二、內積先產生一個數，不是另一支箭頭

記號說明：本篇把向量寫成粗體小寫字母，例如 $𝐮$ ；課本與課程手冊多寫成 $\vec{u}$ ，意思相同。點仍用大寫字母表示。

設平面向量

𝐮 = (u_{1}, u_{2}), 𝐯 = (v_{1}, v_{2}) .

它們的內積定義為

𝐮 \cdot 𝐯 = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} .

也就是對應分量相乘，再把乘積相加。這個運算也稱為點積；結果是純量。向量分析的早期教材已明確區分這種純量乘積與向量本身；現代坐標算法也保留了這個區分。網際網路檔案館（Internet Archive）

例如

(2, 0) \cdot (3, 4) = 2 \cdot 3 + 0 \cdot 4 = 6 .

答案是 $6$ ，不是 $(6, 0)$ ，也不是 $(6, 4)$ 。但如果問題問的是「 $(3, 4)$ 在 $(2, 0)$ 上的投影向量」，到這裡還沒有完成。

由分量算法，可以直接得到幾個稍後會用的性質：

𝐮 \cdot 𝐯 = 𝐯 \cdot 𝐮,

(𝐯 + 𝐰) \cdot 𝐮 = 𝐯 \cdot 𝐮 + 𝐰 \cdot 𝐮,

(c 𝐯) \cdot 𝐮 = c (𝐯 \cdot 𝐮) .

這些式子分別來自實數乘法的交換律、分配律，以及把共同係數提出。尤其重要的是

𝐮 \cdot 𝐮 = u_{1}^{2} + u_{2}^{2} = {‖ 𝐮 ‖}^{2} .

因此，只要 $𝐮 \neq 𝟎$ ，就有 $𝐮 \cdot 𝐮 > 0$ 。這會保證投影公式的分母不為零。

零向量能算內積，但不能因此得到方向

零向量的每個分量都是零，所以

𝟎 \cdot 𝐮 = 0

對任何 $𝐮$ 都成立。然而，零向量沒有方向；本文不對零向量定義夾角，也不把它列入平行或垂直的方向判定。「某個內積算出零」和「兩個有方向的非零向量互相垂直」不是不附條件就能互換的話。課程手冊在 G-11A-6、G-11A-7 的相關約定中，也明列向量的垂直不討論零向量。

三、為什麼對應分量相乘，竟然能量出夾角？

把兩個非零向量的起點平移到同一點。它們的主夾角取

0 \leq θ \leq π,

也就是 $0^{\circ}$ 到 $180^{\circ}$ 。這不是帶順、逆時針方向的轉角；同向取 $0$ ，反向取 $π$ 。

先看兩向量不平行的情形。它們與兩終點之間的連線形成一個三角形，第三邊向量可以寫成 $𝐯 - 𝐮$ 。從坐標展開，

\begin{aligned} {‖ 𝐯 - 𝐮 ‖}^{2} & = {(v_{1} - u_{1})}^{2} + {(v_{2} - u_{2})}^{2} \\ = {‖ 𝐯 ‖}^{2} + {‖ 𝐮 ‖}^{2} - 2 (u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2}) \\ = {‖ 𝐯 ‖}^{2} + {‖ 𝐮 ‖}^{2} - 2 𝐮 \cdot 𝐯 . \end{aligned}

另一方面，餘弦定理給出

{‖ 𝐯 - 𝐮 ‖}^{2} = {‖ 𝐯 ‖}^{2} + {‖ 𝐮 ‖}^{2} - 2 ‖ 𝐮 ‖ ‖ 𝐯 ‖ \cos θ .

兩式比較，得到

𝐮 \cdot 𝐯 = ‖ 𝐮 ‖ ‖ 𝐯 ‖ \cos θ .

