練習：直式計算多項式乘法

乘式有幾項？每一項都要和被乘式的每一項相乘一次，共有幾個配對積？〔回課文：每對項乘一次〕

乘式的兩項各自成一行：每一行先把係數相乘，再把 x 的次方相加；行與行要依次方對齊。

乘式 (2x − 1) 有 2 項，所以要寫 2 行部分積；每一行都是乘式的一項乘整個被乘式 (x + 3)。先做最低次項那一行：乘上 −1：−x − 3。〔回課文：步驟與理由〕

各行部分積是：乘上 −1：−x − 3；乘上 2x：2x² + 6x。請自己把每個項放進與它次方相同的欄，逐欄相加，再做回查。

(1)整理：被乘式 (x + 3)，乘式 (2x − 1)，都已降冪排列。(2)部分積：乘式有 2 項，寫 2 行：乘上 −1：−x − 3；乘上 2x：2x² + 6x。(3)對齊加總：每個項放進與它次方相同的欄，逐欄相加(下表)。

(4)乘積：2x² + 5x − 3。(5)回查：被乘式 2 項、乘式 2 項，應有 2×2=4 個配對積，表中部分積格數也是 4；x=1 時，4×1=4，乘積的值是 4，相等；x=−1 時，2×(−3)=−6，乘積的值是 −6，相等；最高次項：x×2x=2x²，與乘積的最高次項相同；常數項：3×(−1)=−3，與乘積的常數項相同。

被乘式有三項、乘式有兩項，會有幾行部分積、幾個配對積？乘式的哪一項要往左移一欄？

先寫乘上 4 那一行(不用移位)，再寫乘上 x 那一行(每項的次方都多 1)，最後逐欄相加。

乘式 (x + 4) 有 2 項，所以要寫 2 行部分積；每一行都是乘式的一項乘整個被乘式 (x² − 2x + 3)。先做最低次項那一行：乘上 4：4x² − 8x + 12。〔回課文：步驟與理由〕

各行部分積是：乘上 4：4x² − 8x + 12；乘上 x：x³ − 2x² + 3x。請自己把每個項放進與它次方相同的欄，逐欄相加，再做回查。

(1)整理：被乘式 (x² − 2x + 3)，乘式 (x + 4)，都已降冪排列。(2)部分積：乘式有 2 項，寫 2 行：乘上 4：4x² − 8x + 12；乘上 x：x³ − 2x² + 3x。(3)對齊加總：每個項放進與它次方相同的欄，逐欄相加(下表)。

(4)乘積：x³ + 2x² − 5x + 12。(5)回查：被乘式 3 項、乘式 2 項，應有 3×2=6 個配對積，表中部分積格數也是 6；x=1 時，2×5=10，乘積的值是 10，相等；x=−1 時，6×3=18，乘積的值是 18，相等；最高次項：x²×x=x³，與乘積的最高次項相同；常數項：3×4=12，與乘積的常數項相同。

先照一般步驟做完。算到合計那一列時，如果某一欄的總和是 0，要不要寫那個項？

兩行部分積做出來後，逐欄相加。留意 x² 欄與 x 欄，看看會發生什麼事。

乘式 (x − 1) 有 2 項，所以要寫 2 行部分積；每一行都是乘式的一項乘整個被乘式 (x² + x + 1)。先做最低次項那一行：乘上 −1：−x² − x − 1。〔回課文：步驟與理由〕

各行部分積是：乘上 −1：−x² − x − 1；乘上 x：x³ + x² + x。請自己把每個項放進與它次方相同的欄，逐欄相加，再做回查。

(1)整理：被乘式 (x² + x + 1)，乘式 (x − 1)，都已降冪排列。(2)部分積：乘式有 2 項，寫 2 行：乘上 −1：−x² − x − 1；乘上 x：x³ + x² + x。(3)對齊加總：每個項放進與它次方相同的欄，逐欄相加(下表)。

