回課文。每題先自己做,需要時再依序展開提示。看過第 3 層以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,之後要隔一段時間,不看提示,用原題重做一次。L5 會揭示完整答案。
記號:所有結果請用精確值(整數或分數)表示,不用小數。題目中的情境與數字是為了練習設計的,不是真實資料。本頁不需要計算機或查表。
計算 ∫03 (4x+1) dx。請依序寫出:(1)完整的定積分記號;(2)反導函數 F;(3)F(上限) 與 F(下限) 的代入;(4)相減後的結果。
先分辨這題的四個部分:被積函數是什麼?積分變數是哪一個?下限、上限各是多少?〔回課文:記號與各部分的意思〕
定積分要先對被積函數找一個反導函數,再把上限、下限分別代入,最後上限減下限。先把這幾步的形狀寫下來,先不要代數字。〔回課文:怎麼算:F(b)−F(a)〕
逐項求反導函數:每一項 xn 變成 xn+1/(n+1),常數項 c 變成 cx。求出 F 之後,用 F(3)−F(0) 算,順序不能對調。〔回課文:找反導函數〕
反導函數可取 F(x)=2x2+x(可用回微分確認它的導函數是被積函數)。F(3)=2×32+3;F(0)=2×02+0=0。最後一步請自己做:算出 F(上限) 的值,再減去下限的值。
∫03 (4x+1) dx=[2x2+x]03=F(3)−F(0)=21−(0)=21。回微分檢查:F′(x)=4x+1,與被積函數相同。結果:21。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):把 4x 的反導函數寫成 4x²(忘了除以 2),F(x)=4x²+x,代入 3 與 0 相減,得到 39(正確為 21);把常數 1 的反導函數寫成 1(沒有乘 x),F(x)=2x²+1,代入相減,得到 18(正確為 21)。
補救:重做時先求出 F,再自己對 F 微分一次,若得不到被積函數就是 F 寫錯。
回到課文:〔找反導函數〕
計算 ∫12 (6x2) dx。請依序寫出:(1)完整的定積分記號;(2)反導函數 F;(3)F(上限) 與 F(下限) 的代入;(4)相減後的結果。
先分辨這題的四個部分:被積函數是什麼?積分變數是哪一個?下限、上限各是多少?〔回課文:記號與各部分的意思〕
定積分要先對被積函數找一個反導函數,再把上限、下限分別代入,最後上限減下限。先把這幾步的形狀寫下來,先不要代數字。〔回課文:怎麼算:F(b)−F(a)〕
逐項求反導函數:每一項 xn 變成 xn+1/(n+1),常數項 c 變成 cx。求出 F 之後,用 F(2)−F(1) 算,順序不能對調。〔回課文:找反導函數〕
反導函數可取 F(x)=2x3(可用回微分確認它的導函數是被積函數)。F(2)=2×23=16;F(1)=2×13=2。最後一步請自己做:算出 F(上限) 的值,再減去下限的值。
∫12 (6x2) dx=[2x3]12=F(2)−F(1)=16−(2)=14。回微分檢查:F′(x)=6x2,與被積函數相同。結果:14。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):對 6x² 做成微分,寫 12x,代入 2 與 1 相減,得到 12(正確為 14);把 6x² 的反導函數寫成 6x³(忘了除以 3),代入相減,得到 42(正確為 14)。
補救:反導函數是微分的逆過程:x² 要變成 x³/3,不是變成 2x。重做時先求出 F,再自己對 F 微分一次,若得不到被積函數就是 F 寫錯。
回到課文:〔找反導函數〕
某同學的作答如下:
∫14 (2x+3) dx = [x²+3x]14 = F(1)−F(4) = 4−28 = −24。
請指出他哪一步錯了、錯在哪裡,並寫出正確的算式與結果。
請先找出這份作答裡「反導函數」「代入」「相減」三處,哪一處和課文的步驟不同?〔回課文:怎麼算:F(b)−F(a)〕
