回課文。共 18 題，分六組，每組 3 題。每題先自己做，需要時再依序打開提示。看過第 3 層以上提示才做出來的題目，算是練習，還不算獨立完成；隔一段時間，不看提示，把原題重做一次。L5 會揭示完整解答。
共同規則：題目的情境和數字都是為了練習設計的假設，不是真實資料。每題的變異數都已經給你，不需要查表或使用計算機。請寫出「σ=√（變異數）=（數）（單位）」，並平方回去檢查。答案請寫成整數、小數、分數或最簡根式，並寫上單位。
社團闖關遊戲（練習用的假設情境）：一次闖關的得分 X（分），平均是 60 分，變異數 Var(X)=64 分²。求標準差 σ，並寫上單位。
提示（一次只開一層，先自己試）：
題目問的是標準差。先分清楚：題目給的是變異數還是標準差？怎麼看得出來？
標準差和變異數之間只有一個關係式。題目還給了平均 60 分，想想這個關係式用得到它嗎？
σ=√Var(X)：把 64 放進根號，找出「自乘等於 64」的非負數。單位要回到原來的「分」。
設定：σ=√64 分。把 64 寫成「某個數×同一個數」，那個數就是答案。最後一步請你自己完成，並平方回去核對。
變異數的單位是分²，所以 64 分² 是變異數。σ=√64=8，因為 8×8=64 且 8≥0。平均 60 分用不到。檢查：8²=64。單位回到分。答案：σ=8 分。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：寫成「σ=√（變異數，帶平方單位）=（數）（原單位）」一整行，再平方回去核對是否等於題目給的變異數。
回到課文：定義：標準差是變異數的正平方根、由變異數求標準差的五個步驟、常見的錯與自我檢查。補救後請遮住解答重做。
某機器每小時產量 X（件）的變異數 Var(X)=50 件²。求標準差 σ，答案寫成最簡根式（根號內不含平方因數），並寫上單位。
提示（一次只開一層，先自己試）：
先判斷 50 是不是某個整數的平方。如果不是，答案會帶著根號。
50 的因數裡有沒有「平方數」（1 除外）？找最大的一個。
把 50 寫成「平方數×另一個數」，利用 √(ab)=√a×√b，把平方數的根提到根號外。
設定：50=25×2，所以 σ=√(25×2) 件。接著把 √25 算出來放到根號外，根號內剩下的數不再含平方因數。
50 的最大平方因數是 25，50=25×2。σ=√25×√2=5√2（件）。檢查：(5√2)²=25×2=50，單位是件。答案：σ=5√2 件。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：寫成「σ=√（變異數，帶平方單位）=（數）（原單位）」一整行，再平方回去核對是否等於題目給的變異數。
回到課文：由變異數求標準差的五個步驟、常見的錯與自我檢查。補救後請遮住解答重做。
某班測驗的分數 X（分），變異數 Var(X)=121 分²。三位同學各說一句：甲：「σ=121 分」；乙：「σ=11 分或 −11 分，兩個都對」；丙：「σ=11 分」。三人中誰的說法正確？對另外兩人，各指出錯在哪裡。
提示（一次只開一層，先自己試）：
先自己算出標準差（帶單位），再拿去對照三個人的說法。
看甲的數字有沒有經過「開根號」；看乙說的標準差可不可以有兩個值。
標準差定義成變異數的「正平方根」。拿這個定義，對三個人的說法逐一檢查。
先算 √121（單位分），再逐一對照：甲的數字是否經過開根號？乙為什麼有兩個值？最後的判斷留給你。
σ=√121=11（分）。丙正確。甲：121 是變異數（單位分²），沒有開根號。乙：(−11)²=121 沒錯，但標準差定義成正平方根，只取非負的 11，不能寫成兩個值。答案：丙正確，σ=11 分。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：寫成「σ=√（變異數，帶平方單位）=（數）（原單位）」一整行，再平方回去核對是否等於題目給的變異數。
回到課文：定義：標準差是變異數的正平方根、條件與邊界、常見的錯與自我檢查。補救後請遮住解答重做。