這不是兩條碰巧給出相同數字的公式。坐標算法與幾何公式描述的是同一件事：內積是兩個長度的乘積，再依相對方向作有號修正。現代向量教材也以這個關係連結坐標算法與夾角。PBR Book

此關係還說明：在描述同一對向量、保留同一長度單位的前提下，僅旋轉或鏡射正交坐標軸，不會改變內積，因為長度與夾角沒有改變。改變長度單位或把坐標數值整體縮放，不包含在這個不變性敘述內。

剛才的三角形推導沒有把退化三角形當成一般三角形使用。若 $𝐯 = λ 𝐮$ ，其中 $λ \neq 0$ ，則直接由分量運算得到

𝐮 \cdot 𝐯 = λ {‖ 𝐮 ‖}^{2} .

當 $λ > 0$ ，兩向量同向， $θ = 0$ ；當 $λ < 0$ ，兩向量反向， $θ = π$ 。代入上面的幾何公式也都成立，所以兩個端點沒有被漏掉。

保留正負號，才能找回正確的角

對非零向量，設

d = 𝐮 \cdot 𝐯, M = ‖ 𝐮 ‖ ‖ 𝐯 ‖ > 0 .

那麼

\cos θ = \frac{d}{M} .

在 $[0, π]$ 上，餘弦由 $1$ 嚴格遞減到 $- 1$ ，因此每個合法比值都對應唯一主夾角。可以直接辨認特殊角，或用計算機的反餘弦功能反查；使用角度制時讀成度數，使用弧度制時讀成弧度。

內積與長度乘積的關係	主夾角	判讀
$d = M$	$θ = 0$	同向
$0 < d < M$	$0 < θ < π / 2$	嚴格銳角
$d = 0$	$θ = π / 2$	直角
$- M < d < 0$	$π / 2 < θ < π$	嚴格鈍角
$d = - M$	$θ = π$	反向

注意，正內積不一定是嚴格銳角，還可能同向；負內積不一定是嚴格鈍角，還可能反向。

核心示例：鉛直方向也能直接求角

取

𝐮 = (0, 2), 𝐯 = (- \sqrt{3}, - 1) .

兩向量都非零。內積與長度分別是

d = 0 (- \sqrt{3}) + 2 (- 1) = - 2,

‖ 𝐮 ‖ = 2, ‖ 𝐯 ‖ = \sqrt{3 + 1} = 2 .

所以

\cos θ = \frac{- 2}{2 \cdot 2} = - \frac{1}{2}, θ = 120^{\circ} = \frac{2 π}{3} .

回查： $𝐯 - 𝐮 = (- \sqrt{3}, - 3)$ ，因此第三邊長度平方為 $3 + 9 = 12$ 。用剛求出的角代入餘弦定理，

2^{2} + 2^{2} - 2 \cdot 2 \cdot 2 \cos 120^{\circ} = 12,

相符。

若把負內積擅自取絕對值，就會算成 $60^{\circ}$ ，丟失原來的方向關係。若把 $𝐯$ 改成 $- 𝐯$ ，內積才會真的改成 $+ 2$ ，夾角也才是 $60^{\circ}$ 。

同一個 $𝐮 = (0, 2)$ ，與 $(0, 4)$ 的比值 $d / M = 1$ ，主夾角為 $0$ ；與 $(0, - 6)$ 的比值為 $- 1$ ，主夾角為 $π$ ；與 $(3, 0)$ 的內積為零，主夾角為 $π / 2$ 。這套算法不需要斜率，因此鉛直方向不會成為例外。

四、平行與垂直，回答的是兩個不同問題

平行：能否用同一個倍數，配對所有分量？

對兩個非零向量，平行的判準是

𝐯 = λ 𝐮 對某一實數 λ 成立。

由於兩向量都非零，這個 $λ$ 必不為零。正倍數表示同向，負倍數表示反向。

例如

𝐮 = (2, 0), 𝐯 = (- 3, 0) .