(4)乘積：x³ − 1。(5)回查：被乘式 3 項、乘式 2 項，應有 3×2=6 個配對積，表中部分積格數也是 6；x=−1 時，1×(−2)=−2，乘積的值是 −2，相等；x=2 時，7×1=7，乘積的值是 7，相等；最高次項：x²×x=x³，與乘積的最高次項相同；常數項：1×(−1)=−1，與乘積的常數項相同。

乘式 x−5 有兩項，要寫兩行部分積。負號要跟著項走。

先寫 −5 乘整個被乘式的那一行，再寫 x 乘整個被乘式的那一行(往左移一欄)。

乘式 (x − 5) 有 2 項，所以要寫 2 行部分積；每一行都是乘式的一項乘整個被乘式 (x² + 3x − 2)。先做最低次項那一行：乘上 −5：−5x² − 15x + 10。〔回課文：步驟與理由〕

各行部分積是：乘上 −5：−5x² − 15x + 10；乘上 x：x³ + 3x² − 2x。請自己把每個項放進與它次方相同的欄，逐欄相加，再做回查。

(1)整理：被乘式 (x² + 3x − 2)，乘式 (x − 5)，都已降冪排列。(2)部分積：乘式有 2 項，寫 2 行：乘上 −5：−5x² − 15x + 10；乘上 x：x³ + 3x² − 2x。(3)對齊加總：每個項放進與它次方相同的欄，逐欄相加(下表)。

(4)乘積：x³ − 2x² − 17x + 10。(5)回查：被乘式 3 項、乘式 2 項，應有 3×2=6 個配對積，表中部分積格數也是 6；x=1 時，2×(−4)=−8，乘積的值是 −8，相等；x=−1 時，(−4)×(−6)=24，乘積的值是 24，相等；最高次項：x²×x=x³，與乘積的最高次項相同；常數項：(−2)×(−5)=10，與乘積的常數項相同。

乘式 2x+1 有兩項。哪一項不必移位，哪一項要移一欄？

先做乘上 1 那一行(一次就好)，再做乘上 2x 那一行；留意中間的 −x 乘 2x 會得到什麼符號與次方。

乘式 (2x + 1) 有 2 項，所以要寫 2 行部分積；每一行都是乘式的一項乘整個被乘式 (3x² − x + 4)。先做最低次項那一行：乘上 1：3x² − x + 4。〔回課文：步驟與理由〕

各行部分積是：乘上 1：3x² − x + 4；乘上 2x：6x³ − 2x² + 8x。請自己把每個項放進與它次方相同的欄，逐欄相加，再做回查。

(1)整理：被乘式 (3x² − x + 4)，乘式 (2x + 1)，都已降冪排列。(2)部分積：乘式有 2 項，寫 2 行：乘上 1：3x² − x + 4；乘上 2x：6x³ − 2x² + 8x。(3)對齊加總：每個項放進與它次方相同的欄，逐欄相加(下表)。

(4)乘積：6x³ + x² + 7x + 4。(5)回查：被乘式 3 項、乘式 2 項，應有 3×2=6 個配對積，表中部分積格數也是 6；x=1 時，6×3=18，乘積的值是 18，相等；x=−1 時，8×(−1)=−8，乘積的值是 −8，相等；最高次項：3x²×2x=6x³，與乘積的最高次項相同；常數項：4×1=4，與乘積的常數項相同。

乘式 (−2x + 3) 的第一項帶負號：負號屬於 2x，不屬於 3。先看清楚每一項的正負號再開始。

兩行：乘上 3(不移位)、乘上 −2x(每項次方多 1，符號要跟著變)。

乘式 (−2x + 3) 有 2 項，所以要寫 2 行部分積；每一行都是乘式的一項乘整個被乘式 (x² − 4x + 1)。先做最低次項那一行：乘上 3：3x² − 12x + 3。〔回課文：步驟與理由〕

各行部分積是：乘上 3：3x² − 12x + 3；乘上 −2x：−2x³ + 8x² − 2x。請自己把每個項放進與它次方相同的欄，逐欄相加，再做回查。

(1)整理：被乘式 (x² − 4x + 1)，乘式 (−2x + 3)，都已降冪排列。(2)部分積：乘式有 2 項，寫 2 行：乘上 3：3x² − 12x + 3；乘上 −2x：−2x³ + 8x² − 2x。(3)對齊加總：每個項放進與它次方相同的欄，逐欄相加(下表)。