定積分的值是「上限代入的結果」減「下限代入的結果」。對照他的最後一個等號,看看哪個數被放在前面。
把他作答裡的三處逐一檢查:(1)x²+3x 微分後是不是被積函數 2x+3;(2)F(1) 與 F(4) 各是多少;(3)最後相減的次序和課文寫的一不一樣。三處之中有一處不合課文,請自己判斷是哪一處。
可用來核對的中間值:F(1)=1+3=4,F(4)=16+12=28。請對照課文的相減次序,看他的最後一個等號哪裡不同,說明錯在哪裡,再自己寫出正確的算式並算出結果。
錯處:最後相減時寫成 F(1)−F(4),把上下限的次序顛倒了。正確寫法:∫14 (2x+3) dx=[x²+3x]14=F(4)−F(1)=28−4=24。他的 −24 是正確值的相反數。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):把 F(4)−F(1) 寫成 F(1)−F(4)(上下限次序顛倒),得到 −24(正確為 24);只代入上限就停,寫 28(正確為 24)。
補救:重做時在相減那一行先寫「F(上限)−F(下限)」這幾個字,再填數字。重做時先把「F(上限)」與「F(下限)」各寫成一行,每行都標明代入的是哪個數,再相減。
回到課文:〔怎麼算〕
計算 ∫25 (4x−3) dx。請依序寫出:(1)完整的定積分記號;(2)反導函數 F;(3)F(上限) 與 F(下限) 的代入;(4)相減後的結果。
先分辨這題的四個部分:被積函數是什麼?積分變數是哪一個?下限、上限各是多少?〔回課文:記號與各部分的意思〕
定積分要先對被積函數找一個反導函數,再把上限、下限分別代入,最後上限減下限。先把這幾步的形狀寫下來,先不要代數字。〔回課文:怎麼算:F(b)−F(a)〕
逐項求反導函數:每一項 xn 變成 xn+1/(n+1),常數項 c 變成 cx。求出 F 之後,用 F(5)−F(2) 算,順序不能對調。〔回課文:找反導函數〕
反導函數可取 F(x)=2x2−3x(可用回微分確認它的導函數是被積函數)。F(5)=2×52−3×5=35;F(2)=2×22−3×2=2。最後一步請自己做:算出 F(上限) 的值,再減去下限的值。
∫25 (4x−3) dx=[2x2−3x]25=F(5)−F(2)=35−(2)=33。回微分檢查:F′(x)=4x−3,與被積函數相同。結果:33。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):上下限次序顛倒,算成 F(2)−F(5),得到 −33(正確為 33);忘了常數項 −3 的反導函數要乘 x,F(x)=2x²−3,得到 42(正確為 33);把 4x 的反導函數寫成 4x²(沒有除以 2),F(x)=4x²−3x,得到 75(正確為 33)。
補救:重做時先把「F(上限)」與「F(下限)」各寫成一行,每行都標明代入的是哪個數,再相減。重做時先求出 F,再自己對 F 微分一次,若得不到被積函數就是 F 寫錯。
回到課文:〔怎麼算〕
計算 ∫−21 (3x+5) dx。請依序寫出:(1)完整的定積分記號;(2)反導函數 F;(3)F(上限) 與 F(下限) 的代入;(4)相減後的結果。
先分辨這題的四個部分:被積函數是什麼?積分變數是哪一個?下限、上限各是多少?〔回課文:記號與各部分的意思〕
定積分要先對被積函數找一個反導函數,再把上限、下限分別代入,最後上限減下限。先把這幾步的形狀寫下來,先不要代數字。〔回課文:怎麼算:F(b)−F(a)〕
逐項求反導函數:每一項 xn 變成 xn+1/(n+1),常數項 c 變成 cx。分數係數要保留成分數,不必化成小數。求出 F 之後,用 F(1)−F(−2) 算,順序不能對調。〔回課文:找反導函數〕
反導函數可取 F(x)=3x2/2+5x(可用回微分確認它的導函數是被積函數)。F(1)=(3/2)×12+5×1=13/2;F(−2)=(3/2)×(−2)2+5×(−2)=−4。最後一步請自己做:算出 F(上限) 的值,再減去下限的值。
