回課文。每題先自己做,需要時再依序展開提示。看過 L3 以上提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,之後要隔一段時間,不看提示,用原題重做一次。L5 會揭示完整解答。
記號:① ② 是題目的兩個式子;①′ ②′ 是乘過常數的式子。本頁的情境和數字是為了練習設計的,不是真實資料。所有題目都恰有一組共同解,請寫出完整過程,並把答案代回「原來的」兩式檢驗。
看看你現在的狀況:每題只用一個步驟的變化,幫你找出自己容易在哪裡出錯。
解聯立方程式
① 3x + 4y = 23
② 2x − 4y = 2
請寫出:你選擇消去哪一個未知數、為什麼用相加(或相減),最後把答案代回原來的兩式檢驗。
(請寫出數對 (x, y)。)
先看 ①、② 的 x 項係數與 y 項係數,各自有什麼關係?哪一個未知數看起來最容易消去?
係數互為相反數,或係數相同時,兩式相加或相減,哪一種會讓那一項變成 0?先決定要做哪一種,再動手。
y 項係數是 4 與 −4,互為相反數,所以用兩式相加:左邊 x 項加 x 項、y 項加 y 項,右邊的常數也要相加。
y 項的係數是 4 與 −4,不必先乘常數。 y 項係數 4 與 −4 互為相反數,所以用相加:請自己算出 ①+② 的結果,再解出這個式子,回代原來的一式求另一個未知數,最後用原來的兩式檢驗。
y 項的係數是 4 與 −4,不必先乘常數。 y 項係數 4 與 −4 互為相反數,所以用相加:①+② 得 5x = 25。 解得 x = 5。 回代原來的①:3×5 + 4y = 23,4y = 23 − 15 = 8,所以 y = 2。 檢驗(用原來的兩式):①:3×5 + 4×2 = 23,成立;②:2×5 − 4×2 = 2,成立。答案:(x, y) = (5, 2)。
下面是這題可能出現的錯誤寫法(正確答案:(x, y) = (5, 2))。
做完補救後,把提示和答案蓋起來,用原題從頭再寫一次完整過程(包含用原來的兩式檢驗)。看過 L3 以上的提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,隔幾天不看提示,用原題再做一次。
解聯立方程式
① 7x + 3y = 39
② 4x + 3y = 21
請寫出:消去哪一個未知數、用相加還是相減、為什麼,最後代回原來的兩式檢驗。
(請寫出數對 (x, y)。)
先看哪一個未知數在兩式中的係數最容易處理。
如果某個未知數的係數在兩式中「相同」,兩式相加還是相減才會讓它消失?
y 項係數都是 3(相同),要用兩式相減。減的是整條式子:左邊 7x − 4x、3y − 3y,右邊 39 − 21。
y 項的係數是 3 與 3,不必先乘常數。 y 項係數都是 3(相同),所以用相減:請自己算出 ①−② 的結果,再解出這個式子,回代原來的一式求另一個未知數,最後用原來的兩式檢驗。
y 項的係數是 3 與 3,不必先乘常數。 y 項係數都是 3(相同),所以用相減:①−② 得 3x = 18。 解得 x = 6。 回代原來的①:7×6 + 3y = 39,3y = 39 − 42 = −3,所以 y = −1。 檢驗(用原來的兩式):①:7×6 + 3×(−1) = 39,成立;②:4×6 + 3×(−1) = 21,成立。答案:(x, y) = (6, −1)。
下面是這題可能出現的錯誤寫法(正確答案:(x, y) = (6, −1))。
做完補救後,把提示和答案蓋起來,用原題從頭再寫一次完整過程(包含用原來的兩式檢驗)。看過 L3 以上的提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,隔幾天不看提示,用原題再做一次。
解聯立方程式
① 3x + 2y = 13
② 2x − y = −3
請寫出:你要先把哪一個式子乘多少、為什麼,再消去哪一個未知數,最後代回原來的兩式檢驗。
(請寫出數對 (x, y)。)
兩式的 x 項、y 項係數,有沒有已經相同或互為相反數的?如果沒有,能不能用乘常數把其中一項「配」成相反數?
