練習:辨識弦與其所對弧圍成的弓形

先別問「像不像弓」,改看每一塊塗色區域的邊界:沿著邊緣走一圈,哪些地方是直的、哪些地方是彎的?

對每一塊,把邊界拆成直的部分與彎的部分,各數有幾段,並看直的部分的端點是落在圓周上,還是落在圓心。 〔回課文:判別的步驟與每一步為什麼必要〕

方法:依判別步驟逐項檢查:(1)邊界是不是只有兩段;(2)直的那段是不是弦(兩端點都在圓上);(3)彎的那段是不是這條弦所對的弧(端點相同、同一個圓)。三項都符合才算弓形。

設定與中間結果:甲的直線段有 2 條,其中一個端點是圓心(圖中的小黑點);乙的邊界有 2 段(1 直 1 彎)。丙、丁請你自己同樣整理出邊界各有幾段、直的有幾條,再依判別步驟逐項檢查:直的那段是不是弦,彎的那段有沒有接在弦的兩端。

逐一檢查。甲:邊界是兩條半徑(端點之一是圓心,不在圓周上,所以不是弦)加一段弧,不是弓形。乙:邊界是一條弦(兩端點在圓上)加它所對的弧,是弓形。丙:邊界有兩條弦加一段弧,弦多了一條,不是弓形。丁:邊界是一條弦加它所對的長弧(塗色區域包含圓心),是弓形。答:乙、丁。

弦的兩個端點 E、F,把圓周分成幾段弧?

每一段弧,連同弦 EF,會圍出一個區域。把兩個區域的邊界各自列出來。 〔回課文:定義:弦、弧與弓形〕

方法:分別寫出兩個區域的邊界,再用判準逐一檢查。

設定:E、F 把圓周分成一段短弧與一段長弧,各與弦 EF 圍出一個區域。接著檢查這兩個區域的邊界是否各自符合判準,再數個數。

兩個區域的邊界,都是一條弦 EF 加上它所對的一段弧(一個配短弧,一個配長弧),都符合判準,所以兩個區域都是弓形,共 2 個。

弓形要看整個邊界。沿著塗色區域的邊緣走一圈,看看有沒有走過弦 AB。

從 A 沿著弧走到 B 之後,要回到起點 A,必須再走過哪些直線段?寫出它們的端點。 〔回課文:判別的步驟與每一步為什麼必要〕

方法:把邊界的每一段都列出來(幾條直線、哪一段弧),再檢查每條直線的兩端點是不是都在圓周上。

設定:塗色區域的邊界,除了從 A 到 B 的那段弧,還有兩條直線段,端點分別是 K 與 A、K 與 B。K 是圓心。

錯在只看到弧與端點 A、B,沒有檢查直的邊界。塗色區域的直邊是 KA 與 KB,線段 AB 並不是它的邊界。K 是圓心,不在圓周上,所以 KA、KB 是半徑,不是弦。邊界是兩條半徑加一段弧,不是「一弦加其所對一弧」,所以不是弓形(這種區域是扇形,本課不處理)。

沿著塗色區域的邊緣走一圈,先找出直的那一段。

找到直的那段後,看它的兩個端點在哪裡;再看彎的那一段從哪裡接到哪裡。 〔回課文:判別的步驟與每一步為什麼必要〕

方法:依判別步驟:邊界分段,再查直的那段是不是弦,再查彎的那段是不是這條弦所對的弧。

設定:塗色區域的邊緣有兩段:一段直的、一段彎的。直的一段的兩個端點是 G 與 H(題目已說 G、H 都在圓上)。接著查彎的那一段:它的兩個端點在哪裡?它在哪一個圓上?

直的一段 GH,兩個端點都在圓 K 上,所以 GH 是弦。彎的一段在圓 K 上,兩端點恰好是 G 與 H,是弦 GH 所對的弧(圖中位於上方的短弧)。邊界恰為一弦加其所對一弧,所以是弓形:弦邊界 GH,弧邊界是從 G 到 H 的上方那段短弧。

數一數,邊界上直的線段有幾條。

判準的字面是「一弦加其所對一弧」,對照看看這塊區域的直邊有幾條。 〔回課文:判別的步驟與每一步為什麼必要〕

方法:列出邊界的全部組成(直線段與弧各幾段),逐項對照「恰好一條弦、一段弧」。

設定:邊界由三段組成:線段 DE、線段 EF 與一段弧。接著查 DE、EF 的端點在不在圓上,再和判準對照。

邊界有兩條弦(DE、EF)與一段弧,共三段。判準要求「恰好一條弦」加其所對一弧,這裡弦多了一條,所以不是弓形。弦 DF 並不是這塊區域的邊界。

數一數,邊界上有幾段直的線段?