∫−21 (3x+5) dx=[3x2/2+5x]−21=F(1)−F(−2)=13/2−(−4)=21/2。回微分檢查:F′(x)=3x+5,與被積函數相同。結果:21/2。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):算 F(−2) 時把 (−2)² 當成 −4,得 F(−2)=−6−10=−16,得到 45/2(正確為 21/2);把兩個端點的值相加 F(1)+F(−2),得到 5/2(正確為 21/2)。
補救:下限是負數時,代入要加括號,例如 (−2)²=4。重做時先把「F(上限)」與「F(下限)」各寫成一行,每行都標明代入的是哪個數,再相減。
回到課文:〔端點與負值〕
計算 ∫13 (−3x+2) dx。請依序寫出:(1)完整的定積分記號;(2)反導函數 F;(3)F(上限) 與 F(下限) 的代入;(4)相減後的結果。
先分辨這題的四個部分:被積函數是什麼?積分變數是哪一個?下限、上限各是多少?〔回課文:記號與各部分的意思〕
定積分要先對被積函數找一個反導函數,再把上限、下限分別代入,最後上限減下限。先把這幾步的形狀寫下來,先不要代數字。〔回課文:怎麼算:F(b)−F(a)〕
逐項求反導函數:每一項 xn 變成 xn+1/(n+1),常數項 c 變成 cx。求出 F 之後,用 F(3)−F(1) 算,順序不能對調。〔回課文:找反導函數〕
反導函數可取 F(x)=−3x2/2+2x(可用回微分確認它的導函數是被積函數)。F(3)=−(3/2)×32+2×3=−15/2;F(1)=−(3/2)×12+2×1=1/2。最後一步請自己做:算出 F(上限) 的值,再減去下限的值。
∫13 (−3x+2) dx=[−3x2/2+2x]13=F(3)−F(1)=−15/2−(1/2)=−8。回微分檢查:F′(x)=−3x+2,與被積函數相同。結果:−8。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):上下限次序顛倒,得到 8(正確為 −8);把 3x 的反導函數寫成 3x²(沒有除以 2),F(x)=2x−3x²,得到 −20(正確為 −8)。
補救:定積分的結果可以是負數,這不代表算錯;先確認是否寫成 F(上限)−F(下限)。重做時先求出 F,再自己對 F 微分一次,若得不到被積函數就是 F 寫錯。
回到課文:〔端點與負值〕
計算 ∫02 (3x2+4x) dx。請依序寫出:(1)完整的定積分記號;(2)反導函數 F;(3)F(上限) 與 F(下限) 的代入;(4)相減後的結果。
先分辨這題的四個部分:被積函數是什麼?積分變數是哪一個?下限、上限各是多少?〔回課文:記號與各部分的意思〕
定積分要先對被積函數找一個反導函數,再把上限、下限分別代入,最後上限減下限。先把這幾步的形狀寫下來,先不要代數字。〔回課文:怎麼算:F(b)−F(a)〕
逐項求反導函數:每一項 xn 變成 xn+1/(n+1),常數項 c 變成 cx。求出 F 之後,用 F(2)−F(0) 算,順序不能對調。〔回課文:找反導函數〕
反導函數可取 F(x)=x3+2x2(可用回微分確認它的導函數是被積函數)。F(2)=23+2×22;F(0)=03+2×02=0。最後一步請自己做:算出 F(上限) 的值,再減去下限的值。
∫02 (3x2+4x) dx=[x3+2x2]02=F(2)−F(0)=16−(0)=16。回微分檢查:F′(x)=3x2+4x,與被積函數相同。結果:16。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):把 4x 的反導函數寫成 4x²(沒有除以 2),F(x)=x³+4x²,得到 24(正確為 16);把 3x² 的反導函數寫成 3x³(沒有除以 3),F(x)=3x³+2x²,得到 32(正確為 16)。
補救:重做時先求出 F,再自己對 F 微分一次,若得不到被積函數就是 F 寫錯。