① 的 y 項係數是 2,② 的 y 項係數是 −1。試試只乘其中一個式子,看能不能讓兩個 y 項係數的絕對值相同;想想有哪些部分都要乘到。
把 ② 的兩邊每一項都乘 2,y 項係數就成為 −2,與 ① 的 +2 互為相反數,再相加。
要讓 y 項係數的絕對值相同。②×2:4x − 2y = −6(記為 ②′)。這時 y 項係數成為 2 與 −2。 y 項係數 2 與 −2 互為相反數,所以用相加:請自己算出 ①+②′ 的結果,再解出這個式子,回代原來的一式求另一個未知數,最後用原來的兩式檢驗。
要讓 y 項係數的絕對值相同。②×2:4x − 2y = −6(記為 ②′)。這時 y 項係數成為 2 與 −2。 y 項係數 2 與 −2 互為相反數,所以用相加:①+②′ 得 7x = 7。 解得 x = 1。 回代原來的①:3×1 + 2y = 13,2y = 13 − 3 = 10,所以 y = 5。 檢驗(用原來的兩式):①:3×1 + 2×5 = 13,成立;②:2×1 − 5 = −3,成立。答案:(x, y) = (1, 5)。
下面是這題可能出現的錯誤寫法(正確答案:(x, y) = (1, 5))。
做完補救後,把提示和答案蓋起來,用原題從頭再寫一次完整過程(包含用原來的兩式檢驗)。看過 L3 以上的提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,隔幾天不看提示,用原題再做一次。
兩式中有一個未知數的係數已經相同或相反,不必乘常數。
解聯立方程式
① 4x + 3y = 7
② 5x − 3y = −25
請寫出消去的做法、解出 x 與 y,並代回原來的兩式檢驗。
(請寫出數對 (x, y)。)
y 項的係數是什麼?兩式相加或相減,哪一個會讓 y 項消失?
注意右邊有負數 −25:相加時,7 + (−25) 要小心算。
y 項係數 3 與 −3 互為相反數,用相加,得到只含 x 的式子;右邊 7 + (−25) 要小心算。
y 項的係數是 3 與 −3,不必先乘常數。 y 項係數 3 與 −3 互為相反數,所以用相加:請自己算出 ①+② 的結果,再解出這個式子,回代原來的一式求另一個未知數,最後用原來的兩式檢驗。
y 項的係數是 3 與 −3,不必先乘常數。 y 項係數 3 與 −3 互為相反數,所以用相加:①+② 得 9x = −18。 解得 x = −2。 回代原來的①:4×(−2) + 3y = 7,3y = 7 − (−8) = 15,所以 y = 5。 檢驗(用原來的兩式):①:4×(−2) + 3×5 = 7,成立;②:5×(−2) − 3×5 = −25,成立。答案:(x, y) = (−2, 5)。
下面是這題可能出現的錯誤寫法(正確答案:(x, y) = (−2, 5))。
做完補救後,把提示和答案蓋起來,用原題從頭再寫一次完整過程(包含用原來的兩式檢驗)。看過 L3 以上的提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,隔幾天不看提示,用原題再做一次。
解聯立方程式
① 3x + 8y = 37
② 3x + 5y = 31
請寫出消去的做法、解出 x 與 y,並代回原來的兩式檢驗。
(請寫出數對 (x, y)。)
哪一個未知數的係數在兩式中已經一樣?
係數相同時,兩式相加還是相減?寫下你的選擇與理由,再做。
x 項係數都是 3(相同),用 ① − ②:x 項消去,y 項是 8y − 5y,右邊是 37 − 31。
x 項的係數是 3 與 3,不必先乘常數。 x 項係數都是 3(相同),所以用相減:請自己算出 ①−② 的結果,再解出這個式子,回代原來的一式求另一個未知數,最後用原來的兩式檢驗。
x 項的係數是 3 與 3,不必先乘常數。 x 項係數都是 3(相同),所以用相減:①−② 得 3y = 6。 解得 y = 2。 回代原來的①:3x + 8×2 = 37,3x = 37 − 16 = 21,所以 x = 7。 檢驗(用原來的兩式):①:3×7 + 8×2 = 37,成立;②:3×7 + 5×2 = 31,成立。答案:(x, y) = (7, 2)。
下面是這題可能出現的錯誤寫法(正確答案:(x, y) = (7, 2))。
做完補救後,把提示和答案蓋起來,用原題從頭再寫一次完整過程(包含用原來的兩式檢驗)。看過 L3 以上的提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,隔幾天不看提示,用原題再做一次。
解聯立方程式
① 6x + y = 20
② y + 4x = 12
請寫出整理、消去、解出 x 與 y 的過程,並代回原來的兩式檢驗。
(請寫出數對 (x, y)。)
② 的未知數順序和 ① 不一樣。先想:相加減之前,要先做什麼讓同類項上下對齊?
