實數已經可以表示長度、反方向和比例。把一段向右的箭頭乘以 2，它變成兩倍長；乘以 −1，它轉向左邊。但是，有沒有一個「數」，乘上它就能把箭頭向左轉九十度？若只能選實數，答案是否定的：正數只伸縮，負數還能反向，卻都不會把水平箭頭變成垂直箭頭。
這個限制曾是具體的研究問題。十八世紀的測量工作者 Wessel 希望在同一個方程中處理線段的長度與方向。他並不是不會測角、作圖或三角計算；他要的是讓方向變化也能服從代數運算，而原來只以正負區分同向、反向的解釋不夠用。若每次轉向仍須另外交代角度和幾何操作，單靠一條實數乘法式便不能保留整個變化。Wessel 原作英譯，印頁55–56
另一道限制更熟悉：x²=−1 在實數中沒有解。這不是小數算得不夠長，而是任何實數的平方都不小於零。複數把這兩道看來不同的限制連起來：擴充數的種類，也擴充乘法可以表達的幾何作用。
我們引入 i，規定 i²=−1，並考慮 a+bi，其中 a、b 都是實數。a 叫實部，b 叫虛部；虛部是係數 b，不是整項 bi。若只有名稱，還不能保證這是一套能用的數。因此要同時說明如何相等、如何運算，以及原有的實數是否仍照常工作。
把 a+bi 對應到平面點 (a,b)：水平為實軸，垂直為虛軸。兩個複數相等，就是兩個分量分別相等。3+2i 與 3−2i 的水平位置雖相同，垂直位置不同，所以不是同一個數。每個平面點都能讀回一個複數；每個複數也只有一個位置。實數 a 就是 a+0i，仍留在原來的水平直線上。
加法沿用合併同類項：
(3+2i)+(−1+i)=2+3i。
在圖上，這相當於先向右3、向上2，再向左1、向上1，合起來向右2、向上3。兩個分量各自累加，沒有把不同方向的量混為一談。
乘法則保留分配律，再把 i² 換成 −1：
(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i。
結果仍是「實數加實數乘 i」，不會每算一次就另造一種數。當 b=d=0，乘積就是 ac，原有實數乘法完整保留。這是擴充的重要要求：新增能力，舊有合法計算仍然成立。
現在把任意 z=a+bi 乘以 i：
i(a+bi)=ai+bi²=−b+ai。
因此點的位置從 (a,b) 變成 (−b,a)。這不只是交換兩個數；原來朝右的分量 a 改成朝上，原來朝上的分量 b 改成朝左，恰好是同向轉九十度。兩分量合成的整支箭頭也跟著逆時針轉九十度，長度保持不變，因為 a²+b²=(−b)²+a²。
用 z=3+2i 看得最清楚：乘 i 後是 −2+3i，再乘 i 得 −3−2i。兩次九十度合起來是一百八十度，正是乘 −1 的反向。於是 i²=−1 不再只是待背的符號規定，它在平面上有一致的作用。
圖中每個箭頭都從原點出發；實、虛軸每一格長度相同。實線箭頭 (3,2) 轉到虛線箭頭 (−2,3)，再轉到點線箭頭 (−3,−2)。它們到原點的距離都是 √13。軸上刻度表示實數坐標，點旁才寫複數名稱。
回頭看開頭的問題：能使每支平面箭頭左轉九十度的乘數就是 i。這也說明，不能把 i 塞在實數線上某個「尚未找到的位置」；它的乘法作用已超出實數所能完成的伸縮與反向。
Wessel 的論文於1797年在丹麥科學院宣讀、1799年刊出。他提出的方向表示，讓幾何中的線段能進入一致的代數處理；但論文當時沒有廣泛引起注意，不能把方法出現等同立即普及。Wessel 傳記 上面的坐標與數字例子用的是今天的記法，目的是親手看見這種突破如何工作。
下面是一個構造的平面運動情境。兩個位移都長1，若都向右，總位移是 1+1=2；若一個向右、一個向左，總位移是 1+(−1)=0；若一個向右、一個向上，總位移是 1+i，長度為 √2。單憑「兩個大小都是1」，無法知道合成結果；方向是不可丟掉的資訊。
複數把方向留在同一個能相加、相乘的對象裡。例如一組位移先合成 3+2i，整個圖樣左轉九十度，只需乘 i，得到 −2+3i。也可以先把每個位移左轉再相加，分配律保證兩條路結果相同：i(z+w)=iz+iw。這就是運算與幾何彼此相容所帶來的能力，並非只換一種畫點方式。
今天分析波動時，同樣不能只留強弱。MIT 的數位通訊教材用線性時不變系統的複數頻率響應，同時保存系統對同一頻率正弦波振幅與相位的影響；相位描述波動在週期中的位置。MIT 6.02，第12章 對同頻率波的合成，可以先用上述合成例子理解保留相對相位的必要性：同樣大小的兩項，方向關係不同，就可能增強、抵消或得到另一個方向。實際信號還要指定頻率與相位慣例，不能把實部直接叫振幅、虛部直接叫相位。
學複數平面的核心，是保留兩個分量，也看見它們能共同接受運算。你可以把 −2+3i 定位在 (−2,3)，更可以解釋它為何是 3+2i 左轉九十度的結果；你也能指出，實數線處理不了這個轉向，究竟是受到什麼限制。從「多了一種數」走到「多了一種可計算的方向變化」，複數的意義才真正展開。