籃球投籃遊戲（練習用的假設情境）：一輪的得分 X（分）的變異數 Var(X)=81 分²。求標準差 σ，並平方回去檢查。
提示（一次只開一層，先自己試）：
題目給的是變異數（單位是分²）。要求的是標準差。
把 81 放進根號。想一想九九乘法表裡哪個乘積是 81。
σ=√81，找出自乘等於 81 的非負數；單位回到分。
設定：σ=√81 分。找到那個數之後，把它平方，看有沒有回到 81。
9×9=81，且 9≥0，所以 σ=9 分。檢查：9²=81，單位是分。答案：σ=9 分。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：寫成「σ=√（變異數，帶平方單位）=（數）（原單位）」一整行，再平方回去核對是否等於題目給的變異數。
回到課文：由變異數求標準差的五個步驟。補救後請遮住解答重做。
抽卡遊戲（練習用的假設情境）：每次抽到的點數 X（點）的變異數 Var(X)=2.25 點²。求標準差 σ（寫成小數），並寫上單位。
提示（一次只開一層，先自己試）：
變異數是小數時，先想想怎麼把小數寫成分數，再開根號。
2.25 是百分位的小數，可以寫成「某整數÷100」。
2.25=整數/100，用 √(a/b)=√a÷√b，分子分母分別開根號。
設定：2.25=225/100，σ=√225÷√100 點，其中 √100=10。接著把 √225 找出來再除以 10。
2.25=225/100。√225=15（15×15=225），√100=10，σ=15÷10=1.5（點）。檢查：1.5²=2.25。答案：σ=1.5 點。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：寫成「σ=√（變異數，帶平方單位）=（數）（原單位）」一整行，再平方回去核對是否等於題目給的變異數。
回到課文：由變異數求標準差的五個步驟。補救後請遮住解答重做。
便利商店一天賣出的某商品件數 X（件）的變異數 Var(X)=169/4 件²（練習用的假設情境）。求標準差 σ，寫成最簡分數，並寫上單位。
提示（一次只開一層，先自己試）：
變異數是分數。想想分數的根號怎麼處理。
分子 169 和分母 4，各自是不是某個整數的平方？
用 √(a/b)=√a÷√b，分子和分母分別開根號。
設定：σ=√169÷√4 件。分別求出兩個根號的值，再組成一個分數。
√169=13（13×13=169），√4=2，σ=13/2（件），即 6.5 件。檢查：(13/2)²=169/4。答案：σ=13/2 件。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：寫成「σ=√（變異數，帶平方單位）=（數）（原單位）」一整行，再平方回去核對是否等於題目給的變異數。
回到課文：由變異數求標準差的五個步驟。補救後請遮住解答重做。
某測驗得分 X（分）的變異數 Var(X)=24 分²。求標準差 σ，答案寫成最簡根式（根號內不含平方因數），並寫上單位。
提示（一次只開一層，先自己試）：
24 是不是某個整數的平方？如果不是，答案會帶根號。
找 24 的平方因數（4、9、16 ……中，哪個整除 24）。
把 24 寫成「最大的平方因數×另一個數」，把平方數的根號提出來。
設定：24=4×6，σ=√4×√6 分。把 √4 算出來，注意根號內剩下的 6 不能再化簡。
24=4×6，σ=√4×√6=2√6（分）。6 沒有平方因數，已是最簡。檢查：(2√6)²=4×6=24。答案：σ=2√6 分。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：寫成「σ=√（變異數，帶平方單位）=（數）（原單位）」一整行，再平方回去核對是否等於題目給的變異數。
回到課文：由變異數求標準差的五個步驟、常見的錯與自我檢查。補救後請遮住解答重做。
某工廠零件長度 X（公釐）的變異數 Var(X)=72 公釐²。求標準差 σ，答案寫成最簡根式，並寫上單位。
提示（一次只開一層，先自己試）：
先看 72 是不是完全平方數，如果不是，找平方因數。
72 的平方因數有好幾個（4、9、36 ……），選最大的，一次化到最簡。