回到課文:〔找反導函數〕
計算 ∫14 (x2−3x) dx。請依序寫出:(1)完整的定積分記號;(2)反導函數 F;(3)F(上限) 與 F(下限) 的代入;(4)相減後的結果。
先分辨這題的四個部分:被積函數是什麼?積分變數是哪一個?下限、上限各是多少?〔回課文:記號與各部分的意思〕
定積分要先對被積函數找一個反導函數,再把上限、下限分別代入,最後上限減下限。先把這幾步的形狀寫下來,先不要代數字。〔回課文:怎麼算:F(b)−F(a)〕
逐項求反導函數:每一項 xn 變成 xn+1/(n+1),常數項 c 變成 cx。本題的反導函數會有分數係數,代入時分母要通分後再相減。求出 F 之後,用 F(4)−F(1) 算,順序不能對調。〔回課文:找反導函數〕
反導函數可取 F(x)=x3/3−3x2/2(可用回微分確認它的導函數是被積函數)。F(4)=(1/3)×43−(3/2)×42=−8/3;F(1)=(1/3)×13−(3/2)×12=−7/6。最後一步請自己做:算出 F(上限) 的值,再減去下限的值。
∫14 (x2−3x) dx=[x3/3−3x2/2]14=F(4)−F(1)=−8/3−(−7/6)=−3/2。回微分檢查:F′(x)=x2−3x,與被積函數相同。結果:−3/2。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):3x 的反導函數寫成 3x²(沒有除以 2),F(x)=x³/3−3x²,得到 −24(正確為 −3/2);x² 的反導函數寫成 x³(沒有除以 3),F(x)=x³−3x²/2,得到 81/2(正確為 −3/2)。
補救:每一項都要除以「新的次數」:x² 除以 3,x 除以 2。重做時先求出 F,再自己對 F 微分一次,若得不到被積函數就是 F 寫錯。
回到課文:〔找反導函數〕
計算 ∫−13 (6x2−4x+1) dx。請依序寫出:(1)完整的定積分記號;(2)反導函數 F;(3)F(上限) 與 F(下限) 的代入;(4)相減後的結果。
先分辨這題的四個部分:被積函數是什麼?積分變數是哪一個?下限、上限各是多少?〔回課文:記號與各部分的意思〕
定積分要先對被積函數找一個反導函數,再把上限、下限分別代入,最後上限減下限。先把這幾步的形狀寫下來,先不要代數字。〔回課文:怎麼算:F(b)−F(a)〕
逐項求反導函數:每一項 xn 變成 xn+1/(n+1),常數項 c 變成 cx。求出 F 之後,用 F(3)−F(−1) 算,順序不能對調。〔回課文:找反導函數〕
反導函數可取 F(x)=2x3−2x2+x(可用回微分確認它的導函數是被積函數)。F(3)=2×33−2×32+3=39;F(−1)=2×(−1)3−2×(−1)2+(−1)=−5。最後一步請自己做:算出 F(上限) 的值,再減去下限的值。
∫−13 (6x2−4x+1) dx=[2x3−2x2+x]−13=F(3)−F(−1)=39−(−5)=44。回微分檢查:F′(x)=6x2−4x+1,與被積函數相同。結果:44。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):漏掉常數項 1 的反導函數 x,F(x)=2x³−2x²,得到 40(正確為 44);算 F(−1) 時把最後一項 +x 代成 +1,得 F(−1)=−3,得到 42(正確為 44)。
補救:下限為負時,每一項分別代入再合併,不要心算整個式子。重做時先把「F(上限)」與「F(下限)」各寫成一行,每行都標明代入的是哪個數,再相減。
回到課文:〔端點與負值〕
某同學的作答如下:
∫02 (3x²+1) dx = [x³+1]02 = (8+1)−(0+1) = 8。
請指出錯在哪裡,並寫出正確的算式與結果。
先檢查他的反導函數:對 x³+1 微分,會得到被積函數 3x²+1 嗎?〔回課文:找反導函數〕
把被積函數分成 3x² 與 1 兩項,分別檢查它們的反導函數。哪一項不對?