由第一個分量得到 $λ = - 3 / 2$ ，再查第二個分量： $0 = (- 3 / 2) \cdot 0$ ，也成立。因此兩向量平行且反向。

不要寫成 $- 3 / 2 = 0 / 0$ 來檢查比例，因為 $0 / 0$ 沒有定義。檢查倍數等式，不必把每個分量都拿來相除。

垂直：兩個非零方向的內積是否為零？

當兩向量皆非零，幾何公式中的長度乘積不為零，因此

𝐮 ⟂ 𝐯 ⟺ 𝐮 \cdot 𝐯 = 0 .

例如 $(1, 2) \cdot (2, - 1) = 2 - 2 = 0$ ，兩者皆非零，故互相垂直。

但平行與垂直不是把所有方向關係分成兩類。 $(1, 0)$ 與 $(1, 1)$ 既不是同一倍數，也沒有零內積，因此既不平行也不垂直。

有參數時，解完方程還要檢查向量是否消失

設

𝐮 (t) = (t, 0), 𝐯 (t) = (t - 1, 1), t \in ℝ .

要找兩向量垂直的參數，先解

𝐮 (t) \cdot 𝐯 (t) = t (t - 1) = 0,

得到候選值 $t = 0$ 或 $t = 1$ 。

當 $t = 0$ ， $𝐮 = (0, 0)$ ，不符合非零向量的垂直判定，必須排除。當 $t = 1$ ，兩向量是 $(1, 0)$ 與 $(0, 1)$ ，皆非零，而且內積確實為零。因此完整答案是

t \in {1} .

排除 $t = 0$ 不是補上一個與計算無關的附註，而是讓答案符合原來問題的定義。

五、投影公式不是背出來的：先決定答案必須滿足什麼

現在固定 $𝐮 \neq 𝟎$ ，要找 $𝐯$ 在 $𝐮$ 所指定方向上的正射影。

這裡投影到的是通過原點、沿著 $𝐮$ 的整條直線，不是只有正向的射線，也不是從原點到 $𝐮$ 終點的有限線段。

把投影向量記成 $𝐩$ 。它必須是 $𝐮$ 的某個實數倍：

𝐩 = c 𝐮 .

這樣才能保證它留在指定直線上。再把沒有保留下來的部分記成

𝐫 = 𝐯 - 𝐩 .

$𝐫$ 稱為剩餘向量，也可稱殘差向量。正射影要求

𝐫 \cdot 𝐮 = 0 .

如果 $𝐫 \neq 𝟎$ ，這表示它的方向與 $𝐮$ 垂直；如果 $𝐫 = 𝟎$ ，則表示 $𝐯$ 已全部留在指定直線上，不需要替零殘差指定一個垂直方向。

將 $𝐩 = c 𝐮$ 代入，

(𝐯 - c 𝐮) \cdot 𝐮 = 0 .

利用內積的分配律與係數性質，

𝐯 \cdot 𝐮 - c (𝐮 \cdot 𝐮) = 0 .

因為 $𝐮 \cdot 𝐮 > 0$ ，可唯一解出

c = \frac{𝐯 \cdot 𝐮}{𝐮 \cdot 𝐮} .

但 $c$ 只是一個係數，還不是所求的向量。乘回 $𝐮$ ，才得到

{proj}_{𝐮} (𝐯) = 𝐩 = \frac{𝐯 \cdot 𝐮}{𝐮 \cdot 𝐮} 𝐮, 𝐮 \neq 𝟎 .

這個推導同時說明了存在與唯一：上式確實給出符合兩個條件的向量，而任何符合條件的向量都必須使用同一個 $c$ 。

四種看似相近、其實不能混交的答案

物件	公式	它是什麼？
內積 $d$	$𝐯 \cdot 𝐮$	有號純量
係數 $c$	$(𝐯 \cdot 𝐮) / (𝐮 \cdot 𝐮)$	乘回 $𝐮$ 的中間係數
投影向量 $𝐩$	$c 𝐮$	本篇投影題要求的答案
投影長	$‖ 𝐩 ‖$	非負長度，不是向量

若另外看到「純量投影」一詞，常指沿 $𝐮$ 正向的有號分量

s = \frac{𝐯 \cdot 𝐮}{‖ 𝐮 ‖} .