(4)乘積：−2x³ + 11x² − 14x + 3。(5)回查：被乘式 3 項、乘式 2 項，應有 3×2=6 個配對積，表中部分積格數也是 6；x=1 時，(−2)×1=−2，乘積的值是 −2，相等；x=−1 時，6×5=30，乘積的值是 30，相等；最高次項：x²×(−2x)=−2x³，與乘積的最高次項相同；常數項：1×3=3，與乘積的常數項相同。

被乘式 x²−3 少了 x 這一項。表格裡 x 這一欄在乘上 5 那一行會是空的。

寫兩行：乘上 5、乘上 2x。缺項的欄位留空，不要把後面的項往前擠。

乘式 (2x + 5) 有 2 項，所以要寫 2 行部分積；每一行都是乘式的一項乘整個被乘式 (x² − 3)。先做最低次項那一行：乘上 5：5x² − 15。〔回課文：步驟與理由〕

各行部分積是：乘上 5：5x² − 15；乘上 2x：2x³ − 6x。請自己把每個項放進與它次方相同的欄，逐欄相加，再做回查。

(1)整理：被乘式 (x² − 3)，乘式 (2x + 5)，都已降冪排列。被乘式缺 x 項，那一欄留空。(2)部分積：乘式有 2 項，寫 2 行：乘上 5：5x² − 15；乘上 2x：2x³ − 6x。(3)對齊加總：每個項放進與它次方相同的欄，逐欄相加(下表)。

(4)乘積：2x³ + 5x² − 6x − 15。(5)回查：被乘式 2 項、乘式 2 項，應有 2×2=4 個配對積，表中部分積格數也是 4；x=1 時，(−2)×7=−14，乘積的值是 −14，相等；x=−1 時，(−2)×3=−6，乘積的值是 −6，相等；最高次項：x²×2x=2x³，與乘積的最高次項相同；常數項：(−3)×5=−15，與乘積的常數項相同。

乘式 (1/2)x−3 有分數係數。(1/2)×6、(1/2)×4、(1/2)×(−4) 各是多少？

兩行：乘上 −3(不移位)、乘上 (1/2)x(每項次方多 1)。分數乘整數先約分。

乘式 ((1/2)x − 3) 有 2 項，所以要寫 2 行部分積；每一行都是乘式的一項乘整個被乘式 (6x² + 4x − 4)。先做最低次項那一行：乘上 −3：−18x² − 12x + 12。〔回課文：步驟與理由〕

各行部分積是：乘上 −3：−18x² − 12x + 12；乘上 (1/2)x：3x³ + 2x² − 2x。請自己把每個項放進與它次方相同的欄，逐欄相加，再做回查。

(1)整理：被乘式 (6x² + 4x − 4)，乘式 ((1/2)x − 3)，都已降冪排列。(2)部分積：乘式有 2 項，寫 2 行：乘上 −3：−18x² − 12x + 12；乘上 (1/2)x：3x³ + 2x² − 2x。(3)對齊加總：每個項放進與它次方相同的欄，逐欄相加(下表)。

(4)乘積：3x³ − 16x² − 14x + 12。(5)回查：被乘式 3 項、乘式 2 項，應有 3×2=6 個配對積，表中部分積格數也是 6；x=1 時，6×(−5/2)=−15，乘積的值是 −15，相等；x=−1 時，(−2)×(−7/2)=7，乘積的值是 7，相等；最高次項：6x²×(1/2)x=3x³，與乘積的最高次項相同；常數項：(−4)×(−3)=12，與乘積的常數項相同。

乘式 (3/2)x−1，兩項都要用；(3/2)×2、(3/2)×(−4)、(3/2)×6 各是多少？

兩行：乘上 −1(不移位，每項變號)、乘上 (3/2)x(每項次方多 1)。

乘式 ((3/2)x − 1) 有 2 項，所以要寫 2 行部分積；每一行都是乘式的一項乘整個被乘式 (2x² − 4x + 6)。先做最低次項那一行：乘上 −1：−2x² + 4x − 6。〔回課文：步驟與理由〕