分別對他方括號裡的 x³ 與 1 微分,把結果和被積函數的 3x² 與 1 對照,找出不吻合的那一項。找到之後,請自己寫出正確的反導函數,再代入。
正確的反導函數是 F(x)=x³+x。把上限 2 與下限 0 分別代入,再相減,請自己寫完。
錯處:常數項 1 的反導函數應是 x,不是 1(1 微分後是 0,不是 1)。正確寫法:∫02 (3x²+1) dx=[x³+x]02=(8+2)−(0+0)=10。他算出的 8 比正確值少了 2。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):保留常數項 +1 不變、沒有乘 x,得到 8(正確為 10);把 3x² 的反導函數寫成 3x³ 再加 x,F(x)=3x³+x,代入相減得 26(正確為 10)。
補救:重做時先求出 F,再自己對 F 微分一次,若得不到被積函數就是 F 寫錯。
回到課文:〔找反導函數〕
某同學的作答如下:
∫12 3x² dx = [6x]12 = 12−6 = 6。
請指出錯在哪裡,並寫出正確的算式與結果。
他的方括號裡是 6x。對 6x 微分,會回到被積函數 3x² 嗎?〔回課文:找反導函數〕
想一想:6x 是從 3x² 經過哪一種運算得到的?題目要找的,是「微分之後得到 3x²」的式子,還是「3x² 微分之後」的式子?
xn 的反導函數是 xn+1/(n+1)。套用在 3x² 上,係數 3 要保留。
3x² 的反導函數是 3·x³/3=x³,所以 F(x)=x³。F(2)=8,F(1)=1。最後一步請自己算。
錯處:把 3x² 微分成 6x,方向做反了。正確寫法:∫12 3x² dx=[x³]12=8−1=7。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):把 3x² 微分成 6x 再代入,得到 6(正確為 7);把反導函數寫成 3x³,代入相減得 21(正確為 7)。
補救:重做時先求出 F,再自己對 F 微分一次,若得不到被積函數就是 F 寫錯。自查:對你寫的 F 微分,一定要回到被積函數。
回到課文:〔找反導函數〕
一個物體的速度是 v(t)=3t²+2t(單位:公尺/秒,為練習而設的情境),t 的單位是秒。請寫出「從 t=1 秒到 t=3 秒的位移」對應的完整定積分式(要含上下限與 dt),再計算它的值。
完整的定積分記號有哪幾個部分?要累積的量是什麼?積分變數是哪個?〔回課文:記號與各部分的意思〕
積分變數是 t,所以式子結尾要寫 dt,下限是 1、上限是 3。先把積分式寫完整,再開始算。
寫成 ∫下限上限 (被積函數) dt 之後,逐項求反導函數:t² 變 t³/3,t 變 t²/2。
反導函數 F(t)=t³+t²。F(3)=27+9=36,F(1)=1+1=2。最後一步請自己算。
完整的式子:∫13 (3t²+2t) dt=[t³+t²]13=(27+9)−(1+1)=36−2=34。位移是 34 公尺。回微分檢查:(t³+t²)′=3t²+2t。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):把 2t 的反導函數寫成 2t(沒有升次),F(t)=t³+2t,得到 30(正確為 34);式子寫成 ∫(3t²+2t) 而漏掉上下限與 dt,看不出是「從 1 到 3」,也看不出變數是 t;記號不完整,不能算完成。
補救:完整的積分記號應含 ∫、上下限、被積函數與 dt;缺 dt 會使人看不出變數是誰。重做時先求出 F,再自己對 F 微分一次,若得不到被積函數就是 F 寫錯。
回到課文:〔記號與各部分的意思〕
計算 ∫24 (x2−4) dx。請依序寫出:(1)完整的定積分記號;(2)反導函數 F;(3)F(上限) 與 F(下限) 的代入;(4)相減後的結果。
先分辨這題的四個部分:被積函數是什麼?積分變數是哪一個?下限、上限各是多少?〔回課文:記號與各部分的意思〕
定積分要先對被積函數找一個反導函數,再把上限、下限分別代入,最後上限減下限。先把這幾步的形狀寫下來,先不要代數字。〔回課文:怎麼算:F(b)−F(a)〕
逐項求反導函數:每一項 xn 變成 xn+1/(n+1),常數項 c 變成 cx。分數相減前先通分。求出 F 之後,用 F(4)−F(2) 算,順序不能對調。〔回課文:找反導函數〕