整理好之後,看 y 項的係數:兩式相同,應該相加還是相減?
② 整理成 4x + y = 12 之後,y 項係數都是 1(相同),用 ① − ②。減去整條式子時,每一項都要變號。
整理 ② 為 4x + y = 12。要消去 y:y 項係數都是 1,用 ① − ②。請自己算出結果並解出 x,回代求 y,並用原來的兩式檢驗。
整理 ② 為 4x + y = 12。y 項係數都是 1(相同),所以用 ① − ②:(6x − 4x) + (y − y) = 20 − 12,得 2x = 8,x = 4。回代 ①:6×4 + y = 20,y = 20 − 24 = −4。檢驗(用原來的兩式):① 6×4 + (−4) = 20,成立;② (−4) + 4×4 = 12,成立。答案:(x, y) = (4, −4)。
下面是這題可能出現的錯誤寫法(正確答案:(x, y) = (4, −4))。
做完補救後,把提示和答案蓋起來,用原題從頭再寫一次完整過程(包含用原來的兩式檢驗)。看過 L3 以上的提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,隔幾天不看提示,用原題再做一次。
需要先把一式或兩式乘常數,才能消去一個未知數。
解聯立方程式
① 3x + 4y = 7
② x − 2y = 9
請寫出:先把哪一式乘多少、為什麼,消去哪個未知數,解出 x 與 y,並代回原來的兩式檢驗。
(請寫出數對 (x, y)。)
先看 y 項係數:4 與 −2。兩個係數有什麼倍數關係?
試試只乘其中一個式子,看能不能讓 y 項係數的絕對值相同;乘的時候,想想有哪些部分都要乘到。
把 ② 兩邊每一項都乘 2,y 項係數就成為 −4,與 ① 的 +4 互為相反數,用相加。
要讓 y 項係數的絕對值相同。②×2:2x − 4y = 18(記為 ②′)。這時 y 項係數成為 4 與 −4。 y 項係數 4 與 −4 互為相反數,所以用相加:請自己算出 ①+②′ 的結果,再解出這個式子,回代原來的一式求另一個未知數,最後用原來的兩式檢驗。
要讓 y 項係數的絕對值相同。②×2:2x − 4y = 18(記為 ②′)。這時 y 項係數成為 4 與 −4。 y 項係數 4 與 −4 互為相反數,所以用相加:①+②′ 得 5x = 25。 解得 x = 5。 回代原來的①:3×5 + 4y = 7,4y = 7 − 15 = −8,所以 y = −2。 檢驗(用原來的兩式):①:3×5 + 4×(−2) = 7,成立;②:5 − 2×(−2) = 9,成立。答案:(x, y) = (5, −2)。
下面是這題可能出現的錯誤寫法(正確答案:(x, y) = (5, −2))。
做完補救後,把提示和答案蓋起來,用原題從頭再寫一次完整過程(包含用原來的兩式檢驗)。看過 L3 以上的提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,隔幾天不看提示,用原題再做一次。
解聯立方程式
① 3x + 4y = 25
② 5x − 6y = −9
請寫出:兩式各乘多少、為什麼,消去哪個未知數,解出 x 與 y,並代回原來的兩式檢驗。
(請寫出數對 (x, y)。)
x 項係數(3 與 5)和 y 項係數(4 與 −6)都不是倍數關係。要消去其中一個,兩式可能都需要乘常數。
消去 y:想想 4 與 6 的公倍數;乘完之後兩個 y 項係數要變成絕對值相同的數,再決定相加或相減。
4 與 6 的最小公倍數是 12:① 乘 3 使 y 項係數成為 12,② 乘 2 使它成為 −12,兩者互為相反數,用相加。
要讓 y 項係數的絕對值相同。①×3:9x + 12y = 75(記為 ①′);②×2:10x − 12y = −18(記為 ②′)。這時 y 項係數成為 12 與 −12。 y 項係數 12 與 −12 互為相反數,所以用相加:請自己算出 ①′+②′ 的結果,再解出這個式子,回代原來的一式求另一個未知數,最後用原來的兩式檢驗。
要讓 y 項係數的絕對值相同。①×3:9x + 12y = 75(記為 ①′);②×2:10x − 12y = −18(記為 ②′)。這時 y 項係數成為 12 與 −12。 y 項係數 12 與 −12 互為相反數,所以用相加:①′+②′ 得 19x = 57。 解得 x = 3。 回代原來的①:3×3 + 4y = 25,4y = 25 − 9 = 16,所以 y = 4。 檢驗(用原來的兩式):①:3×3 + 4×4 = 25,成立;②:5×3 − 6×4 = −9,成立。答案:(x, y) = (3, 4)。