各行部分積是：乘上 −1：−2x² + 4x − 6；乘上 (3/2)x：3x³ − 6x² + 9x。請自己把每個項放進與它次方相同的欄，逐欄相加，再做回查。

(1)整理：被乘式 (2x² − 4x + 6)，乘式 ((3/2)x − 1)，都已降冪排列。(2)部分積：乘式有 2 項，寫 2 行：乘上 −1：−2x² + 4x − 6；乘上 (3/2)x：3x³ − 6x² + 9x。(3)對齊加總：每個項放進與它次方相同的欄，逐欄相加(下表)。

(4)乘積：3x³ − 8x² + 13x − 6。(5)回查：被乘式 3 項、乘式 2 項，應有 3×2=6 個配對積，表中部分積格數也是 6；x=1 時，4×(1/2)=2，乘積的值是 2，相等；x=−1 時，12×(−5/2)=−30，乘積的值是 −30，相等；最高次項：2x²×(3/2)x=3x³，與乘積的最高次項相同；常數項：6×(−1)=−6，與乘積的常數項相同。

看「乘上 x」那一行：每一格的項，次方和它所在欄的標題一樣嗎？

乘上 x 那一行的每一項，次方都比被乘式多 1。把這一行重新放進正確的欄，再逐欄相加。〔回課文：步驟與理由〕

錯在對齊：「乘上 x」那一行寫出的項(x³、2x²、3x)本身是對的，但被放進 x²、x、常數欄，次方與欄標題不符；合計時又只把係數相加，得到 3x²+6x+9。正確做法是 x³ 放 x³ 欄、2x² 放 x² 欄、3x 放 x 欄。

乘上 2：2x²、4x、6(放對了)；乘上 x：x³、2x²、3x(項對，欄要改成 x³、x²、x)。請自己逐欄相加：x³ 欄、x² 欄、x 欄、常數欄各是什麼？

錯在「乘上 x」這一行沒有依次方對齊：x³ 被放進 x² 欄，2x² 被放進 x 欄，3x 被放進常數欄，所以不同次方的項被加在一起。正確的直式如下：

乘積是 x³ + 4x² + 7x + 6。回查：x=1 時，6×3=18，乘積的值是 18，相等；x=−1 時，2×1=2，乘積的值是 2，相等。小明的答案 3x² + 6x + 9 在 x=−1 時的值是 6，正確值是 2，不相等，可以抓出錯誤。(x=1 時兩者的值相同，所以只代 x=1 看不出這個錯。)

「乘上 −2」這一行的每一項，次方各是多少？它們所在的欄標題和次方相同嗎？

被乘式缺 x 項，所以乘上 −2 之後，x 欄是空的。檢查每一項是不是放在與它次方相同的欄。〔回課文：缺項與空欄〕

−10 是常數項(次方 0)，應放常數欄；小華為了不留空格，把 −10 擠進 x 欄，和 5x 相加成了 −5x，常數欄反而空了。

正確的兩行：乘上 −2 是 −2x² 與 −10(分別在 x² 欄與常數欄，x 欄是空的)；乘上 x 是 x³ 與 5x(x³ 欄與 x 欄)。請自己逐欄相加。

錯在處理缺項：被乘式沒有 x 項，乘上 −2 之後 x 欄就是空的，不能把後面的項往前擠。正確的直式如下：

乘積是 x³ − 2x² + 5x − 10。回查：x=1 時，6×(−1)=−6，乘積的值是 −6，相等；x=−1 時，6×(−3)=−18，乘積的值是 −18，相等。小華的答案 x³ − 2x² − 5x 在 x=−1 時的值是 2，正確值是 −18，不相等，可以抓出錯誤。(x=1 時兩者的值相同，所以只代 x=1 看不出這個錯。)