弓形的邊界需要有哪一種直的線段?對照判準。 〔回課文:判別的步驟與每一步為什麼必要〕

方法:列出邊界的全部組成,看看對照判準有沒有缺少什麼。

設定:邊界由兩段彎的線組成:圓 K 的一段弧(從 M 到 N)與圓 H 的一段弧(從 N 回到 M)。線段 MN 並沒有畫成邊界。

邊界是兩段弧,沒有任何一條弦,不符合「一條弦加其所對的一段弧」,所以不是弓形。M、N 雖然是兩圓共同的點,但線段 MN 不是這塊區域的邊界。

先找直的邊界,寫出它兩個端點的字母。

弧邊界的兩個端點要和弦的兩個端點相同。這兩點會把圓周分成兩段弧,要選塗色區域邊緣的那一段。 〔回課文:定義:弦、弧與弓形〕

方法:弦是直的邊界;弧是沿著塗色區域邊緣的彎的邊界,寫的時候把中間經過的點也寫出來,免得和另一段弧混淆。

設定:弦的兩個端點是 B 與 E。B、E 把圓周分成兩段弧:一段上有 C、D,另一段上有 A。塗色區域邊緣是哪一段,就選那一段。

弦邊界是 BE。塗色區域邊緣的弧從 B 經過 C、D 到 E,寫成弧 BCDE(寫成弧 BCE 或弧 BDE 也指同一段)。另一段弧是弧 BAE,在沒塗色的那一側。

塗色區域雖然大,仍然先找直的邊界。

這條弦把圓周分成兩段弧。塗色區域邊緣是哪一段?看圖上 C 和 D 各在哪一段上。 〔回課文:定義:弦、弧與弓形〕

方法:弦是直的邊界;弧要選塗色區域邊緣的那一段,並用三個字母寫出經過的點。

設定:弦的端點是 A 與 B。點 D 在弦下方的弧上,點 C 在弦上方的弧上。塗色區域的邊緣是上方還是下方的弧,要看圖。

弦邊界是 AB。塗色區域邊緣的是弦上方的那段長弧,從 A 經過 C 到 B,寫成弧 ACB。圓心 K 在區域裡面不影響判斷;沒塗色的那一塊邊界是弦 AB 加弧 ADB,是另一個弓形。

弦 FG 的兩個端點把圓周分成幾段弧?每段上標了哪一個點?

兩個弓形用的是同一條弦,但各取不同的一段弧。 〔回課文:定義:弦、弧與弓形〕

方法:兩個弓形用同一條弦 FG;F、G 把圓周分成兩段弧,每一段弧上各標了一個點,弧要用「端點、經過的點、端點」三個字母來寫。

設定:兩個弓形的弦邊界都是 FG;弧邊界的兩個端點都是 F、G。這兩段弧,一段上有 J,另一段上有 H。接著把兩段弧各寫成三個字母。

弓形一:弦邊界 FG,弧邊界是弧 FJG(經過 J 的那段,較短)。弓形二:弦邊界 FG,弧邊界是弧 FHG(經過 H 的那段,較長,把圓心包在裡面)。兩個弓形的弦相同、弧不同。

圖上有很多線,但只有塗色區域的邊緣才算邊界。先找出塗色區域的邊緣。

半徑 KA、KB 有沒有當成塗色區域的邊緣?沿塗色區域的邊緣走一圈來確認。 〔回課文:判別的步驟與每一步為什麼必要〕

方法:沿塗色區域的邊緣,列出每一段;圖上其他的線不要列入。

設定:塗色區域的邊緣走一圈,包含線段 AB 與一段彎的邊緣。KA、KB 在塗色區域的外面,它們是三角形 KAB 的邊,不在塗色區域的邊緣上。

塗色區域的邊界只有兩段:線段 AB(A、B 都在圓上,是弦)與從 A 經過 C 到 B 的上方弧(弦 AB 所對的弧)。邊界恰為一弦加其所對一弧,所以是弓形。弦邊界 AB,弧邊界弧 ACB。半徑 KA、KB 只是圖上多畫的線,不影響判斷。

弦 EF 畫在塗色區域裡面,它是不是塗色區域的邊緣?

沿塗色區域的最外圈走一圈,看看會經過哪些線段。 〔回課文:判別的步驟與每一步為什麼必要〕

方法:只列出最外圈的每一段(直線與弧),弦 EF 若沒有走到就不要列入,再對照判準。

設定:最外圈走一圈,從 E 沿弧走到 F,再回到起點,途中走過兩條端點含 K 的線段(KF 與 KE)。弦 EF 在內部,沒有走到。

邊界是兩條半徑 KE、KF 與一段弧,不是「一條弦加其所對一弧」。弦 EF 只是畫在區域裡面的線,不在邊緣上,所以不是弓形。(若只塗弦 EF 與下方弧之間的部分,才是弓形。)

先數每個圖裡直的邊界有幾條。

直的邊界有兩條時,再分辨:它們的端點含不含圓心。 〔回課文:判別的步驟與每一步為什麼必要〕

方法:直邊只有一條的,配到「一條弦」;直邊有兩條的,看兩條直邊是交在圓心,還是交在圓周上的一點。

設定:丙的直邊有 1 條;甲、乙的直邊各有 2 條。甲、乙之中,一個圖的兩條直邊相交在圓心,另一個圖的兩條直邊相交在圓周上的一點,請你看圖分辨。

(1)配丙(直邊一條,兩端點都在圓周上);(2)配乙(兩條直邊交於圓心,是半徑);(3)配甲(兩條直邊交於圓周上一點,都是弦)。弓形是邊界為「一弦加其所對一弧」的丙。

弦的兩個端點有什麼要求?