反導函數可取 F(x)=x3/3−4x(可用回微分確認它的導函數是被積函數)。F(4)=(1/3)×43−4×4=16/3;F(2)=(1/3)×23−4×2=−16/3。最後一步請自己做:算出 F(上限) 的值,再減去下限的值。
∫24 (x2−4) dx=[x3/3−4x]24=F(4)−F(2)=16/3−(−16/3)=32/3。回微分檢查:F′(x)=x2−4,與被積函數相同。結果:32/3。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):常數項 −4 的反導函數寫成 −4(沒有乘 x),F(x)=x³/3−4,得到 56/3(正確為 32/3)。
補救:重做時先把「F(上限)」與「F(下限)」各寫成一行,每行都標明代入的是哪個數,再相減。
回到課文:〔怎麼算〕
計算 ∫−23 (x2−x) dx。請依序寫出:(1)完整的定積分記號;(2)反導函數 F;(3)F(上限) 與 F(下限) 的代入;(4)相減後的結果。
先分辨這題的四個部分:被積函數是什麼?積分變數是哪一個?下限、上限各是多少?〔回課文:記號與各部分的意思〕
定積分要先對被積函數找一個反導函數,再把上限、下限分別代入,最後上限減下限。先把這幾步的形狀寫下來,先不要代數字。〔回課文:怎麼算:F(b)−F(a)〕
逐項求反導函數:每一項 xn 變成 xn+1/(n+1),常數項 c 變成 cx。求出 F 之後,用 F(3)−F(−2) 算,順序不能對調。〔回課文:找反導函數〕
反導函數可取 F(x)=x3/3−x2/2(可用回微分確認它的導函數是被積函數)。F(3)=(1/3)×33−(1/2)×32=9/2;F(−2)=(1/3)×(−2)3−(1/2)×(−2)2=−14/3。最後一步請自己做:算出 F(上限) 的值,再減去下限的值。
∫−23 (x2−x) dx=[x3/3−x2/2]−23=F(3)−F(−2)=9/2−(−14/3)=55/6。回微分檢查:F′(x)=x2−x,與被積函數相同。結果:55/6。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):算 F(−2) 時把 (−2)³ 當成 +8,得 F(−2)=2/3,得到 23/6(正確為 55/6);上下限次序顛倒,得到 −55/6(正確為 55/6)。
補救:負數的奇次方仍是負數:(−2)³=−8。代入負數時一定加括號。重做時先把「F(上限)」與「F(下限)」各寫成一行,每行都標明代入的是哪個數,再相減。
回到課文:〔端點與負值〕
計算 ∫13 (t2−1) dt。請依序寫出:(1)完整的定積分記號;(2)反導函數 F;(3)F(上限) 與 F(下限) 的代入;(4)相減後的結果。
先分辨這題的四個部分:被積函數是什麼?積分變數是哪一個?下限、上限各是多少?〔回課文:記號與各部分的意思〕
定積分要先對被積函數找一個反導函數,再把上限、下限分別代入,最後上限減下限。先把這幾步的形狀寫下來,先不要代數字。〔回課文:怎麼算:F(b)−F(a)〕
逐項求反導函數:每一項 tn 變成 tn+1/(n+1),常數項 c 變成 ct。求出 F 之後,用 F(3)−F(1) 算,順序不能對調。〔回課文:找反導函數〕
反導函數可取 F(t)=t3/3−t(可用回微分確認它的導函數是被積函數)。F(3)=(1/3)×33−3=6;F(1)=(1/3)×13−1=−2/3。最後一步請自己做:算出 F(上限) 的值,再減去下限的值。
∫13 (t2−1) dt=[t3/3−t]13=F(3)−F(1)=6−(−2/3)=20/3。回微分檢查:F′(t)=t2−1,與被積函數相同。結果:20/3。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):只代入上限就停,得到 6(正確為 20/3);把兩個端點的值相加 F(3)+F(1),得到 16/3(正確為 20/3)。
補救:定積分是「兩個端點的值相減」,只代一個端點等於沒有算完。重做時先把「F(上限)」與「F(下限)」各寫成一行,每行都標明代入的是哪個數,再相減。
回到課文:〔怎麼算〕
