練習:計算兩個直角式複數的乘積

兩個括號相乘,先想:第一個括號裡有幾項、第二個括號裡有幾項?相乘之後會產生幾個小乘積? 〔回課文:展開〕 〔回課文:每一步為什麼〕

第一個括號的每一項,都要和第二個括號的每一項各乘一次。其中 i×i 這一項,要用 i²=−1 換成實數。

用分配律展開:(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²。把本題的 a、b、c、d 代進去,注意有負號的數要連同負號一起乘。

本題的四項依序是 8+10i+12i+15i²。接著把 i² 換成 −1,實部和虛部各自合併。

完整解答:(2+3i)(4+5i)=8+10i+12i+15i²。因為 i²=−1,所以 15i²=−15。實部:8−15=−7;虛部:10+12=22。答案:−7+22i。檢查:把兩個括號交換順序再展開,得到 8+12i+10i+15i²,合併結果相同。

兩個括號相乘,先想:第一個括號裡有幾項、第二個括號裡有幾項?相乘之後會產生幾個小乘積? 〔回課文:展開〕 〔回課文:每一步為什麼〕

第一個括號的每一項,都要和第二個括號的每一項各乘一次。其中 i×i 這一項,要用 i²=−1 換成實數。

用分配律展開:(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²。把本題的 a、b、c、d 代進去,注意有負號的數要連同負號一起乘。

本題的四項依序是 −3+12i+2i−8i²。接著把 i² 換成 −1,實部和虛部各自合併。

完整解答:(3−2i)(−1+4i)=−3+12i+2i−8i²。因為 i²=−1,所以 −8i²=8。實部:−3+8=5;虛部:12+2=14。答案:5+14i。檢查:把兩個括號交換順序再展開,得到 −3+2i+12i−8i²,合併結果相同。

先檢查展開的四項對不對,再檢查「把 i² 換掉」那一步。哪一步最容易出錯? 〔回課文:每一步為什麼〕 〔回課文:常見的錯〕

四個小乘積各是多少?其中含 i² 的那一項,它換成實數後正負號是什麼?

逐項核對:6×2、6×3i、i×2、i×3i 各是多少?再核對 3i² 換成實數時,用的是 i² 等於多少。

3i² 應該換成 3×(−1)。把它放回去,再把實部 12 與這個數相加,虛部 18i 與 2i 相加。

完整解答:四項 12+18i+2i+3i² 都對;錯在把 3i² 當成 +3。因為 i²=−1,3i²=−3。實部 12−3=9,虛部 18+2=20,所以正確結果是 9+20i,小明的 15+20i 不對。

兩個括號相乘,先想:第一個括號裡有幾項、第二個括號裡有幾項?相乘之後會產生幾個小乘積? 〔回課文:展開〕 〔回課文:每一步為什麼〕

第一個括號的每一項,都要和第二個括號的每一項各乘一次。其中 i×i 這一項,要用 i²=−1 換成實數。

用分配律展開:(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²。把本題的 a、b、c、d 代進去,注意有負號的數要連同負號一起乘。

本題的四項依序是 14−21i+2i−3i²。接著把 i² 換成 −1,實部和虛部各自合併。

完整解答:(7+i)(2−3i)=14−21i+2i−3i²。因為 i²=−1,所以 −3i²=3。實部:14+3=17;虛部:−21+2=−19。答案:17−19i。檢查:把兩個括號交換順序再展開,得到 14+2i−21i−3i²,合併結果相同。

兩個括號相乘,先想:第一個括號裡有幾項、第二個括號裡有幾項?相乘之後會產生幾個小乘積? 〔回課文:展開〕 〔回課文:每一步為什麼〕

第一個括號的每一項,都要和第二個括號的每一項各乘一次。其中 i×i 這一項,要用 i²=−1 換成實數。

用分配律展開:(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²。把本題的 a、b、c、d 代進去,注意有負號的數要連同負號一起乘。

本題的四項依序是 8+4i−10i−5i²。接著把 i² 換成 −1,實部和虛部各自合併。

完整解答:(−4+5i)(−2−i)=8+4i−10i−5i²。因為 i²=−1,所以 −5i²=5。實部:8+5=13;虛部:4−10=−6。答案:13−6i。檢查:把兩個括號交換順序再展開,得到 8−10i+4i−5i²,合併結果相同。

兩個括號相乘,先想:第一個括號裡有幾項、第二個括號裡有幾項?相乘之後會產生幾個小乘積? 〔回課文:展開〕 〔回課文:每一步為什麼〕

第一個括號的每一項,都要和第二個括號的每一項各乘一次。其中 i×i 這一項,要用 i²=−1 換成實數。

用分配律展開:(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²。把本題的 a、b、c、d 代進去,注意有負號的數要連同負號一起乘。

本題的四項依序是 2−3i+4i−6i²。接著把 i² 換成 −1,實部和虛部各自合併。

完整解答:(1/2+i)(4−6i)=2−3i+4i−6i²。因為 i²=−1,所以 −6i²=6。實部:2+6=8;虛部:−3+4=1。答案:8+i。檢查:把兩個括號交換順序再展開,得到 2+4i−3i−6i²,合併結果相同。

平方的意思是什麼?(a+bi)² 可以拆成哪兩個括號相乘? 〔回課文:平方〕 〔回課文:常見的錯〕

拆成兩個相同的括號相乘後,用分配律會得到幾個小乘積?其中有兩個是「交叉項」,它們合起來是幾倍的 abi?