它可能為負，而投影長是 $| s |$ 。兩者都仍是純量；本文辨明這些名詞，是為了避免拿它們代替 $𝐩$ ，不是把它們另列成投影題的最終目標。課程手冊也明確區分正射影長與向量的正射影。

核心示例：為什麼 $6$ 和 $3 / 2$ 都還不是答案？

設

𝐮 = (2, 0), 𝐯 = (3, 4) .

先算

𝐯 \cdot 𝐮 = 6, 𝐮 \cdot 𝐮 = 4,

所以

c = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}, 𝐩 = \frac{3}{2} (2, 0) = (3, 0) .

剩餘向量是

𝐫 = 𝐯 - 𝐩 = (0, 4) .

回查有兩部分。第一， $𝐩 = (3 / 2) 𝐮$ ，確實在指定直線上。第二，

𝐫 \cdot 𝐮 = (0, 4) \cdot (2, 0) = 0,

而且 $𝐫 \neq 𝟎$ ，故殘差方向與 $𝐮$ 垂直。分解也能加回原向量：

(3, 0) + (0, 4) = (3, 4) .

這個例子的內積是 $6$ ，係數是 $3 / 2$ ，投影長是 $3$ ，投影向量才是 $(3, 0)$ 。它們不能互換。

投影向量 𝐩 在 𝐮 所在直線上，終點 P 超過 U 仍是合法投影；由 P 指向 V 的虛線表示殘差 𝐫=𝐯−𝐩。 — 圖 1｜ $𝐩$ 的終點超過 $𝐮$ 的終點，仍是合法投影，因為投影目標是整條直線。虛線箭頭由 $P$ 指向 $V$ ，表示 $𝐫 = 𝐯 - 𝐩$ 。大寫字母表示點，粗體小寫字母表示向量。

只驗 $(𝐯 - 𝐩) \cdot 𝐮 = 0$ 還不夠，必須同時確認 $𝐩$ 是 $𝐮$ 的倍數。例如誤取 $𝐪 = (3, 99)$ ，仍有

(𝐯 - 𝐪) \cdot 𝐮 = (0, - 95) \cdot (2, 0) = 0,

但 $𝐪$ 根本不在橫軸上，所以不是投影。驗算的兩個條件缺一不可。

為什麼分母不能隨便省掉？

方向向量不一定是單位向量。用 $(2, 0)$ 或 $(4, 0)$ 指定同一條直線，投影結果不應改變。

一般而言，把 $𝐮$ 改成 $k 𝐮$ ，其中 $k \neq 0$ ，則

\begin{aligned} {proj}_{k 𝐮} (𝐯) & = \frac{𝐯 \cdot (k 𝐮)}{(k 𝐮) \cdot (k 𝐮)} (k 𝐮) \\ = \frac{k (𝐯 \cdot 𝐮)}{k^{2} (𝐮 \cdot 𝐮)} k 𝐮 \\ = {proj}_{𝐮} (𝐯) . \end{aligned}

因此，方向向量的長度改變，甚至把它反向，投影到同一條直線所得的向量都不變。分母 $𝐮 \cdot 𝐮$ 正是在校正方向向量本身的尺度。

六、負內積不是壞答案，而是投影落在另一側

取

𝐮 = (2, 1), 𝐯 = (- 3, 1) .

內積與係數為

𝐯 \cdot 𝐮 = - 6 + 1 = - 5, 𝐮 \cdot 𝐮 = 5, c = - 1 .

所以

𝐩 = (- 2, - 1) .

投影向量與 $𝐮$ 反向，但仍在同一條直線上。剩餘向量為

𝐫 = (- 3, 1) - (- 2, - 1) = (- 1, 2) .

回查： $𝐩 = - 𝐮$ ，且

𝐫 \cdot 𝐮 = (- 1) \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 0 .