下面是這題可能出現的錯誤寫法(正確答案:(x, y) = (3, 4))。
做完補救後,把提示和答案蓋起來,用原題從頭再寫一次完整過程(包含用原來的兩式檢驗)。看過 L3 以上的提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,隔幾天不看提示,用原題再做一次。
解聯立方程式
① 4x + 5y = 4
② 3x + 2y = −4
請寫出:兩式各乘多少、為什麼,消去哪個未知數,解出 x 與 y,並代回原來的兩式檢驗。
(請寫出數對 (x, y)。)
x 項係數(4 與 3)和 y 項係數(5 與 2)都不是倍數關係:要消去 x 或 y,兩式都要乘常數。選一個你覺得數字比較小的未知數來消去。
消去 y:5 與 2 的最小公倍數是 10。兩個 y 項係數乘完會變成同號還是異號?決定用相加還是相減。
① 乘 2、② 乘 5,y 項係數都成為 10(相同),用相減。兩邊的常數也要一起相減,小心負數。
要讓 y 項係數的絕對值相同。①×2:8x + 10y = 8(記為 ①′);②×5:15x + 10y = −20(記為 ②′)。這時 y 項係數成為 10 與 10。 y 項係數都是 10(相同),所以用相減:請自己算出 ①′−②′ 的結果,再解出這個式子,回代原來的一式求另一個未知數,最後用原來的兩式檢驗。
要讓 y 項係數的絕對值相同。①×2:8x + 10y = 8(記為 ①′);②×5:15x + 10y = −20(記為 ②′)。這時 y 項係數成為 10 與 10。 y 項係數都是 10(相同),所以用相減:①′−②′ 得 −7x = 28。 解得 x = −4。 回代原來的①:4×(−4) + 5y = 4,5y = 4 − (−16) = 20,所以 y = 4。 檢驗(用原來的兩式):①:4×(−4) + 5×4 = 4,成立;②:3×(−4) + 2×4 = −4,成立。答案:(x, y) = (−4, 4)。
下面是這題可能出現的錯誤寫法(正確答案:(x, y) = (−4, 4))。
做完補救後,把提示和答案蓋起來,用原題從頭再寫一次完整過程(包含用原來的兩式檢驗)。看過 L3 以上的提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,隔幾天不看提示,用原題再做一次。
每題把別人的解法放在題目裡,請你找出錯在哪裡,並寫出正確的解。
小宇解聯立方程式
① 6x + 5y = 28
② 6x − 3y = 12
他的作法是:
「兩式相減:(6x − 6x) + (5y − 3y) = 28 − 12,所以 2y = 16,y = 8。把 y = 8 代入 ①:6x + 40 = 28,x = −2。」他的答案是 (x, y) = (−2, 8)。
(1)找出他從哪一行開始出錯、錯在哪裡;(2)寫出正確的解。
(請寫出數對 (x, y)。)
先把小宇每一行自己重算一遍,找出第一個和你算的不一樣的地方。
重算時不要只看答案:把他寫的每一行拆成一個個小運算(乘、相加減、除、移項、代入),每個小運算都自己再算一次,並把「你算的」和「他寫的」並排比較。
不必先猜錯在哪:先用你自己的方法把這組聯立方程式用加減消去法完整解出來,每一步的運算與每一項的正負號都寫清楚,再拿你的每一行去對照他的。
請把完整解法寫完:消去一個未知數,解出它,回代原來的一式求另一個,最後把 x、y 代回原來的兩式檢驗。再用你的每一行對照他的,寫出他從哪一行開始不同、不同的原因。
第一個錯誤:① − ② 的 y 項,5y − (−3y) = 8y,不是 2y。x 項的係數是 6 與 6,不必先乘常數。 x 項係數都是 6(相同),所以用相減:①−② 得 8y = 16。 解得 y = 2。 回代原來的①:6x + 5×2 = 28,6x = 28 − 10 = 18,所以 x = 3。 檢驗:①:6×3 + 5×2 = 28,成立;②:6×3 − 3×2 = 12,成立。小宇答的 (−2, 8) 代入 ①:6×(−2) + 5×8 = 28 雖然成立(因為他是用 ① 求 x 的),但代入 ②:6×(−2) − 3×8 = −36,不等於 12。正確答案 (x, y) = (3, 2)。
下面是這題可能出現的錯誤寫法(正確答案:(x, y) = (3, 2))。