一個水槽在 t 分鐘時的注水速率是 r(t)=2t+3(單位:公升/分鐘,為練習而設的情境)。注水量等於速率對時間的定積分。請寫出從 t=0 到 t=4 分鐘的注水量對應的完整定積分式,並計算它的值(含單位)。請依序寫出:(1)完整的定積分記號;(2)反導函數 F;(3)F(上限) 與 F(下限) 的代入;(4)相減後的結果。
先分辨這題的四個部分:被積函數是什麼?積分變數是哪一個?下限、上限各是多少?〔回課文:記號與各部分的意思〕
定積分要先對被積函數找一個反導函數,再把上限、下限分別代入,最後上限減下限。先把這幾步的形狀寫下來,先不要代數字。〔回課文:怎麼算:F(b)−F(a)〕
逐項求反導函數:每一項 tn 變成 tn+1/(n+1),常數項 c 變成 ct。求出 F 之後,用 F(4)−F(0) 算,順序不能對調。〔回課文:找反導函數〕
反導函數可取 F(t)=t2+3t(可用回微分確認它的導函數是被積函數)。F(4)=42+3×4;F(0)=02+3×0=0。最後一步請自己做:算出 F(上限) 的值,再減去下限的值。
∫04 (2t+3) dt=[t2+3t]04=F(4)−F(0)=28−(0)=28。回微分檢查:F′(t)=2t+3,與被積函數相同。結果:28。 注水量是 28 公升。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):常數項 3 的反導函數寫成 3(沒有乘 t),得到 16(正確為 28);上下限次序顛倒,得到 −28(正確為 28)。
補救:先把式子寫成 ∫04 (2t+3) dt,再算;結果記得寫單位(公升)。
回到課文:〔記號與各部分的意思〕
已知 k 是常數,且 ∫02 (kx+1) dx=8。求 k 的值。
先把左邊的定積分用 k 表示成一個式子,再讓它等於 8。〔回課文:怎麼算:F(b)−F(a)〕
kx 與 1 的反導函數分別是什麼?注意 k 是常數,不是變數。
反導函數 F(x)=kx²/2+x。代入 2 與 0 相減後,會得到只含 k 的一次式。
F(2)=k·4/2+2=2k+2,F(0)=0,所以左邊等於 2k+2。接下來解方程式 2k+2=8,請自己完成。
∫02 (kx+1) dx=[kx²/2+x]02=(2k+2)−0=2k+2。令 2k+2=8,得 k=3。檢查:k=3 時 F(x)=3x²/2+x,F(2)=6+2=8,與題目相符。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):把 kx 的反導函數寫成 kx²(沒有除以 2),左邊變成 4k+2,令其為 8 得 k=3/2(正確為 3);漏掉常數項 1 的反導函數 x,左邊變成 2k,令其為 8 得 k=4(正確為 3)。
補救:含常數 k 的題目,先把 k 當作一個固定的數去找反導函數,算出含 k 的式子後再解方程式。
回到課文:〔怎麼算〕
已知 F(x)=x³−3x。請不要重新求反導函數,直接利用 F,計算 ∫13 (3x²−3) dx。寫出完整的記號與算式。
先確認:F 的導函數是不是被積函數 3x²−3?如果是,F 就是一個反導函數,可以直接用。〔回課文:怎麼算:F(b)−F(a)〕
對 F(x)=x³−3x 微分,檢查是否得到 3x²−3。檢查通過後,定積分只需要 F 在兩個端點的值。
定積分 = F(上限)−F(下限)。這裡上限是 3,下限是 1。
F(3)=27−9=18,F(1)=1−3=−2。最後一步請自己算,注意被減的是負數。
F′(x)=3x²−3,所以 F 是被積函數的反導函數。∫13 (3x²−3) dx=F(3)−F(1)=18−(−2)=20。
可能的錯法(這些是為練習設計的例子,不是真實同學的作答):把兩個端點的值相加 18+(−2),得到 16(正確為 20);上下限次序顛倒 F(1)−F(3),得到 −20(正確為 20);自己另寫成 [x³−3]13(把 −3 的反導函數寫成 −3),得到 26(正確為 20)。
補救:被減數是「上限的值」;若下限的值是負數,減去負數要變成加。重做時先把「F(上限)」與「F(下限)」各寫成一行,每行都標明代入的是哪個數,再相減。
回到課文:〔怎麼算〕
本頁為練習用,答案與解法在各題的 L5。