把 72 寫成「最大平方因數×另一個數」，再提出根號。
設定：72=36×2，σ=√36×√2 公釐。把 √36 算出來放在外面。
72=36×2，σ=√36×√2=6√2（公釐）。檢查：(6√2)²=36×2=72。答案：σ=6√2 公釐。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：寫成「σ=√（變異數，帶平方單位）=（數）（原單位）」一整行，再平方回去核對是否等於題目給的變異數。
回到課文：由變異數求標準差的五個步驟、常見的錯與自我檢查。補救後請遮住解答重做。
某物品長度 X（公尺）的變異數 Var(X)=7/9 公尺²（練習用的假設情境）。求標準差 σ，答案寫成最簡形式（分母不留根號），並寫上單位。
提示（一次只開一層，先自己試）：
這是分數。分子和分母各自是不是完全平方數？
7 不是完全平方數，9 是。想想這樣答案會長什麼樣子。
用 √(a/b)=√a÷√b，分子分母分別開根號；根號不能化簡的就保留。
設定：σ=√7÷√9 公尺。把 √9 算出來，分母就沒有根號。
√7 不能化簡，√9=3，σ=√7/3（公尺）。檢查：(√7/3)²=7/9。答案：σ=√7/3 公尺。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：寫成「σ=√（變異數，帶平方單位）=（數）（原單位）」一整行，再平方回去核對是否等於題目給的變異數。
回到課文：由變異數求標準差的五個步驟。補救後請遮住解答重做。
小明的作業：「某遊戲得分 X（分）的變異數 Var(X)=36 分²，所以標準差 σ=36÷2=18 分。」請指出小明哪一步錯了、為什麼錯，並寫出正確的標準差。
提示（一次只開一層，先自己試）：
先把小明的最後一步，用「平方回去」的方法驗一驗：18 平方會是多少？
標準差和變異數的關係不是除法。小明用的是哪一種運算？
標準差=變異數的正平方根。想想「÷2」和「開根號」有什麼不同。
驗算：18×18 等於多少？有沒有回到 36？接著自己算 √36 並寫上單位。
小明把「開根號」當成「除以 2」。驗算：18²=324，不是 36，所以 18 分不對。正確：σ=√36=6（分），因為 6×6=36。答案：小明錯在除以 2，正確 σ=6 分。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：寫成「σ=√（變異數，帶平方單位）=（數）（原單位）」一整行，再平方回去核對是否等於題目給的變異數。
回到課文：常見的錯與自我檢查、由變異數求標準差的五個步驟。補救後請遮住解答重做。
小美的作業：「某測驗得分 X（分）的變異數 Var(X)=100 分²。因為 100=64+36，所以 σ=√100=√64+√36=8+6=14 分。」請指出錯在哪一步，並寫出正確的標準差。
提示（一次只開一層，先自己試）：
用「平方回去」驗小美的答案：14 的平方是多少？是 100 嗎？
小美把根號裡的和拆成了兩個根號相加，這一步成立嗎？
根號可以拆乘法 √(ab)=√a×√b，但加法不行。直接算 √100 就好。
先算 14×14，看有沒有等於 100。再自己算 √100（不用拆），並寫上單位。
14²=196，不是 100，所以 14 分不對。錯在 √(64+36)=√64+√36 這一步：根號不能拆加法（√100=10，而 8+6=14）。正確：σ=√100=10（分），因為 10×10=100。答案：錯在拆加法的根號，σ=10 分。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：寫成「σ=√（變異數，帶平方單位）=（數）（原單位）」一整行，再平方回去核對是否等於題目給的變異數。
回到課文：常見的錯與自我檢查、由變異數求標準差的五個步驟。補救後請遮住解答重做。
小傑的作業：「某機器每小時產量 X（件）的變異數 Var(X)=75 件²，所以 σ=√75=√(25×3)=25√3 件。」請指出錯在哪裡，並寫出正確的標準差（最簡根式）。