做完補救後,把提示和答案蓋起來,用原題從頭再寫一次完整過程(包含用原來的兩式檢驗)。看過 L3 以上的提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,隔幾天不看提示,用原題再做一次。
小綠解聯立方程式
① 5x + 4y = 14
② 3x + 4y = 10
她的作法是:
「兩式相加:8x + 8y = 24。我要消去 y,所以 8y 不用管,8x = 24,x = 3。代入 ②:9 + 4y = 10,y = 1/4。」她的答案是 (x, y) = (3, 1/4)。
(1)找出她從哪一行開始出錯、錯在哪裡;(2)寫出正確的解。
(請寫出數對 (x, y)。)
先把小綠每一行自己重算一遍,找出第一個和你算的不一樣的地方。
重算時不要只看答案:把她寫的每一行拆成一個個小運算(乘、相加減、除、移項、代入),每個小運算都自己再算一次,並把「你算的」和「她寫的」並排比較。
不必先猜錯在哪:先用你自己的方法把這組聯立方程式用加減消去法完整解出來,每一步的運算與每一項的正負號都寫清楚,再拿你的每一行去對照她的。
請把完整解法寫完:消去一個未知數,解出它,回代原來的一式求另一個,最後把 x、y 代回原來的兩式檢驗。再用你的每一行對照她的,寫出她從哪一行開始不同、不同的原因。
第一個錯誤:y 項係數同號,相加不會消去,不能把 8y 丟掉。y 項的係數是 4 與 4,不必先乘常數。 y 項係數都是 4(相同),所以用相減:①−② 得 2x = 4。 解得 x = 2。 回代原來的②:3×2 + 4y = 10,4y = 10 − 6 = 4,所以 y = 1。 檢驗:①:5×2 + 4×1 = 14,成立;②:3×2 + 4×1 = 10,成立。小綠的答案 (3, 1/4) 代入 ①:5×3 + 4×(1/4) = 16,不等於 14。正確答案 (x, y) = (2, 1)。
下面是這題可能出現的錯誤寫法(正確答案:(x, y) = (2, 1))。
做完補救後,把提示和答案蓋起來,用原題從頭再寫一次完整過程(包含用原來的兩式檢驗)。看過 L3 以上的提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,隔幾天不看提示,用原題再做一次。
小明解聯立方程式
① 2x + 3y = 1
② 2x + 7y = −11
他的作法是:
「① − ②:(2x − 2x) + (3y − 7y) = 1 − (−11),−4y = 12,y = 3。代入 ①:2x + 9 = 1,x = −4。」他的答案是 (x, y) = (−4, 3)。
(1)找出他從哪一行開始出錯、錯在哪裡;(2)寫出正確的解。
(請寫出數對 (x, y)。)
先把小明每一行自己重算一遍,看哪一行的結果和你的不一樣。
重算時不要只看答案:把他寫的每一行拆成一個個小運算(乘、相加減、除、移項、代入),每個小運算都自己再算一次,並把「你算的」和「他寫的」並排比較。
不必先猜錯在哪:先用你自己的方法把這組聯立方程式用加減消去法完整解出來,每一步的運算與每一項的正負號都寫清楚,再拿你的每一行去對照他的。
請把完整解法寫完:消去一個未知數,解出它,回代原來的一式求另一個,最後把 x、y 代回原來的兩式檢驗。再用你的每一行對照他的,寫出他從哪一行開始不同、不同的原因。
第一個錯誤:−4y = 12 要除以 −4,y = −3。x 項係數都是 2(相同),所以用相減:①−② 得 −4y = 12。 解得 y = −3。 回代原來的①:2x + 3×(−3) = 1,2x = 1 − (−9) = 10,所以 x = 5。 檢驗:①:2×5 + 3×(−3) = 1,成立;②:2×5 + 7×(−3) = −11,成立。小明的 (−4, 3) 代入 ②:2×(−4) + 7×3 = 13,不等於 −11。正確答案 (x, y) = (5, −3)。
下面是這題可能出現的錯誤寫法(正確答案:(x, y) = (5, −3))。
做完補救後,把提示和答案蓋起來,用原題從頭再寫一次完整過程(包含用原來的兩式檢驗)。看過 L3 以上的提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,隔幾天不看提示,用原題再做一次。
同樣是找錯題,錯誤出現在乘常數、回代與檢驗。
小華解聯立方程式
① 3x + 2y = 21
② x − y = 2
他的作法是:
「要消去 y,把 ② 兩邊都乘 2,得 2x − 2y = 2。① 加上這個式子:5x = 23,x = 23/5。」
(1)找出他哪一行出錯、錯在哪裡;(2)寫出正確的解。