(a+bi)²=a²+2abi+b²i²。把本題的 a、b 代入,注意 b 若是負數,2ab 的正負要跟著變。

本題依序是 25+20i+4i²。接著把 i² 換成 −1,實部和虛部各自合併。

完整解答:(5+2i)²=a²+2abi+b²i²,其中 a=5,b=2:25+20i+4i²。i²=−1,所以 4i²=−4。實部 25−4=21,虛部 20i。答案:21+20i。

平方的意思是什麼?(a+bi)² 可以拆成哪兩個括號相乘? 〔回課文:平方〕 〔回課文:常見的錯〕

拆成兩個相同的括號相乘後,用分配律會得到幾個小乘積?其中有兩個是「交叉項」,它們合起來是幾倍的 abi?

(a+bi)²=a²+2abi+b²i²。把本題的 a、b 代入,注意 b 若是負數,2ab 的正負要跟著變。

本題依序是 9−24i+16i²。接著把 i² 換成 −1,實部和虛部各自合併。

完整解答:(3−4i)²=a²+2abi+b²i²,其中 a=3,b=−4:9−24i+16i²。i²=−1,所以 16i²=−16。實部 9−16=−7,虛部 −24i。答案:−7−24i。

兩個括號只差中間的正負號。先照一般的方法展開,看看會出現哪幾項。 〔回課文:示範〕 〔回課文:展開〕

展開後有四個小乘積,其中兩個含 i 的交叉項,彼此有什麼關係?

分配律:(6+5i)(6−5i)=6×6+6×(−5i)+5i×6+5i×(−5i)。算出每一項再把 i² 換成 −1。

四項依序是 36−30i+30i−25i²。先看兩個含 i 的項合起來是多少,再把 i² 換成 −1,合併實數項。

完整解答:(6+5i)(6−5i)=36−30i+30i−25i²。交叉項 −30i 與 +30i 抵消;−25i²=+25。實部 36+25=61,虛部 0。答案:61(是一個實數,虛部為 0)。

兩個括號相乘,先想:第一個括號裡有幾項、第二個括號裡有幾項?相乘之後會產生幾個小乘積? 〔回課文:展開〕 〔回課文:每一步為什麼〕

第一個括號的每一項,都要和第二個括號的每一項各乘一次。其中 i×i 這一項,要用 i²=−1 換成實數。

用分配律展開:(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²。把本題的 a、b、c、d 代進去,注意有負號的數要連同負號一起乘。

本題的四項依序是 6+2i+15i+5i²。接著把 i² 換成 −1,實部和虛部各自合併。

完整解答:(2+5i)(3+i)=6+2i+15i+5i²。因為 i²=−1,所以 5i²=−5。實部:6−5=1;虛部:2+15=17。答案:1+17i。檢查:把兩個括號交換順序再展開,得到 6+15i+2i+5i²,合併結果相同。

兩個括號相乘,先想:第一個括號裡有幾項、第二個括號裡有幾項?相乘之後會產生幾個小乘積? 〔回課文:展開〕 〔回課文:每一步為什麼〕

第一個括號的每一項,都要和第二個括號的每一項各乘一次。其中 i×i 這一項,要用 i²=−1 換成實數。

用分配律展開:(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²。把本題的 a、b、c、d 代進去,注意有負號的數要連同負號一起乘。

本題的四項依序是 −12+6i+4i−2i²。接著把 i² 換成 −1,實部和虛部各自合併。

完整解答:(−3+i)(4−2i)=−12+6i+4i−2i²。因為 i²=−1,所以 −2i²=2。實部:−12+2=−10;虛部:6+4=10。答案:−10+10i。檢查:把兩個括號交換順序再展開,得到 −12+4i+6i−2i²,合併結果相同。

兩個括號相乘,先想:第一個括號裡有幾項、第二個括號裡有幾項?相乘之後會產生幾個小乘積? 〔回課文:展開〕 〔回課文:每一步為什麼〕

第一個括號的每一項,都要和第二個括號的每一項各乘一次。其中 i×i 這一項,要用 i²=−1 換成實數。

用分配律展開:(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi²。把本題的 a、b、c、d 代進去,注意有負號的數要連同負號一起乘。

本題的四項依序是 8+16i−3i−6i²。接著把 i² 換成 −1,實部和虛部各自合併。

完整解答:(8−3i)(1+2i)=8+16i−3i−6i²。因為 i²=−1,所以 −6i²=6。實部:8+6=14;虛部:16−3=13。答案:14+13i。檢查:把兩個括號交換順序再展開,得到 8−3i+16i−6i²,合併結果相同。

把小華的第一步和「平方=自己乘自己」的意思比一比:(2+3i)² 應該拆成什麼? 〔回課文:平方〕 〔回課文:常見的錯〕

(2+3i)² 等於 (2+3i)(2+3i)。用分配律展開會有幾個小乘積?小華的做法留下了哪幾個?