兩部分加回 $(- 3, 1)$ ；長度平方也符合這次非退化垂直分解：

{‖ 𝐯 ‖}^{2} = 10, {‖ 𝐩 ‖}^{2} + {‖ 𝐫 ‖}^{2} = 5 + 5 = 10 .

這裡還能把投影與平面夾角接起來：

\cos θ = \frac{- 5}{\sqrt{5} \sqrt{10}} = - \frac{1}{\sqrt{2}}, θ = 135^{\circ} .

負號同時告訴我們，主夾角大於 $90^{\circ}$ ，而沿 $𝐮$ 正向的貢獻是負的。它沒有告訴我們兩向量一定反向；這裡的夾角明明是 $135^{\circ}$ ，不是 $180^{\circ}$ 。

𝐮 與 𝐯 的主夾角是 135°；投影 𝐩=−𝐮 與 𝐮 反向，P 的直角記號表示殘差 𝐫 垂直於指定直線。 — 圖 2｜ $𝐮$ 與 $𝐯$ 的主夾角為 $135^{\circ}$ ，而 $𝐩 = - 𝐮$ 。在 $P$ 的直角標記表示非零殘差與指定直線垂直，並不是說原向量 $𝐯$ 與 $𝐮$ 垂直。

現在把零的情形放回來看。仍固定 $𝐮 = (2, 1)$ ：

被投影向量 $𝐯$	投影 $𝐩$	殘差 $𝐫$	正確解釋
$(6, 3) = 3 𝐮$	$(6, 3)$	$𝟎$	原向量已完全投影；零殘差沒有垂直方向
$(- 1, 2)$	$𝟎$	$(- 1, 2)$	原向量非零且與 $𝐮$ 垂直；投影本身沒有方向
$𝟎$	$𝟎$	$𝟎$	可以投影零向量，但不替它定義夾角

若改成拿 $𝐮 = 𝟎$ 指定方向，則方向根本沒有指定，分母也變成零；本文的方向投影不定義這種輸入。

七、走進三維：多一個分量，不另換一套邏輯

對空間向量

𝐮 = (u_{1}, u_{2}, u_{3}), 𝐯 = (v_{1}, v_{2}, v_{3}),

內積的坐標算法是

𝐮 \cdot 𝐯 = u_{1} v_{1} + u_{2} v_{2} + u_{3} v_{3},

而

𝐮 \cdot 𝐮 = {‖ 𝐮 ‖}^{2} = u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2} .

這仍是同一正交坐標原理：把對應分量的乘積相加。兩個不平行的空間向量仍能放在同一個平面內，第三節的餘弦定理推理不變，坐標展開只多一個分量；平行且非零時，內積則為非零的倍數乘上長度平方。因此，非零向量的垂直判準仍為內積零。投影的推導也仍然從「 $𝐩 = c 𝐮$ ，而 $(𝐯 - 𝐩) \cdot 𝐮 = 0$ 」開始。三維並不需要用外積取代這個過程。PBR Book

核心示例：三維投影必須交出三個分量

設

𝐮 = (1, 2, 2), 𝐯 = (4, 0, 1) .

先確認 $𝐮 \neq 𝟎$ ，再算

𝐯 \cdot 𝐮 = 4 + 0 + 2 = 6, 𝐮 \cdot 𝐮 = 1 + 4 + 4 = 9 .

因此

c = \frac{6}{9} = \frac{2}{3},

𝐩 = \frac{2}{3} (1, 2, 2) = (\frac{2}{3}, \frac{4}{3}, \frac{4}{3}) .

剩餘向量為

𝐫 = 𝐯 - 𝐩 = (\frac{10}{3}, - \frac{4}{3}, - \frac{1}{3}) .

回查： $𝐩$ 是 $𝐮$ 的同一倍數，且

𝐫 \cdot 𝐮 = \frac{10}{3} - \frac{8}{3} - \frac{2}{3} = 0 .