提示（一次只開一層，先自己試）：
用「平方回去」驗：(25√3)² 是多少？是 75 嗎？
小傑把 75 拆成 25×3 這一步有沒有問題？再看從根號裡提出來的數。
√(25×3)=√25×√3。提到根號外面的是 25 本身，還是 25 的平方根？
計算 (25√3)²=25²×3，與 75 比較。然後自己算 √25，重新寫出提出後的結果。
拆成 25×3 沒問題，錯在提出根號時：應該提出 √25=5，不是 25。(25√3)²=625×3=1875，不是 75。正確：σ=5√3（件），檢查 (5√3)²=75。答案：錯在把 25 直接放到根號外，σ=5√3 件。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：寫成「σ=√（變異數，帶平方單位）=（數）（原單位）」一整行，再平方回去核對是否等於題目給的變異數。
回到課文：由變異數求標準差的五個步驟、常見的錯與自我檢查。補救後請遮住解答重做。
小宇的作業：「某零件重量 X（公克）的變異數 Var(X)=400 公克²，所以標準差 σ=20 公克²。」數字他算對了，請指出他的答案還有什麼問題，並寫出完整正確的標準差。
提示（一次只開一層，先自己試）：
問題不一定在數字。看看小宇的答案，每一部分是不是都對？
變異數的單位是什麼？開根號之後單位發生什麼變化？
單位也要「開根號」：平方單位開根號後回到原單位。
先確認 √400 的數值，再想 X 本身是以什麼單位量的，標準差應該用同一個單位。
√400=20，數值對。但 400 公克² 是變異數（公克的平方），開根號後單位也回到公克，不是公克²。正確：σ=20 公克。答案：單位錯，σ=20 公克。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：寫成「σ=√（變異數，帶平方單位）=（數）（原單位）」一整行，再平方回去核對是否等於題目給的變異數。
回到課文：常見的錯與自我檢查、由變異數求標準差的五個步驟。補救後請遮住解答重做。
小雅的作業：「某地氣溫 X（°C）的變異數 Var(X)=6.25 °C²。因為 (−2.5)²=6.25，(2.5)²=6.25，所以標準差 σ=±2.5 °C，兩個都對。」請指出她的說法哪裡不符合標準差的定義，並寫出正確答案。
提示（一次只開一層，先自己試）：
先分清楚：「平方後等於 6.25 的數」和「標準差」是不是同一件事？
回頭看標準差的定義，它是變異數的哪一種平方根？
標準差=變異數的「正（非負）平方根」，所以只有一個值。
兩個平方等於 6.25 的數都找出來後，依定義挑出標準差，並寫上單位。
平方等於 6.25 的數有 2.5 和 −2.5，但標準差定義成正平方根，代表分散的大小，不會是負的，也不是「±」兩個。所以 σ=2.5（°C）。答案：σ=2.5 °C。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：寫成「σ=√（變異數，帶平方單位）=（數）（原單位）」一整行，再平方回去核對是否等於題目給的變異數。
回到課文：定義：標準差是變異數的正平方根、條件與邊界。補救後請遮住解答重做。
甲班與乙班的測驗得分（分）的變異數分別是 9 分² 與 16 分²（練習用的假設情境）。小宇說：「乙班的標準差比甲班大 16−9=7 分。」請算出兩班的標準差，並指出小宇哪裡錯了、兩班標準差實際差多少。
提示（一次只開一層，先自己試）：
先分別求兩班的標準差，再比較。小宇是拿哪兩個量相減的？
16 和 9 是標準差，還是別的量？
兩個班各自：σ=√變異數。相減的對象應該是標準差，不是變異數。
分別算 √9 與 √16（單位分），再相減。最後說明小宇相減的是什麼。
σ甲=√9=3（分），σ乙=√16=4（分）。小宇拿變異數相減了（16−9=7 是變異數的差，單位是分²）。標準差的差是 4−3=1（分）。答案：σ甲=3 分，σ乙=4 分，差 1 分，乙較大。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：寫成「σ=√（變異數，帶平方單位）=（數）（原單位）」一整行，再平方回去核對是否等於題目給的變異數。