(a+b)² 展開後有幾項?把它和小華第一步寫出的項比一比,有沒有少了含 i 的項?

正確的展開是 2²+2×2×3i+(3i)²=4+12i+9i²。再把 9i² 換成實數,合併實部。

完整解答:錯在把 (2+3i)² 寫成 2²+(3i)²,漏掉中間的交叉項 2×2×3i=12i。正確:(2+3i)²=4+12i+9i²=4+12i−9=−5+12i。小華的 −5 只有實部,虛部 12i 不見了。

先自己把 (4+i)(4+3i) 完整展開:兩個括號各有兩項,相乘後應該有幾個小乘積?再和小美寫出的算式比一比。 〔回課文:展開〕 〔回課文:常見的錯〕

她乘的是「前面的項乘前面的項」和「後面的項乘後面的項」。還有哪兩個小乘積沒有乘?

四個小乘積是 4×4、4×3i、i×4、i×3i。對照小美寫出的,有哪幾個沒出現?

補上漏掉的兩項:4×3i=12i,i×4=4i。再與 16 和 3i² 一起合併。

完整解答:錯在漏掉兩個交叉項。正確:(4+i)(4+3i)=16+12i+4i+3i²=16+16i−3=13+16i。小美的 13 剛好是實部,但虛部 16i 不見了。

先檢查四個小乘積對不對,再看最後一步「把 i² 換掉」怎麼處理 −2i²。 〔回課文:每一步為什麼〕 〔回課文:常見的錯〕

−2i² 裡面的 i² 要換成 −1,那麼 −2i² 變成什麼數?正負號要連 −2 一起看。

逐項核對四個小乘積後,看 −2i² 換成實數時,是不是有把 i² 換成 −1 再乘上前面的 −2。

−2i²=−2×(−1)=+2 這一步,請你自己算出數值,放回實部,和 15 相加;虛部 5i−6i 不變。

完整解答:四項 15+5i−6i−2i² 都對;錯在 −2i² 要換成 −2×(−1)=+2,不是 −2。實部 15+2=17,虛部 5−6=−1。正確結果 17−i,小宇的 13−i 不對。

「是實數」表示化成 a+bi 後,哪一部分必須是 0?先把乘積用 k 展開。 〔回課文:展開〕 〔回課文:示範〕

展開時,k 是一個未知實數,但 i 的規則不變:i×i 仍然換成 −1。展開後把含 i 的項合併。

(3+ki)(2−i)=6−3i+2ki−ki²。把 −ki² 換成實數,再整理成(實部)+(虛部)i,令虛部為 0。

展開並合併後是 (6+k)+(2k−3)i。「是實數」代表虛部那個式子要等於 0,請列出並解這個方程。

完整解答:(3+ki)(2−i)=6−3i+2ki−ki²=(6+k)+(2k−3)i。是實數,虛部為 0:2k−3=0,k=3/2。檢查:k=3/2 時乘積為 15/2,虛部確實是 0。

等號兩邊都是複數。兩個複數相等,代表什麼條件?(想想實部、虛部各自要怎樣) 〔回課文:展開〕 〔回課文:示範〕

先把左邊乘出來,整理成(含 x、y 的實部)+(含 x、y 的虛部)i,再和右邊對照。

左邊 (x+yi)(1+2i)=x+2xi+yi+2yi²。把 2yi² 換成實數後,實部、虛部各是 x、y 的一次式,與右邊的實部 −5、虛部 10 對照,得到兩條方程式。

左邊化簡成 (x−2y)+(2x+y)i。對照得 x−2y=−5 與 2x+y=10,請解這個聯立方程式。

完整解答:(x+yi)(1+2i)=x+2xi+yi+2yi²=(x−2y)+(2x+y)i。與 −5+10i 比較:x−2y=−5,2x+y=10。由第二式 y=10−2x,代入第一式 x−20+4x=−5,x=3,y=4。檢查:(3+4i)(1+2i)=3+6i+4i+8i²=−5+10i。

這個式子有哪幾項?哪一項要用到複數乘法? 〔回課文:平方〕 〔回課文:展開〕

先單獨算 z²(也就是 z 乘 z),再處理 −z 和 +3。減去 z 時,要整個複數一起變號。

z²=(1+2i)²=1+4i+4i²。把 i² 換成 −1 得到 z² 的直角式,再與 −z=−1−2i 和 3 逐項相加。

z² 的直角式是 −3+4i。−z=−1−2i。請把 (−3+4i)+(−1−2i)+3 的實部和虛部分別相加。

完整解答:z²=(1+2i)²=1+4i+4i²=−3+4i。−z=−1−2i。z²−z+3=(−3+4i)+(−1−2i)+3=(−3−1+3)+(4−2)i=−1+2i。