殘差非零，故與 $𝐮$ 垂直。逐分量相加也回到原向量：

(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}, \frac{4}{3}) + (\frac{10}{3}, - \frac{4}{3}, - \frac{1}{3}) = (4, 0, 1) .

還能再檢查長度平方： ${‖ 𝐩 ‖}^{2} = 4$ 、 ${‖ 𝐫 ‖}^{2} = 13$ ，總和 $17$ 正好等於 ${‖ 𝐯 ‖}^{2}$ 。

這個投影的長度是 $2$ ，但只交 $2$ 仍不是向量答案。空間投影沒有因為能畫成一支箭頭，就免去三個分量所承載的方向資訊。

三維投影所在平面的正視圖：畫面水平沿 𝐮、鉛直沿殘差 𝐫；O、U、P、V 標示原三維坐標，畫面兩軸不是原 x、y 軸。 — 圖 3｜只正視 $𝐮$ 與 $𝐯$ 所在的平面；水平方向沿 $𝐮$ ，鉛直方向沿本例非零殘差 $𝐫$ 。圖上點的標籤保留原三維坐標，畫面兩軸不是原來的 $x, y$ 軸。此視圖在該平面內等比例，不以一般立體透視圖上的表面角度代替垂直驗算。

空間平行：三個分量都要接受同一個倍數檢查

考慮

𝐚 = (1, 0, 2), 𝐛 = (- 2, 0, - 4) .

第一個分量給出 $λ = - 2$ ，另外兩個分量也符合

0 = (- 2) \cdot 0, - 4 = (- 2) \cdot 2 .

所以 $𝐛 = - 2 𝐚$ ，兩個非零向量平行且反向。若把 $𝐛$ 改成 $(- 2, 1, - 4)$ ，第二個分量不再符合，便不平行；不能只看兩個分量就下結論。

空間垂直：參數解也必須排除零向量

設

𝐚 (t) = (t - 1, 1 - t, 0), 𝐛 (t) = (t, 2, t + 1), t \in ℝ .

內積為

𝐚 (t) \cdot 𝐛 (t) = t (t - 1) + 2 (1 - t) = (t - 1) (t - 2) .

方程給出候選值 $t = 1, 2$ 。當 $t = 1$ ， $𝐚 = 𝟎$ ，必須排除。當 $t = 2$ ，

𝐚 = (1, - 1, 0), 𝐛 = (2, 2, 3),

兩者非零，且內積 $2 - 2 + 0 = 0$ 。因此完整參數集合是

t \in {2} .

從二維到三維，真正不變的不是某個外觀相似的圖，而是判準的結構：平行查同一倍數，垂直查有條件的零內積，投影查指定直線與零殘差內積。

八、這種表示在當時改變了什麼，今天又用在哪裡？

回到前面的發展脈絡：內積沒有讓人類第一次知道怎樣作垂線，也沒有讓古代已證明的邊長關係突然變成真理。它增加的是一套可以持續組合的運算語言。

早期幾何敘述要分別交代垂足的位置與線段加減；現在有號內積把這個差異放進 $\cos θ$ 與坐標乘積的正負號。又因為內積對加法有分配律，把一個向量拆成幾部分之後，各部分對指定方向的貢獻仍能加回來。這不是只把句子縮短，而是讓分解、合成與驗算服從同一套規則。

在歷史上可以直接核對的改變，是這套語言確實進入了當時的教學與書寫。Wilson 在 1901 年的序文記載，Gibbs 在電與磁、光的電磁理論課程中使用向量分析；書中第二章印刷第 101 頁，也以純量乘積表達力在共同平移位移下的功，並用分配律合併多個力的貢獻。這支持「已經用於課程與力學表達」，不等於證明所有領域當時都已採用，更不等於所有舊方法從此失效。網際網路檔案館（Internet Archive）

功：有方向的兩個量，合成一個沒有方向的結果

現代力學中，若一個力的大小與方向在過程中保持不變，它在位移 $𝐝$ 上作的功是

W = 𝐅 \cdot 𝐝 .