回到課文：常見的錯與自我檢查、由變異數求標準差的五個步驟。補救後請遮住解答重做。
某測驗滿分 10 分、最低 0 分，所有人的得分 X（分）都在 0 到 10 之間。有人報告這次得分的變異數是 Var(X)=144 分²。（1）這個報告可能正確嗎？請用標準差說明。（2）如果報告的是 Var(X)=9 分²，這個檢查能說它一定正確嗎？
提示（一次只開一層，先自己試）：
先想：得分都在 0 到 10 之間，任一個得分離平均最多相差多遠？
把變異數換成標準差，再和「最大得分減最小得分」比較。
標準差是「距離平方的平均再開根號」，所以它不會超過最大的距離，也就不會超過全距。
先求 σ=√144（單位分），把它與全距 10 分比大小。第（2）題先算 σ，看它有沒有違反同樣的檢查；再想：「通過檢查」和「一定正確」是不是同一件事。
（1）σ=√144=12（分），而全距只有 10−0=10 分，σ 不會超過全距，12>10，所以這個報告不可能正確。（2）σ=√9=3（分）≤10，沒有違反檢查，但這個檢查只能排除不合理的數字，不能保證那個變異數真的存在，所以不能說一定正確。答案：（1）不可能，σ=12 分；（2）不能。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：寫成「σ=√（變異數，帶平方單位）=（數）（原單位）」一整行，再平方回去核對是否等於題目給的變異數。
回到課文：算完怎麼自己檢查、由變異數求標準差的五個步驟。補救後請遮住解答重做。
兩個遊戲每次的得分（分）：遊戲甲的變異數是 Var=28 分²；遊戲乙的標準差是 σ=6 分（題目給的是標準差，不是變異數）。哪一個遊戲得分比較分散？請求出甲的標準差（最簡根式），並說明比較的依據。
提示（一次只開一層，先自己試）：
兩個遊戲給的量不一樣：一個是變異數，一個是標準差。可以直接比 28 和 6 嗎？
比較之前，要把兩個遊戲化成同一種量（都用標準差，或都用變異數）。
把甲化為標準差：σ甲=√28 並化簡；乙已經是標準差 6。兩個正數可以各自平方（或寫成根號的形式）再比大小。
σ甲=√28，提出平方因數得到「某數乘根號」的形式；乙的 6 可以寫成 √（幾）。把兩個根號內的數比大小，較大的那個，標準差也較大。
σ甲=√28=√4×√7=2√7（分）。乙的 σ=6=√36。28<36，所以 √28<√36，即 2√7<6，乙的標準差較大，乙比較分散。答案：乙較分散；σ甲=2√7 分。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：寫成「σ=√（變異數，帶平方單位）=（數）（原單位）」一整行，再平方回去核對是否等於題目給的變異數。
回到課文：由變異數求標準差的五個步驟、常見的錯與自我檢查。補救後請遮住解答重做。
某班學生身高 X（公尺）的變異數 Var(X)=0.0144 公尺²（練習用的假設情境）。（1）求標準差 σ（公尺）。（2）換成公分是多少？（1 公尺=100 公分）
提示（一次只開一層，先自己試）：
兩小題分開做。先把變異數轉成好處理的形式。
小數 0.0144 可以寫成「整數÷10000」。10000 是哪個數的平方？
σ=√(整數/10000)=√整數÷100。第（2）題直接把公尺換成公分，單位是長度，用 100 倍。
設定：0.0144=144/10000，σ=√144÷√10000 公尺。算出後，再乘以 100 換成公分。
0.0144=144/10000，σ=12÷100=0.12（公尺）。檢查：0.12²=0.0144。換成公分：0.12×100=12 公分。答案：（1）σ=0.12 公尺；（2）12 公分。
這題可能出現的錯法（為練習設計的例子）。如果你的答案和下面某個結果相同，就是犯了那種錯：
補救：寫成「σ=√（變異數，帶平方單位）=（數）（原單位）」一整行，再平方回去核對是否等於題目給的變異數。
回到課文：由變異數求標準差的五個步驟、算完怎麼自己檢查。補救後請遮住解答重做。