(請寫出數對 (x, y)。)
先把小華每一行自己重算一遍,找出第一個和你算的不一樣的地方。
重算時不要只看答案:把他寫的每一行拆成一個個小運算(乘、相加減、除、移項、代入),每個小運算都自己再算一次,並把「你算的」和「他寫的」並排比較。
不必先猜錯在哪:先用你自己的方法把這組聯立方程式用加減消去法完整解出來,每一步的運算與每一項的正負號都寫清楚,再拿你的每一行去對照他的。
請把完整解法寫完:消去一個未知數(必要時先乘常數),解出它,回代原來的一式求另一個,最後把 x、y 代回原來的兩式檢驗。再用你的每一行對照他的,寫出他從哪一行開始不同、不同的原因。
第一個錯誤:右邊沒有乘 2。要讓 y 項係數的絕對值相同。②×2:2x − 2y = 4(記為 ②′)。這時 y 項係數成為 2 與 −2。 y 項係數 2 與 −2 互為相反數,所以用相加:①+②′ 得 5x = 25。 解得 x = 5。 回代原來的②:5 − y = 2,−y = 2 − 5 = −3,所以 y = 3。 檢驗:①:3×5 + 2×3 = 21,成立;②:5 − 3 = 2,成立。小華的 x = 23/5 代入 ①:3×(23/5) + 2×(13/5) = 19,不等於 21(x = 23/5 時由 ② 得 y = 13/5)。正確答案 (x, y) = (5, 3)。
下面是這題可能出現的錯誤寫法(正確答案:(x, y) = (5, 3))。
做完補救後,把提示和答案蓋起來,用原題從頭再寫一次完整過程(包含用原來的兩式檢驗)。看過 L3 以上的提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,隔幾天不看提示,用原題再做一次。
小琪解聯立方程式
① 3x + 2y = 26
② x − 2y = 6
她的作法是:
「兩式相加:4x = 32,x = 8。代入 ①:3×8 + 2y = 26,2y = 26 + 24 = 50,y = 25。」她的答案是 (x, y) = (8, 25)。
(1)找出她哪一行出錯、錯在哪裡;(2)寫出正確的解,並說明她只要多做哪一件事就能自己發現錯誤。
(請寫出數對 (x, y)。)
先把小琪每一行自己重算一遍,找出第一個和你算的不一樣的地方。
重算時不要只看答案:把她寫的每一行拆成一個個小運算(乘、相加減、除、移項、代入),每個小運算都自己再算一次,並把「你算的」和「她寫的」並排比較。
不必先猜錯在哪:先用你自己的方法把這組聯立方程式用加減消去法完整解出來,每一步的運算與每一項的正負號都寫清楚,再拿你的每一行去對照她的。
請把完整解法寫完:消去一個未知數,解出它,回代原來的一式求另一個。然後回頭想想:小琪交出答案之前,多做哪一個動作就能讓她自己發現錯誤?請把這個動作實際做在她的答案 (8, 25) 上,寫出結果。
第一個錯誤:移項不變號。y 項的係數是 2 與 −2,不必先乘常數。 y 項係數 2 與 −2 互為相反數,所以用相加:①+② 得 4x = 32。 解得 x = 8。 回代原來的①:3×8 + 2y = 26,2y = 26 − 24 = 2,所以 y = 1。 檢驗:①:3×8 + 2×1 = 26,成立;②:8 − 2×1 = 6,成立。小琪的 (8, 25) 代入 ②:8 − 2×25 = −42,不等於 6。她只要把答案代回原來的兩式檢驗(例如代入 ②:8 − 2×25 = −42,代入 ①:3×8 + 2×25 = 74,都不成立),就會發現錯誤。正確答案 (x, y) = (8, 1)。
下面是這題可能出現的錯誤寫法(正確答案:(x, y) = (8, 1))。
做完補救後,把提示和答案蓋起來,用原題從頭再寫一次完整過程(包含用原來的兩式檢驗)。看過 L3 以上的提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,隔幾天不看提示,用原題再做一次。
小圓解聯立方程式
① 4x + y = 17
② 3x − 2y = −1
她得到 (x, y) = (4, 1)。她的檢驗是:「代入 ①:4×4 + 1 = 17,成立,所以答案正確。」
(1)她的檢驗哪裡不夠?(x, y) = (4, 1) 是不是共同解?(2)寫出正確的解。
(請寫出數對 (x, y)。)
先不要管小圓的結論:要說一組 (x, y) 是這個聯立方程式的「共同解」,你認為要確認哪些事?把你的想法寫下來,再回頭看小圓的檢驗做了哪幾件。
把「共同解」的定義寫出來,逐項對照:定義要求的事,小圓的檢驗是不是每一項都做到了?