這裡 $𝐅$ 是力向量， $𝐝$ 是位移向量，而 $W$ 是純量；若力用牛頓、位移用公尺，功的單位就是焦耳。非恆定力的情形不能一概只拿某一次的力與總位移作內積。OpenStax

作一個假想教學情境：某物體位移為 $𝐝 = (5, 0)$ 公尺，過程中受到固定的力 $𝐅 = (6, 8)$ 牛頓。這個力所作的功是

W = 6 \cdot 5 + 8 \cdot 0 = 30 焦耳 .

若不管方向，只乘力的長度 $10$ 與位移長度 $5$ ，會得到錯誤的 $50$ 。

用投影回查也一樣：沿橫向取 $𝐮 = (1, 0)$ ，力的投影是 $(6, 0)$ 牛頓；此部分乘上橫向位移五公尺，得到三十焦耳。剩下的 $(0, 8)$ 牛頓與本次位移垂直，對這次功的貢獻為零。這不表示垂直的力在所有物理問題中都沒有作用，而只是在回答「這個力對這次位移作了多少功」。

數位空間中的方向限制：保留可移動的部分

今天的三維軟體也直接提供向量投影運算。例如 Unity 的 Vector3.Project 以一個向量及指定方向為輸入，回傳三維投影向量；官方軌道範例把朝向目標的向量投影到軌道方向，再把結果傳給 AddForce 施力。在這個例子中，投影負責求出沿指定直線保留的部分；施力後如何運動，仍由其他物理條件決定，不能只靠這一步就保證物體被限制在軌道上。Unity 官方文件

把第七節的數字看成另一個簡化的教學模型：各分量採一致的場景長度單位，輸入希望移動 $(4, 0, 1)$ ，而允許保留的方向由 $(1, 2, 2)$ 指定。若模型規定「只保留沿該直線的位移部分」，結果便是

(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}, \frac{4}{3}),

被移除的部分則是

(\frac{10}{3}, - \frac{4}{3}, - \frac{1}{3}) .

我們已經算過，它對指定方向的內積恰好為零。因此被移除的不是任意三個數，而是對那個方向沒有貢獻的剩餘部分。

模型也有邊界：這個投影只處理方向分解，不會自動處理軌道端點、碰撞或真實物體的受力；把數學投影用作位移限制，是這個教學模型另外作的選擇，不是把 Unity 的施力範例原封不動搬過來。

軟體對幾乎為零的方向輸入也可能另設保護回傳值，那是程式約定，不能倒過來替數學中的零向量創造方向。Unity 文件另記載：指定方向幾乎為零時，函式回傳零向量；本文不以這個軟體約定取代 $𝐮 \neq 𝟎$ 的數學條件。Unity 官方文件

九、最後要分清的，不只是三條公式

對非零的指定方向 $𝐮$ ，

𝐯 \cdot 𝐮

是一個有號純量；它同時受到兩向量大小與相對方向影響。要拿它求平面主夾角，必須除以兩個非零長度的乘積，而且保留負號與 $0, π$ 兩個端點。

𝐩 = \frac{𝐯 \cdot 𝐮}{𝐮 \cdot 𝐮} 𝐮

才是投影向量。它可以同向、反向，也可以為零；投影到整條直線，不表示答案一定落在方向向量那一小段箭頭之內。

𝐫 = 𝐯 - 𝐩, 𝐫 \cdot 𝐮 = 0

則說明沒有保留下來的部分，對指定方向的內積為零。殘差非零時才談它的垂直方向；殘差為零時，說明分解已經完全，不是出現了一支指向某處的零箭頭。

這就是內積與投影讓人多看見的關係：整體有多大，與它對某個方向貢獻多少，是兩個不同的問題；一個數值判斷，與一個保留方向的向量答案，也不能互相替代。