逐一檢查每條線段的兩個端點,各是在圓周上、圓內,還是圓心。 〔回課文:定義:弦、弧與弓形〕

方法:兩個端點都在圓周上的線段,才是弦;有端點在圓心或圓內的,就不是。

設定:AC 的端點 A、C 都在圓上;KB 的一端是圓心 K。DE、FM 請你自己同樣檢查兩個端點各在哪裡。

AC:兩端點都在圓上,是弦。KB:一端是圓心 K,不在圓上,是半徑,不是弦。DE:兩端點都在圓上,是弦(通過圓心的弦就是直徑,直徑是最長的弦)。FM:一端 M 在圓內,不是弦。答:AC、DE。

弓形的弧邊界和弦邊界,在端點上要有什麼關係?

把小昊寫的弧的兩個端點,和弦 CE 的兩個端點比一比。 〔回課文:判別的步驟與每一步為什麼必要〕

方法:弧邊界的兩個端點必須與弦的兩個端點完全相同。沿著塗色區域的邊緣,找出從弦的一端走到另一端的那段弧,並把中間經過的點寫出來。

設定:弦 CE 的端點是 C、E;小昊寫的弧 DE,端點是 D、E。把這兩組端點比一比。塗色區域的邊緣上,從 C 走到 E,會經過哪一個標了字母的點?

弧 DE 的端點是 D 與 E,和弦 CE 的端點 C、E 不一樣,這樣的弧和弦接不成封閉區域。弧邊界必須從 C 到 E。塗色區域的邊緣從 C 經過 D 到 E,所以正確寫法是弧 CDE。

能和弦 BD 圍成區域的弧,兩個端點應該是什麼?

每個選項,弧名的第一個字母和最後一個字母,就是這段弧的兩個端點。 〔回課文:定義:弦、弧與弓形〕

方法:先只保留首尾字母恰好是 B、D 的弧,再確認中間的字母真的是這段弧經過的點。

設定:乙的首尾字母是 A、C;丁的首尾字母是 C、A,都不是 B、D。其餘的選項請自己寫出首尾字母,再檢查中間的字母是不是這段弧經過的點。

甲:首尾是 B、D,從 B 經過 C 到 D,可以。乙:首尾是 A、C,不行。丙:首尾是 B、D,從 B 經過 A 到 D(較長的一段),可以。丁:首尾是 C、A,不行。戊:首尾是 A、D,A 不是弦的端點,不行。答:甲、丙。

油的截面,邊緣是由哪些東西圍成的?油面是什麼線?桶壁是什麼線?

油面是直的,桶壁是彎的。油面的兩個端點在桶壁上,也就是在圓上。 〔回課文:定義:弦、弧與弓形〕

方法:依判別步驟:邊界分段,查直的那段是不是弦,查彎的那段是不是它所對的弧,最後把弧用三個字母寫出來。

設定:油的截面邊緣有兩段:直的是油面 EF(E、F 都在圓上);彎的是桶壁上從 E 到 F 的一段,它經過圖上標出的哪一個點?

油面 EF 兩端點都在圓 K 上,是弦。彎的一段是桶壁,在圓 K 上,端點是 E、F,從 E 經過桶底 G 到 F。邊界恰為一弦加其所對一弧,所以是弓形:弦邊界 EF(油面),弧邊界弧 EGF(桶壁在油面下方的長弧)。油占了包含圓心的大塊,仍是弓形。

先不管是披薩,把每個切塊看成圓裡的一塊區域,找它的邊界。

每一塊的邊界有幾刀(直線)、幾段餅邊(弧)? 〔回課文:判別的步驟與每一步為什麼必要〕

方法:依判別步驟:直線段恰好一條嗎?它的端點都在圓周上嗎?弧恰好一段嗎?

設定:甲的邊界有 2 條直線與 2 段弧;乙的邊界有 2 條直線與 1 段弧(兩刀都從圓心下刀)。丙請你自己數:邊界有幾條直線、幾段弧?

甲:直線段有兩條,弧有兩段,不符合「恰好一弦一弧」。乙:兩條直線的端點含圓心,是半徑,不是弦。丙:只切一刀,直線段的兩端點在餅邊(圓周)上,是弦,餅邊的那一段是它所對的弧,所以是弓形。答:丙。

一條弦(不通過圓心)能配出幾個弓形?

三條弦各自獨立考慮。別的弦畫在區域裡面,不影響這個區域能不能算弓形。 〔回課文:定義:弦、弧與弓形〕

方法:先求一條弦能配出的弓形個數,再乘上畫出的弦的條數。

設定:弦 AC 的兩個端點把圓周分成兩段弧,每段弧各和弦 AC 圍出一個區域;BF、CE 也是同樣的情形。每條弦配出的個數乘上 3,就是結果。

每條弦配出 2 個弓形(兩段所對的弧各配一個),共 3 條弦,所以有 3×2=6 個不同的弓形。