合計時，哪一個欄的結果和哪一個欄的結果被「合在一起」了？它們的次方一樣嗎？

同一欄(同一個次方)才能相加；不同欄的結果要分開寫成不同的項。〔回課文：為什麼只有同次項能合併〕

x² 欄的結果是 3x²+x²=4x²，x 欄的結果是 3x−4x=−x。這是兩個不同次方的項，不能合成 3x²。

四欄的合計分別是：x³ 欄 x³，x² 欄 4x²，x 欄 −x，常數欄 −12。請自己把它們用加減號連起來，寫成降冪排列。

錯在最後一步：把 x² 欄的 4x² 與 x 欄的 −x 合成 3x²。不同次方的項不是同類項，不能把係數相加。各欄的合計各自是一個項：

乘積是 x³ + 4x² − x − 12。回查：x=1 時，(−2)×4=−8，乘積的值是 −8，相等；x=−1 時，(−4)×2=−8，乘積的值是 −8，相等。小美的答案 x³ + 3x² − 12 在 x=−1 時的值是 −10，正確值是 −8，不相等，可以抓出錯誤。(x=1 時兩者的值相同，所以只代 x=1 看不出這個錯。)

被乘式有幾項？「乘上 2x」那一行應該有幾格？表格裡有幾格？

每一行要用乘式的一項乘整個被乘式的每一項，不能少。〔回課文：每對項乘一次〕

被乘式有三項，所以「乘上 2x」那一行要有三格，但阿正只寫了 2x³ 與 −4x²，漏了 2x×3=6x。

「乘上 2x」這一行完整是 2x³、−4x²、6x(分別在 x³、x²、x 欄)。請自己重新逐欄相加。

錯在漏乘一個配對積：2x×3=6x 沒有寫，使 x 欄只剩 2x，少了 6x。完整直式如下：

乘積是 2x³ − 5x² + 8x − 3。回查：被乘式 3 項、乘式 2 項，應有 3×2=6 個配對積，阿正的表格只有 5 格。x=1 時，2×1=2，乘積的值是 2，相等；x=−1 時，6×(−3)=−18，乘積的值是 −18，相等。阿正的答案 2x³ − 5x² + 2x − 3 在 x=1 時的值是 −4，正確值是 2，不相等，可以抓出錯誤。

兩行部分積裡，哪一格的正負號和「兩數相乘」的規則不符？可以一格一格重算。

「乘上 −2」那一行，每一格都是 −2 乘被乘式的一項。逐格重算符號。〔回課文：常見錯誤〕

(−2)×(−x)：負負得正，應該是 +2x，小玲寫成 −2x。其餘各格是對的。

「乘上 −2」這一行應是 −2x²、+2x、−8。請自己重新逐欄相加。

錯在 (−2)×(−x) 的符號：負負得正，結果是 +2x，不是 −2x。正確的直式如下：

乘積是 3x³ − 5x² + 14x − 8。回查：x=1 時，4×1=4，乘積的值是 4，相等；x=−1 時，6×(−5)=−30，乘積的值是 −30，相等。小玲的答案 3x³ − 5x² + 10x − 8 在 x=1 時的值是 0，正確值是 4，不相等，可以抓出錯誤。

「乘上 2x」那一行的三格，每一格都是「2x 乘被乘式的一項」。逐格重算係數。

兩項相乘：係數相乘，次方相加。哪一格的係數不是相乘的結果？〔回課文：常見錯誤〕

2x×3x：係數 2×3=6，次方 1+1=2，得 6x²。阿德寫成 5x²(把 2 與 3 相加)。

「乘上 2x」這一行應是 2x³、6x²、8x。請自己重新逐欄相加。

錯在 2x×3x：係數要相乘(2×3=6)，不是相加(2+3=5)。正確的直式如下：

乘積是 2x³ + 5x² + 5x − 4。回查：x=1 時，8×1=8，乘積的值是 8，相等；x=−1 時，2×(−3)=−6，乘積的值是 −6，相等。阿德的答案 2x³ + 4x² + 5x − 4 在 x=1 時的值是 7，正確值是 8，不相等，可以抓出錯誤。