不要先相信她的結論。請依你寫的定義,自己把 (4, 1) 從頭檢驗一遍,寫出你檢驗的每一步,再判斷它是不是共同解。(2) 另外用加減消去法自己求解。
(2) 的做法:要消去 y,可以讓兩式 y 項係數的絕對值相同:想想哪一式要乘多少,再決定相加或相減,解出一個未知數後回代原來的一式求另一個,最後檢驗你的答案。
她的 (4, 1) 滿足 ① 但不滿足 ②(3×4 − 2×1 = 10 ≠ −1),所以不是共同解。要讓 y 項係數的絕對值相同。①×2:8x + 2y = 34(記為 ①′)。這時 y 項係數成為 2 與 −2。 y 項係數 2 與 −2 互為相反數,所以用相加:①′+② 得 11x = 33。 解得 x = 3。 回代原來的①:4×3 + y = 17,y = 17 − 12 = 5,所以 y = 5。 檢驗:①:4×3 + 5 = 17,成立;②:3×3 − 2×5 = −1,成立。正確答案 (x, y) = (3, 5)。
下面是這題可能出現的錯誤寫法(正確答案:(x, y) = (3, 5))。
做完補救後,把提示和答案蓋起來,用原題從頭再寫一次完整過程(包含用原來的兩式檢驗)。看過 L3 以上的提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,隔幾天不看提示,用原題再做一次。
同樣的消去想法,用在應用題、需要先整理的式子,以及未知數換成 a、b 的問題。
(教學情境,數字為練習設計。)小安買 3 杯紅茶和 2 塊蛋糕共付 150 元;小美買 2 杯紅茶和 5 塊蛋糕共付 265 元。兩人買的紅茶、蛋糕單價都相同。設一杯紅茶 x 元、一塊蛋糕 y 元。
(1)列出兩個方程式;(2)用加減消去法求 x、y;(3)檢驗答案是否符合情境。
(x、y 以元為單位,只寫數字;請寫出數對 (x, y)。)
這個情境中,兩次購買裡的「一杯紅茶的價錢」與「一塊蛋糕的價錢」是同一個數,所以每次購買可以列出一個式子。
列好兩個式子後,比較兩式中同一個未知數的係數:有沒有已經相同或互為相反數的?如果沒有,要先對一式或兩式乘常數,想想兩個係數的最小公倍數。
每一次購買寫成一個式子:(單價)×(買的數量)加起來,等於那次共付的錢;兩次購買得到兩個式子。先把這兩個式子寫好((1) 要交的),再選要消去的未知數,乘常數使它的係數絕對值相同,決定相加或相減。
式子列好後:選一個未知數消去,乘常數時每一項(含右邊的常數)都要乘,相加或相減時兩邊都要做,解出一個未知數,回代原來的一式求另一個,最後用原來的兩式檢驗,並檢查答案符不符合情境。
設一杯紅茶 x 元、一塊蛋糕 y 元:① 3x + 2y = 150(3 杯紅茶與 2 塊蛋糕共 150 元);② 2x + 5y = 265(2 杯紅茶與 5 塊蛋糕共 265 元)。要讓 x 項係數的絕對值相同。①×2:6x + 4y = 300(記為 ①′);②×3:6x + 15y = 795(記為 ②′)。這時 x 項係數成為 6 與 6。 x 項係數都是 6(相同),所以用相減:①′−②′ 得 −11y = −495。 解得 y = 45。 回代原來的①:3x + 2×45 = 150,3x = 150 − 90 = 60,所以 x = 20。 檢驗:①:3×20 + 2×45 = 150,成立;②:2×20 + 5×45 = 265,成立。紅茶一杯 20 元、蛋糕一塊 45 元,都是正的,符合情境。答案:(x, y) = (20, 45)。
下面是這題可能出現的錯誤寫法(正確答案:(x, y) = (20, 45))。
做完補救後,把提示和答案蓋起來,用原題從頭再寫一次完整過程(包含用原來的兩式檢驗)。看過 L3 以上的提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,隔幾天不看提示,用原題再做一次。
解聯立方程式
① 3(x − 2) + 2y = 16
② 5x = 4y + 22
請先整理成 ax + by = c 的形式(未知數在左、常數在右,上下對齊),再用加減消去法,最後用「原來」的兩式檢驗。
(請寫出數對 (x, y)。)
這兩個式子還沒有整理成 ax + by = c 的樣子。第一件事是什麼?