體積＝底面積×高。底面積又是長×寬。這裡有三個因式相乘，要分幾次兩兩相乘？每一次的次數和是多少？

先用直式做 (x+2)×(x+5)，得到一個二次式；再用直式把這個二次式乘上 x(乘式只有一項，只有一行部分積)。

第一次：乘式 x+5 有兩項，寫兩行；第二次：乘式 x 只有一項，寫一行，每一項的次方都多 1。〔回課文：步驟與理由〕

第一次的部分積：乘上 5：5x + 10；乘上 x：x² + 2x，合計是 x² + 7x + 10。第二次：x×(x² + 7x + 10) 的每一項請自己乘出來，並用 x=3 驗算。

第一次乘法，底面積：

底面積是 x² + 7x + 10。第二次乘法，乘上高 x：

體積是 x³ + 7x² + 10x。驗算：x=3 時，長是 3+5=8、寬是 3+2=5、高是 3，體積是 8×5×3=120；多項式的值：3³+7×3²+10×3=27+63+30=120，相等。

回查有哪幾種？(代入數字、最高次項、常數項、配對積的個數)。哪一種最快淘汰選項？〔回課文：回查〕

先算 x=1 時 (2x²−x+3) 與 (x+2) 的值，相乘；再把 x=1 代進每個選項，看誰不等於這個乘積。通過的還要再用別的方法檢查。

x=1：(2−1+3)×(1+2)=4×3=12。代入各選項：(A) 2+3+5+6=16，(B) 6−3+9=12，(C) 2+4+1+6=13，(D) 2+3+1+6=12。所以 A、C 被淘汰；B、D 還要再檢查。

B 沒有 x³ 項，但乘積的最高次項是 2x²×x=2x³，所以 B 被淘汰。也可以用 x=−1：被乘式的值是 2+1+3=6，乘式的值是 −1+2=1，乘積應為 6，而 B 在 x=−1 時是 6+3+9=18。請再檢查還沒被淘汰的選項，並用直式把乘積完整算一次確認。

各選項的檢查：x=1 時乘積應為 12。(A) 是 16，不等於 12，淘汰；(C) 是 13，不等於 12，淘汰；(B) 與 (D) 都是 12，通過 x=1。但 (B) 沒有 x³ 項，而乘積的最高次項是 2x²×x=2x³，所以 (B) 淘汰；也可用 x=−1：乘積應為 6，(B) 是 18，不相等。選 (D)。完整直式確認：

乘積是 2x³ + 3x² + x + 6，與 (D) 相同。x=1 時，4×3=12，乘積的值是 12，相等；x=−1 時，6×1=6，乘積的值是 6，相等。

被乘式有未知數 a，但直式的步驟不變：乘上 3 一行、乘上 x 一行。每一欄的合計是什麼(含 a)？

把每一欄的合計和題給乘積 x³+5x²+bx−6 的對應係數比較：x² 欄只有一個未知數，先解它。〔回課文：各欄係數怎麼來〕

乘上 3：3x²、3ax、−6；乘上 x：x³、ax²、−2x。x² 欄合計 (a+3)x²，與 5x² 比較得 a。

x² 欄：a+3=5，先解出 a。x 欄合計是 (3a−2)x，把 a 的值代入，與 bx 比較就是 b。請自己算。

直式(a 先當成未知數)：乘上 3：3x²、3ax、−6；乘上 x：x³、ax²、−2x。合計：x³ 欄 x³；x² 欄 (a+3)x²；x 欄 (3a−2)x；常數欄 −6。

與 x³+5x²+bx−6 比較：x² 欄 a+3=5，所以 a=2；x 欄 b=3a−2=3×2−2=4；常數欄 −6=−6，x³ 欄 1=1，都相符。

下面是 a=2 時的直式：

回查：a=2、b=4 時，(x²+2x−2)(x+3) 的乘積是 x³ + 5x² + 4x − 6，與題給的 x³+5x²+4x−6 相同。x=1 時，1×4=4，乘積的值是 4，相等；x=−1 時，(−3)×2=−6，乘積的值是 −6，相等。答案：a=2，b=4。