兩個式子都要先整理:有括號的要去括號(括號外的數乘括號內每一項),含未知數的項要統一搬到等號的同一側,搬項要變號;整理完再比較同一個未知數的係數,看怎麼配。
整理的順序:先去括號,再移項、合併同類項,寫成 ax + by = c,兩式上下對齊。整理完後逐項檢查:去括號有沒有每一項都乘到、移項有沒有變號,確認整理沒有錯再開始消去。
整理完成後,比較兩式中某個未知數的係數:取最小公倍數,決定哪一式乘多少、相加或相減,解出一個未知數,回代求另一個,最後用「原來」的兩式(含括號的 ① 與 5x = 4y + 22)檢驗。
整理:① 3(x − 2) + 2y = 16 去括號得 3x − 6 + 2y = 16,移項得 3x + 2y = 22;② 5x = 4y + 22 移項得 5x − 4y = 22。要讓 y 項係數的絕對值相同。①×2:6x + 4y = 44(記為 ①′)。這時 y 項係數成為 4 與 −4。 y 項係數 4 與 −4 互為相反數,所以用相加:①′+② 得 11x = 66。 解得 x = 6。 回代原來的①:3×6 + 2y = 22,2y = 22 − 18 = 4,所以 y = 2。 檢驗(用原來的式子):原 ① 3×(6 − 2) + 2×2 = 3×4 + 4 = 16,成立;原 ② 5×6 = 30,4×2 + 22 = 30,成立。答案:(x, y) = (6, 2)。
下面是這題可能出現的錯誤寫法(正確答案:(x, y) = (6, 2))。
做完補救後,把提示和答案蓋起來,用原題從頭再寫一次完整過程(包含用原來的兩式檢驗)。看過 L3 以上的提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,隔幾天不看提示,用原題再做一次。
已知方程式 ax + by = 5 的兩組解是 (x, y) = (2, 1) 與 (x, y) = (−1, −3)。
(1)分別把兩組解代入,列出只含 a、b 的兩個方程式;(2)用加減消去法求 a、b;(3)寫出這個方程式,並用兩組解檢驗。
(請寫出數對 (a, b)。)
「解」的意思是:把 x、y 的值代進方程式,等號會成立。這時 a、b 是還不知道的數。
兩組解各代入一次,會得到兩個只含 a、b 的式子,也就是一個聯立方程式。
分別把兩組解代入:每一組解的 x 值乘 a、y 值乘 b,相加後等於 5。代入負數時,要把負號一起乘進去。這樣每一組解得到一個只含 a、b 的式子。
兩個只含 a、b 的式子寫好後,把 a、b 的係數上下對齊,選一個未知數消去(必要時先乘常數),解出後回代,得到 (a, b);再把 a、b 寫回 ax + by = 5,用兩組解檢驗。
代入兩組解得 ① 2a + b = 5、② −a − 3b = 5。要讓 b 項係數的絕對值相同。①×3:6a + 3b = 15(記為 ①′)。這時 b 項係數成為 3 與 −3。 b 項係數 3 與 −3 互為相反數,所以用相加:①′+② 得 5a = 20。 解得 a = 4。 回代原來的①:2×4 + b = 5,b = 5 − 8 = −3,所以 b = −3。 所以方程式是 4x − 3y = 5。檢驗:(2, 1):4×2 − 3×1 = 5,成立;(−1, −3):4×(−1) − 3×(−3) = −4 + 9 = 5,成立。答案:(a, b) = (4, −3)。
下面是這題可能出現的錯誤寫法(正確答案:(a, b) = (4, −3))。
做完補救後,把提示和答案蓋起來,用原題從頭再寫一次完整過程(包含用原來的兩式檢驗)。看過 L3 以上的提示才做出來的題目,算是練習,還不算獨立完成,隔幾天不看提示,用原題再做一次。